2023年四川省成都市东辰国际学校高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角。的终边经过点,则2sina+cosa的值是()

2222

A.1或一1B,二或一二C.1或一1D.T或§

2.已知/为抛物线4)，的准线，抛物线上的点”到/的距离为4,点P的坐标为(4,1),贝!||阳+4的最小值是

()

A.VnB.4C.2D.1+717

3.已知抛物线C：y2=4x,过焦点厂的直线/与抛物线C交于A,8两点(A在x轴上方)，且满足|A月=3忸耳，

则直线I的斜率为()

A.1B.布

C.2D.3

4.若函数/(x)=xlnx一加有两个极值点，则实数，，的取值范围是()

A.C.(1,2)D.(2,e)

5.设全集U=R,集合〃={%|炉wx},N={x|2'Vl},则MnQ,N=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-oo,l]

ov_i丫〉f)

6.已知"X)=一“一，则/=()

-x,x<0\3)

22

A.2B.-C.——D.3

33

7.函数/(x)=sin(0x((0>0)的图象向右平移二个单位得到函数y=g(x)的图象，并且函数g(x)在区间［二,：］上

TTTT

单调递增，在区间上单调递减，则实数。的值为()

8.如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形A3CD,将平行四边形A8CO沿对角线BD折起，使平面

平面8C。，则直线AC与3。所成角余弦值为（）

A.迈B.逅C.3D.1

3333

9.已知复数zi=3+4i,Z2=a+i,且ziz2是实数，则实数a等于（）

3443

A.-B.—C.--D.--

4334

10.已知S,为等比数列｛“"｝的前"项和，45=16,a3a4=-32,则Ss=（）

A.-21B.-24C.85D.-85

11.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方（〃23,〃€川）”是由前〃2个正整数组

成的一个”阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如

图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

A.75B.65C.55D.45

12.已知三棱锥P—ABC,AC=6,BC=1,AC，3c且PA=2必，必，平面ABC,其外接球体积为（）

4万327rr-

A.—B.4万C.——D.4、/3乃

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在边长为2的正三角形A8C中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=｝,则。方.耳后的取值范围为.

14.设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若4-4=2,4-4=6,贝!1$4=.

22

15.已知工分别是椭圆C：鼻+工=1（a>b>0）的左、右焦点，过左焦点£的直线与椭圆C交于A、B两

ab~

点，且M用=3|防|,|/四|=怛闾，则椭圆的离心率为.

x+y＞0

16.设实数x,y满足＜x-y+220,贝壮=2%一），的最大值是.

5x-y-640

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）选修4-4：坐标系与参数方程

x=2cosa

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为｛（a为参数）.以直角坐标系原点O为极点，x轴的

y=sina

正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为夕COS（6-M）=2后，点P为曲线C上的动点，求点P到直线1

4

距离的最大值.

18.（12分）已知函数/（x）=|x—l|—|x+2].

（1）求不等式/（x）42的解集A;

（2）若不等式/（x）4x2+2x一机对xwA恒成立，求实数加的取值范围.

19.（12分）如图所示，已知AC,平面COE,BD//AC,AECD为等边三角形,F为边££＞上的中点，且

CD=BD=2AC=2.

（I）求证：。尸尸面叱；

（II）求证：平面平面

（HI）求该几何体E-ABDC的体积.

20.（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1

月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得

额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育

费用④大病医疗费用•……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个

子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下：

级数一级二级三级四级…

超过3000元超过12000元超过25000元

每月应纳税所不超过3000

至1200()元的至25000元的至35000元的…

得额(含税)元的部分

部分部分部分

税率(％)3102025...

(1)现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除.请问李某月应缴

纳的个税金额为多少？

(2)为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市50()名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，

有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需

要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除(受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭).若他们的月收入

均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X的分布列与期望.

21.(12分)设椭圆E:]+y2=i,直线4经过点直线〃经过点N(〃,0),直线小|直线/2,且直线/2

分别与椭圆E相交于48两点和C,。两点.

(1)若用，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线4,x轴，求四边形A8CO的面积；

(H)若直线4的斜率存在且不为0,四边形A8CO为平行四边形，求证:加+〃=();

(HI)在(H)的条件下，判断四边形ABCO能否为矩形，说明理由.

22.(10分)传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方

能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们

出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层

抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联

表：

戴口罩不戴口罩

青年人5010

中老年人2020

(1)能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？

(2)用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.

