计算机控制系统第十一章

计算机控制系统第十一章第1页，共27页，2023年，2月20日，星期二问题的表达形式设受控过程由连续时间模型描述对于非时变系统，采样系统模型描述为：其中v和e是离散时间高斯白噪声过程，其均值为零，且(11.3)第2页，共27页，2023年，2月20日，星期二性能准则我们用的设计准则是一种对状态和控制信号的幅值进行加权的方法。一种性能准则可以选为状态的功率，即：状态分量可以有不同的维数，因此可以用更一般的加权形式来代替上式：其中，Q1c是对称半正定矩阵。对中止时刻的控制信号和状态可以用类似的惩罚方法，由此形成了这样一个控制问题，控制的目的是使损失函数：第3页，共27页，2023年，2月20日，星期二为最小，其中：矩阵Q0c、Q1c和Q2c是对称的并且至少是半正定的。损失函数中的这些矩阵可能与时间有关。(11.4)第4页，共27页，2023年，2月20日，星期二采样损失函数损失函数(11.4)式是以连续时间形式表示的。先要把它转变为离散时间损失函数。在长度为h的区间上对(11.4)式积分，得出：其中：把(11.2)式代入(11.5)式，再考虑到每个采样周期内u(t)为常数就得到：(11.5)第5页，共27页，2023年，2月20日，星期二其中：于是，当u(k)在采样周期内为常值时，使损失函数(11.4)式为最小就等同于使下列离散时间损失函数为最小：(11.6)(11.7)(11.8)(11.9)(11.10)第6页，共27页，2023年，2月20日，星期二配方设损失函数的形式为：存在一个L满足：使得损失函数(11.11)式可以写成：

将(11.12)式代入到(11.13)式中可以很容易地证明这点。将(11.13)式称为配方。由于(11.13)式是u的二次型，而且两项均大于或等于零，因此可以容易的看出(11.11)式在u=-Lx

时取最小值，而且如果Qu是正定的，L就是唯一的。最小值为：(11.11)(11.12)(11.13)(11.14)(11.15)第7页，共27页，2023年，2月20日，星期二11.2线性二次型控制11.2.1确定性情况对于确定性系统，可表示为：(11.13)

最优性原理表明，一个最优化策略具有如下性质：无论初始状态和初始决策怎样，相对于从第一次决策导出的状态而言余下的决策一定是最优的。根据这一思想，从终止时刻N开始按逆时间顺序往前推，有可能确定最后一步的最佳控制律，即向后迭代至初始时刻就可以确定出最优控制律。这一过程叫做动态规划，或叫贝尔曼动态规划。第8页，共27页，2023年，2月20日，星期二定理11.1确定性系统的LQ控制考虑系统(11.16)式。允许u(k)是x(k),x(k-1),…的函数。引入：其终端条件为S(N)=Q0。假设Q0是正半定的，是正定的，则存在一个惟一的允许控制策略：

u(k)=-L(k)x(k)其中：使损失函数(11.9)式取最小值。此最小值为：另外，S(k)是正半定的。第9页，共27页，2023年，2月20日，星期二证：采用动态规划证明此定理对于k=N，有：其中：对于k=N-1，有：第10页，共27页，2023年，2月20日，星期二基于配方法则：得最小损失：其中：第11页，共27页，2023年，2月20日，星期二离散时间黎卡提方程假定黎卡提方程(11.17)在区间内有一个非负定的解，那么可得：第12页，共27页，2023年，2月20日，星期二其中，L(k)由(11.19)式定义，且x(k+1)由(11.3)式给出第13页，共27页，2023年，2月20日，星期二例11.1双重积分器的LQ控制考虑双重积分器(参阅例A.1)，并取采样周期h=1。设(11.9)式中的加权矩阵为：现在可以研究权重的影响。针对不同的ρ值算出了平稳反馈向量。图11.2展示出一些值的状态和控制信号。ρ＝0时表示仅惩罚输出，这时得到的控制器与4.3节的有限拍控制器相同。当ρ增加时，控制信号的幅度就减少。图11.3表示出作为控制加权ρ的函数的平稳L向量。当ρ增大时，增益趋近于零且几乎没有反馈。第14页，共27页，2023年，2月20日，星期二例11.2时变控制器考虑积分器过程：x(k+1)=x(k)+u(k)令损失函数为：即时间范围仅为五步。黎卡提方程和控制器增益变为：图11.4展示了当x(0)=1时，针对不同q0值的s(k),l(k)和状态的轨迹。值q0=3.70对应于黎卡提方程的平稳解。当q0增大时，x(5)趋近于零。第15页，共27页，2023年，2月20日，星期二代数黎卡提方程控制律：第16页，共27页，2023年，2月20日，星期二定理11.3闭环系统的稳定性设系统(11.16)式是时不变的，并设损失函数(11.9)式使得(11.10)式中的Q是正定的。假设(11.33)式存在有一个正定的定态解，那么，定态最优控制策略：给出的闭环系统：是渐进稳定的。第17页，共27页，2023年，2月20日，星期二定理11.4SISO系统的闭环极点设输入和输出是标量，而且假定把定态最优反馈用于时不变系统。进而假定在损失函数中仅惩罚输出和控制信号，即Q1=CTC，Q2=ρ及Q12=0。闭环系统的极点是下列2n阶方程在单位圆内的n个根：ρ+H(z-1)H(z)=0其中：是开环脉冲传递函数。第18页，共27页，2023年，2月20日，星期二11.3预报和滤波理论预报、滤波和平滑根据可用的量测值可得出(11.3)式的不同状态估计器。假设已知数据：我们要用Yk来估计x(k+m)。这是有三种情况：平滑(m<0)滤波(m=0)预报(m>0)图11.6表示出这些不同的情况。本节要讨论预报和滤波问题。我们把由此而得到的动力学系统都称为滤波器，而不管解决的是那种情况的问题。第19页，共27页，2023年，2月20日，星期二卡尔曼滤波器设过程由(11.3)式描述，且h=1。假定向前一步估计器的形式为：重构误差由下式决定：

