自动控制理论课后习题详细解答答案(夏德钤翁贻方版)第三章

第三章3-1设系统的传递函数为2C(s)R(s)s22s2nnn求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。解：当输入为单位斜坡响应时，有r(t)t，R(s)1s2所以有2C(s)1s2ns22s2nn分三种情况讨论（1）当1时，s1,212n2121ctt21etetnn212221212nn01（2）当时，sj121,2n12122t2arctancttesin1tn12nnn（3）当1时，s1,2n22c(t)te1tntn2nn设系统为单位反馈系统,有ss2ns222EsRscsRsrnn系统对单位斜坡输入的稳态误差为ss22eims1n2n22s2sssrs0nn3-2试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为50K（1）G(s)(10.1s)(12s)（2）G(s)s(10.1s)(10.5s)（3）G(s)K(12s)(14s)s(s2s10)（4）G(s)s(sK4s200)222KlimG(s)50,KlimsG(s)0,Klims2G(s)0；解：（1）pvas0s0s0KlimG(s),KlimsG(s)K,Klims2G(s)0；（2）pvas0s0s0KKlimG(s),KlimsG(s),Klims2G(s)；（3）（4）10pvas0s0s0KKlimG(s),KlimsG(s),Klims2G(s)0200pvas0s0s03-3设单位反馈系统的开环传递函数为10G(s)s(0.1s1)若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。r(t)RRt12Rt2（1）r(t)R，（2）r(t)RRt，（3）001012解：首先求系统的给定误差传递函数s(0.1s1)sE(s)1R(s)1G(s)0.1s2s10e误差系数可求得如下s(0.1s1)Climslim0.1s2s100s010(0.2s1)0es0Climdslim0.12(0.1ss10)2ds1es0s02(0.1s2s10)20(0.2s1)d220Climslimds2(0.1ss10)322es0s0（1）r(t)R，此时有0r(t)R,r(t)r(t)0，于是稳态误差级数为s0ssetCr(t)0，t0sr0s（2）r(t)RRt，此时有r(t)RRt,r(t)R,r(t)0，于是稳态误差01s01s1s级数为etCr(t)Cr(t)0.1R，t0sr0s1s1r(t)RRt12Rt2，此时有()12,()rtRRt，（3）rtRRtsRt2201s12012r(t)R，于是稳态误差级数为s2CetCr(t)Cr(t)r(t)0.1(RRt)，t022!sr0s1ss123-4设单位反馈系统的开环传递函数为10G(s)s(0.1s1)r(t)sin5t，求此系统的给定稳态误差级数。若输入为解：首先求系统的给定误差传递函数s(0.1s1)sE(s)1R(s)1G(s)0.1s2s500e误差系数可求得如下s(0.1s1)Climslim0.1s2s50000es0s0500(0.2s1)1Climdslim2(0.1ss500)21dse500s0s0100(0.1s2s500)1000(0.2s1)(0.1s2s500)39825002Climd2slim2s0ds2es0以及r(t)sin5tsrt()5cos5tsr(t)25sin5ts则稳态误差级数为CetC225sin5tC5cos5t2sr014.9104sin5t1102cos5t3-6系统的框图如图端加入一比例微分环节稳态误差可以消除。3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入（参见图3-T-1b），试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的R(s)C(s)+2_ns(s2)na)R(s)C(s)+1as2_n)s(s2nb)图3-T-12解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：e，加入比例—微分环节后srnCsRs1asCsGss1as1asGs1GsRs2RsCsn22s2nn2n2s22sn2asRsEsRsCssnnRs1s2elimsEs2ansrs0n2可见取a，可使e0srn3-7单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为2G(s)ns(s2)nM0.096，从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，p及。t0.2s。试确定传递函数中的参量pn01，因此有解：由图可以判断出Mexp(p)100%12tp12nM0.096，t0.2可求出代入pp0.59819.588nR(s+C(s3-8反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求G(s_（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。s34s26s40（2）整个系统的特征方程为图3-T-3G(s)，使得同时满足上述要求。求三阶开环传递函数解：设开环传递函数为C(s)R(s)s3ks2ksk3K1211G(s)s3ks2kskKs3ks2ksk1231）elim0可知：k0；3根据条件（srs0123D(s)s34s26s40可知：k4，k6，K4。2）根据条件（所以有12Gs4ss4s62G(s)，如要求3-9一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于（2）三阶系统的一对主导极点为2.0。s,s1j1。12G(s)。