2Mad-bc}

(a+-)(c+d)(〃+c)(b+d)

P（K2>k）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据三角函数的定义求得sina,cosa后可得结论.

【详解】

由题意得点P与原点间的距离r==5|m|.

①当加>0时，r=5m,

.3m3-4m4

:.smtz=——=—,COSQ=------=——

5m55m5

:.2sin。+cos。=2x-------=—.

555

②当m<0时，r--5m9

.3m3-4m4

・・sin。=--=—,cosa=---二—

-5m5-5m5

2

2sin〃+cosa=2x

5

22

综上可得2sina+cosa的值是三或一《.

故选B.

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标也纵坐标山

该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.

2.B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当P，M，F共线时，+d取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点尸（0,1）,准线丁=一1,

过M作MNL交I于点N,连接五M

由抛物线定义|MV|=WH=d,

：.\MP\+d=\MP\+\MF\>\PF\=yf^=4,

当且仅当尸，何,尸三点共线时，取“=”号，

.•.|W+d的最小值为4.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

3.B

【解析】

设直线I的方程为x=my+1代入抛物线方程，利用韦达定理可得V,+%=4m,X%=-4,由|人耳=31Ml可知

AF=3而所以可得X=-3%代入化简求得参数，即可求得结果.

【详解】

设（X>0,%<0）.易知直线/的斜率存在且不为0,设为工，则直线/的方程为》=冲+1.

m

与抛物线方程联立得丁=4（阳+1）,所以“必=一4,y+%=4加.因为|A曰=3忸同，所以赤=3而，得

%=-3%,所以4=£即旷空，y=2瓜所以'=-4-=6.

■3723m%+%

故选:B.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标之间的关系，考查计算能力，属于中档题.

4.A

【解析】

试题分析：由题意得了'(x)=lnx+l-2办=0有两个不相等的实数根，所以/"(x)='_2a=0必有解，则a〉0,

X

考点：利用导数研究函数极值点

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求F(x)一一>求方程P(x)=0的根一一>列表检验F(x)在F(x)=0的根的附近两侧的符

号一->下结论.

(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(xo,yo)处取得极值，则F(xo)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号

相反.

5.A

【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.

【详解】

M={X|X2<X}={X|0<X<1},N={x|2yi}={x|xV0},

^N^{x\x>0},

则A/ndN={x|0WxWl}=[0，l]，

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题.

6.A

【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.

【详解】

log,—<0,/(log,—)=—log2—=log,3>0；

DDO

/l/(log2g)]=/(log,3)=3-1=2；

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.

7.C

【解析】

由函数f(x)=smcox(co>0)的图象向右平移胃个单位得到g(x)=sin[a^x-忘)]=加(⑺一管)，函数g(“在

7C7C7171

区间上单调递增，在区间

_63J1_32_

上单调递减，可得x=?时，g(x)取得最大值，即(oxg—普)=5+2%乃，kwZ,。>0,当左=0时，解得出=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减可得x=§时，g(x)取

得最大值，求解可得实数0的值.

8.C

【解析】

利用建系，假设A3长度，表示向量衣与丽，利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由平面平面BC。，ABLBD

平面48。门平面3。£)=3£),AB\平面ABZ)

所以45,平面BCD,又DCu平面BCD

所以AB_LOC,又£>B_LOC

所以作z轴〃AB，建立空间直角坐标系B-xyz

如图

设AB=1,所以BD=l,DC=l,BC=g

则A（0,1,1）,3（0,1,0）,C（l,0,0）,0（（）,0,0）

所以恁=（1,一1,一1）,而（0,—1,0）

l~r^~DT>XAC-BD1G

所以同阿=国=行

故选：c

【点睛】

本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利

用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.

9.A

【解析】

分析：计算&=a-i,由zi%=3a+4+（4a-3）i,是实数得4a-3=0,从而得解.

详解：复数zi=3+4i,Z2=a+i,

z2=a-i.

所以zi%=（3+4i）（a—i）=3a+4+（4a—3）i,是实数，

3

所以4a—3=0,即@=一,

4

故选A.

点睛：本题主要考查了复数共匏的概念，属于基础题.

10.D

【解析】

由等比数列的性质求得m/=16,aiY=-32,通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前“项

和公式解答即可.