(11.44)在4.4节中K用以使系统(11.44)式具有要求的特征值。在此处解决这个问题的方法有所不同：它考虑了噪声的特性，而性能准则是使估计误差的方差为最小，此方差记为P(k)。第20页，共27页，2023年，2月20日，星期二

的均值由(11.44)式得到：由于与v(k)和e(k)相独立，方程(11.44)给出：

(11.45)

且P(0)=R0。由(11.45)式得出，如果P(k)是正半定的，则P(k+1)也是正半定的。方程(11.45)与(11.11)式的形式相同，应该关于K(k)取最小值。利用配方的意思，可得当K(k)满足：时，aTP(k+1)a取最小值，其中a是一任意向量。如果CP(k)CT+R2是正定的，则：第21页，共27页，2023年，2月20日，星期二将上式代入(11.45)式中或利用(11.15)式可得：

(11.47)由(11.43)、(11.46)和(11.47)式定义的重构器称为卡尔曼滤波器。定理11.5卡尔曼滤波器——预报器情形考虑过程(11.3)式。利用模型(11.43)式的状态重构在下述意义上是最优的，即如果矩阵R2+CP(k)CT是正定的，且按(11.46)式和(11.47)式选择增益矩阵，那么这时的重构误差的方差就取最小值。重构误差的方差由(11.47)式给出。第22页，共27页，2023年，2月20日，星期二例11.5一阶系统的卡尔曼滤波器考虑标量系统：其中，e的标准差为，而x(0)的方差为0.5。因此，状态是不变的，且必须由噪声量测值重构出来。卡尔曼滤波器由：给出。上述方差和增益随时间增加而减少。图11.7展示出当采用卡尔曼滤波器而且采用增益为常值的(11.48)式时，估计误差的几个实现。大的固定增益使起始段误差迅速减少，而定态方差大。小的固定增益使误差减小的缓慢，但定态性能较好。11.4811.49第23页，共27页，2023年，2月20日，星期二定理11.6卡尔曼滤波器——滤波器情形考虑过程(11.3)式。设Yk对于x(k)的估计是可用的。如果矩阵R2+CP(k|k-1)CT是正定的，则最优滤波器由下列方程给出：

(11.50)其中：

第24页，共27页，2023年，2月20日，星期二方差由黎卡提方程给出：

注1这里用符号P(k|k-1)代替P(k)来表征可用数据。

P(k|k)是在已知Yk的条件下k时刻估计误差的方差。注2注意，(11.50)式中的表达式与(11.43)式相同。注3注意，由于y(k)不包含v(k+1)的任何信息，因此第25页，共27页，2023年，2月20日，星期二例11.6卡尔曼滤波器和预报考虑一阶系统：y(k)+ay(k-1)=e(k)+ce(k-1)其中，e的标准差。并假设|c|<1。(11.55)式的状态空间表达式为：在这种情况下，R1=R2=R12=。定态卡尔曼滤波器由：给出。很容易证实，其解是P=0和K=1。x的向前一步预报器为：另外，在定态时输出的向前一步预报