求同时满足上述条件的系统开环传递函数解：按照条件（2）可写出系统的特征方程(s1j)(s1j)(sa)(s22s2)(sa)s3(2a)s2(22a)s2a0将上式与1G(s)0比较，可得系统的开环传递函数2ass2(2a)s(22a)G(s)根据条件（1），可得K10.522a2aevsra1，于是由系统的开环传递函数为解得2G(s)ss3s423-10已知单位反馈控制系统的开环传递函数为Ks(s1)G(s)试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。（1）K4.5,1s（2）K1,1s（3）K0.16,1s解：系统单位阶跃响应的象函数为Ks2(s1)C(s)R(s)G(s)K4.5，1s代入式中可求出2.12rad/s，0.24，为欠阻尼系统，（1）将因此得出nM46%，t7.86s(2%)，5.90s(5%)psK1，1s代入式中可求出1rad/s，0.5，，为欠阻尼系统，因此（2）将得出nM16.3%，t8s(2%)s，6s(5%)psK0.16，1s代入式中可求出0.4rad/s，1.25，过阻尼，无最（3）将nt15s。大超调量。因此只有s3-11系统的框图如图3-T-4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。8s22s8G(s)822，22，n（1）当a=0时，则系统传传递函数为，其中n0.354。所以有8（2）不变时，系统传函数为()Gss2(8a2)s8，要求0.7，则有n22(4a1)，所以可求得求得a0.25。n3-12已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。1.单位脉冲响应(a)无零点时ct2t,t0etsin1nn1n2z1时（b）有零点122121t02tarctgct比较上述两种情况，可见有零点相移，相移角为nentsin1,nnn1n2nz1时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生121arctgn。n2．单位阶跃响应(a)无零点时,t12ct112tarctgentsin1012nz1时（b）有零点12212,tct12tarctgentsin10nn1n2nz1的零点之后，超调量加了M和超调时间pt都小于没有零点的情况。p3-13单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-1sKs1et0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故积分环节，当误差信号1et0时，比例系统输出继续增长，知道出现系统的响应必然存在超调现象。3-14上述系统，如在-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，rt为常量时，加于系统的扰动nt为阶跃函数形式，是从环节及物nt为斜坡函数形式，为何扰动理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动稳态误差是与时间无关的常量？在rt为常量的情况下，考虑扰动nt对系统的影响，可将框图重画如下图A-3-2题3-14系统框图等效变换CsNsKs2s1KKs12121s2nt为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，nt为单位斜坡函数根据终值定理，可求得时，系统的稳态误差为1。K1从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时系统扰动稳态误差与时间间成正比的信号以和扰动信号平衡，无关。就使斜坡函数的扰动输入时，3-15已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。s4183s3240s2630则系统系统稳定。（1）劳斯表有s130s03s4112s3240s212s18（2）劳斯表有劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，s02系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。s51316s41910s366s21010s112（3）劳斯表有劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，s010系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。s61584s5396s4264s3812（4）劳斯表有系统处于稳定的临界状态，由辅助方程s2344s13s04As2s46s24可求得系统的两对共轭虚数极点sj;sj2。1,23,43-16根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。（1）K>0时,系统稳定。（2）K>0时，系统不稳定。（3）0<K<3时，系统稳定。K(s1)G(s)3-17已知单位反馈控制系统的开环传递函数为s(s1)(2s1)请在以K为横坐标，为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。D(s)2s3(2)s2(K1)sK0系统的特征方程为s32k1s22kk(2)(k1)2列写劳斯表，得出系统稳定应满足的条件s12s0k(2)(K1)2K20由此得到和应满足的不等式和条件02(KK11),K1,2263459153010043.332.52.282.132.04为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图根据列表数据可绘制K为横坐标、A-3-3中的阴影部分。图A-3-3闭环系统稳定的参数区域K(s5)(s40)G(s)3-18已知单位反馈控制系统的开环传递函数为s3(s200)(s1000)试求系统的临界增益K之值及无阻尼振荡频率值。c根