【详解】

设等比数列｛斯｝的公比为q,

Vas=16,〃3。4=-32,

，a1/=16,ai2^5=-32,

:，q=-2,贝！1q=1,

则演二笔尹75,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的前〃项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.

11.B

【解析】

计算1+2+…+25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1+25

x25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2+…+25,故选B.

2=65

5

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

12.A

【解析】

由AC_L8C,PB，平面ABC,可将三棱锥P-ABC还原成长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球,

进而求解.

【详解】

由题，因为AC=J5,BC=1,4。，6。,所以钻=，4。2+3。2=也,

设PB=h，则由PA=2P3，可得y/3+h2=2〃，解得〃=1，

可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体，

灰

则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R=712+(V2)2+12=2,所以R=1,

A-rrAj-r

所以外接球的体积V=丁R3=

33

故选:A

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(-2,--]

2

【解析】

建立直角坐标系，依题意可求得丽•丽=2孙+2x+2y-4,而x>0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe(O,l),由此构造函数f(x)=—2/+2x—2,0cx<1,利用二次函数的性质即可求得取值范围.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(—l,0),8(1,0),C(0,G),设。(占，0),£(%,,

根据BD=xBA，即(%T,0)=%(-2,。)，则h=1一2x,

CE=yCA>即(x?,%——y(—1>-73),贝!]々-y>%=__V3_y+A/3,

所以丽•丽=(%,-1,%)，

—X|(w-1)-''/^必=(1-2x)(-y—1)-3(-y+1)-2xy+2,x+2,y—4,

•.•%>0,y>0,x+y=l,

.-.y=l-x,且xe(0,l),

^Cl5-BE=2x(l-x)+2x+2(l-x)-4=-2x2+2x-2,

设/0）=-2/+28-2,0<x<l,易知二次函数f（x）的对称轴为x=],

故函数Ax）在10,1]上的最大值为/（；）=-I,最小值为八0）=/⑴=-2,

3

故C»B行的取值范围为（-2,一一].

2

故答案为：（—2,-G1.

2

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，

求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题.

14.-40

【解析】

由题意，设等比数列的公比为9,根据已知条件，列出方程组，求得4,4的值，利用求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，设等比数列的公比为4,

[a.-a.q=2

因为4-4=2,。，-%=6,即〈，，，解得（7=3,4=-1,

\axq-a}q~=6

所以$4=业©=上上一40.

4\-q1-3

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项

和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

15.叵

5

【解析】

设忸用=左，则|A制=3攵,|4卸=怛周=44,由忸制+忸用=|*|+|伍|=2“知，5Z=2a,|A闾=2七作

BC1A鸟,垂足为C,则C为AF2的中点，在HAABC和A4F；居中分别求出cosZBAF2，进而求出c,Z的关系式，即可

求出椭圆的离心率.

【详解】

如图，设忸耳卜上则防=3k,\AB\=\BF2\=4k,

由椭圆定义知%|+忸周=|A4|+|明|=2a,

因为忸制+忸用=5%，所以5Z=2a,|A6|=2%,

作BC_LAK，垂足为C,则C为的中点,

在Rt^ABC中，因为ZBCA=90°,

M图

所以cos/8AC="=2k1,

ABAB4k4

在中，由余弦定理可得,

\AFXF2

|A用2+|隹『-忻封£

cosZFAF=

}22MHAg|4

(3k)2+(2k)2-4c21初组V10,

即anA_L__1_L------=-，解得c=--k

2x3kx2k42

V10,

----k

所以椭圆的离心率为e=-=-4r-

a5k

2

故答案为:亚

5

【点睛】

本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于

中档题、常考题型.

16.1

【解析】

根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解.

【详解】

x+y..0

作出实数x,满足+表示的平面区域，如图所示：

5x—y—6”0

由z=2x-y可得y=2x—z,则一z表示直线z=2%-y在＞轴上的截距，截距越小，z越大.

由(x7+y-=60=。可得“F此时z最大为1，

【点睛】

本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)—+y2=1,x+y=4(2)d,=20+亚

4Jmax2

【解析】

试题分析：利用Qcose=x,psine=y将极坐标方程化为直角坐标方程：pcos(6)--)=272化简为pcosO+psinO

4

=1,即为x+y=l.再利用点到直线距离公式得：设点P的坐标为(2cosa,sina),得P到直线I的距离

d=|2cosa+jina-4|«2及+通

V22

试题解析：解：0cos(6-工)=20化简为pcos0+psine=L

4

则直线1的直角坐标方程为x+y=l.

设点P的坐标为(2cosa,sina),得P到直线1的距离d=包史誓竺臼W2夜+巫,

V22

dma\=2\/2+'•

2

考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式

3111

18.(1)—,+oo(2)m<---

L2)4

【解析】

(1)按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；

(2)不等式转化为m4%2+3%+2一归一1］,求出g(x)=f+3x+2-卜一1|在［一］+⑹上的最小值即可，利用绝对

值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值.

【详解】

x>\f-2<x<lfx<-2

解：(1)11C或<CC

x—I—x—2W2I—x—%—242I—x+x+x+2《2

3

解得或一式Wxvl或无解

2

综上不等式的解集为A=-|,+oo

(2)xe-Is+oo)时，/(x)<x;

2+2x-m,BP|x-l|<x2+3x+2-m

所以只需加工工2+3工+2一上一“在工£一时恒成立即可

x1+2x+3,x>1

«?(x)=x2+3x+2-|x-l|=<3,

厂+4-x+1,—<xv1

3

由解析式得g(幻在［-5,+8)上是增函数，

311

二当》=一5时'8(》濡=一了

11

即nn〃？<---

4

【点睛】

本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法.掌握分类讨论

思想是解题关键.

19.(1)见解析；(II)见解析；(HDG.

【解析】

(I)取8E的中点G,连接AG,FG,通过证明四边形AGEC为平行四边形，证得CF//AG,由此证得CF〃平面

ABE.(II)利用CV_LE。，CFLBD,证得CV_L平面BDE，从而得到AG_L平面,由此证得平面ABEL

平面BOE.(HD作EHLCD交CD于点H,易得EH上面ABDC,利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.

【详解】

(I)取BE的中点G,连接AG,FG,则尸GII’BO,AC\\-BD,

=2=2

故四边形AGFC为平行四边形.

故CQAG.

又CF0面ABE,AGu平面ABE,所以。尸||面

(II)AEC£>为等边三角形，F为DE中点,,所以CF_LED.又Cr_L8D,

所以CFL面8DE.

又CE||AG,故AG，面8DE,所以面ABEL平面BDE.

(皿)几何体ABEQD是四棱锥E—A8DC,作EH±CD交CD于点H,即面ABOC,

—呐=―-(1+2>2.6=5

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.

20.(1)李某月应缴纳的个税金额为291()元，(2)分布列详见解析，期望为1150元

【解析】

(1)分段计算个人所得税额；

(2)随机变量X的所有可能的取值为990,1190,1390,1590,分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可.

【详解】

解：(1)李某月应纳税所得额(含税)为：29600-5000-1000-2000=21600元

不超过3000的部分税额为3000x3%=90元

超过3000元至12000元的部分税额为9000x10%=900元，

超过12000元至25000元的部分税额为9600x20%=1920元

所以李某月应缴纳的个税金额为90+900+1920=2910元，

(2)有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000-1000-2000=12000元,

月应缴纳的个税金额为：90+900=990元

有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000-1000=14()0()元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+400=1390元；

没有孩子需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000-2000=13000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+200=1190元；

没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000=15000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+600=1590元；

P(X=990)=工

P(X=1190)=—,

10

P(X=1390)=(,

P(X=1590)=—

10

所以随机变量X的分布列为：

X990119013901590

311

P

510510

3111

E(x)=990x-+H90x—+1390x-+1590x—=1150.

510510

【点睛】

本题考查了分段函数的应用与函数值计算，考查了随机变量的概率分布列与数学期望，属于中档题.

21.(I)2及；(H)证明见解析；(ID)不能，证明见解析

【解析】

、/、

(后(A/2

(I)计算得到故A-1,手，B-1-三，C1,」丁，。1,一」夜丁，计算得到面积.

222

<7{7

_4k2m

''汽+1，计算|AB|=V1T记'6代-86〃?*,同理

(U)设4为y=z(x-m),联立方程得到

2k2M—2112^+1

X|X=-----7------

I-72攵2+1

|C*Vi7FJl6A；r：+8,根据|AB|=|C4得到利2=〃2,得到证明.

同理c+2k/=0,故怎°=-：。一',得到结论.

(n