2023年山西省晋中市祁县高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直

角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30。，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不

计，取6。1.732）,则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）

A.134B.67C.182D.108

2.由实数组成的等比数列｛斯｝的前"项和为S,”则是"S9>S8”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.点0在A4BC所在的平面内，|西|=|砺|=|玩|福|=2,|不。=1,而=几福+（Z〃eR）,且

44-4=2（/〃#0、）,则IU|I及叫I=（）

也D."

2

4.我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜

幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实

质是根据三角形的三边长”，c求三角形面积S,即5=J；］/'?—（江与二Z）2］.若小钻。的面积5=浮

a=y/3,b=2,则sinA等于（）

运或叵D.□或口

101062036

5.已知/为抛物线4），的准线，抛物线上的点M到/的距离为d,点P的坐标为（4,1）,贝!!］即+4的最小值是

)

A.V17B.4C.2D.1+V17

6.已知集合M={yIy=2X,x>0},N={xIy=lg(2x-<)},则MflN为()

A.(1,+oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+oo)

7.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,^2(/?cosA+tzcosB)=c2,b=3,3cosA=l,贝4。=

()

A.亚B.3C.ViOD.4

8.已知向量£,坂夹角为30。，2=(1,同=2,则悭—6=()

A.2B.4C.2GD.2>/7

9,若复数二满足|z|=l,则|z-(其中i为虚数单位)的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

10.若(/+。)(！一])的展开式中的常数项为-12,则实数。的值为()

A.-2B.-3C.2D.3

11.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为。设地球半径为R,该卫星近地点

离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为()

1-e2e_

C.——r+——R

1+e1+e

12.设函数g(x)=e*+(1-&)x-a(aeR,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数fW满足/(-%)+f(x)=x2,

且当x<0时，f\x')<x,若存在xo€{x|/(x)+；z/(l-x)+x},且为函数y=g(x)-x的一个零点，则实数

”的取值范围为()

^r厂〕

A.--B.(Je,+8)C.[Je,+8)D.——

\7L7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号

之和是偶数的概率为.

14.已知向量万=(U)，W=2,且向量汗与B的夹角为冷河•(M+b)=.

15.某次足球比赛中，A，B,C,。四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C，8对阵O,获胜的两队进入决

赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.

ABCD

A获胜概率—0.40.30.8

3获胜概率0.6—0.70.5

。获胜概率0.70.3—0.3

。获胜概率0.20.50.7—

则A队获得冠军的概率为.

16.在正方体ABC。—A4G2中，£为棱A4的中点，尸是棱4用上的点，且4尸=：尸片，则异面直线防与BG

所成角的余弦值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7T

17.(12分)如图，四棱锥£—A8CD中，平面平面8CE,若NBCE=一,四边形ABCD是平行四边形,

2

(I)求证：AB=AD；

(ED若点/在线段AE上，且EC//平面BDF,/BCD=60°,BC=CE,求二面角A—8R一。的余弦值.

18.(12分)已知函数/(x)=16-|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<|x+2］；

(2)若函数y=/(x)一。存在零点，求”的求值范围.

19.（12分）如图，在多面体ABCDEE中，四边形ABCD是菱形，EF//AC,EF=1,ZABC=60°.CE_L平

面ABCD,CE=y/3,CD=2,G是DE的中点.

(I)求证：平面ACG//平面BEF；

(II)求直线AD与平面A3尸所成的角的正弦值.

20.(12分)设数列｛4｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S“，4=1,若4,%,4成等比数列•

(1)求知及S.；

⑵设"=三｝(〃€7*),设数列出｝的前〃项和7；,证明：Tn<\.

%+1—14

21.(12分)已知数列｛a,,｝的各项均为正，S“为数列｛a,,｝的前〃项和，a„2+2a„=4S„+l.

(1)求｛斯｝的通项公式;

(2)设瓦=卷，求数列｛瓦｝的前"项和.

11

x=—+—cosa,

42

22.(10分)在直角坐标系x0y中，曲线C的参数方程是(a是参数)，以原点为极点，x轴的正

42

半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)在曲线。上取一点加，直线OM绕原点。逆时针旋转与，交曲线C于点N,求IOMITQNI的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.

【详解】

解：设大正方形的边长为i,则小直角三角形的边长为L走，

22

则小正方形的边长为小正方形的面积S=（且=1一正,

22（22）2

则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为

-p^-x500=[l—券X500N（1—0.866）x500=0.134x500=67'

故选：B.

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.

2.C

【解析】

根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解:若｛斯｝是等比数列,则5g-$8=q）4H（）,

若4>0,则风-Sg=。9=qd>0，即$9>$8成立，

若S9〉$8成立，则S9-S3=a9=01g8>0,即4>0,

故“q〉0”是“S9>$8”的充要条件，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.

3.D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到2=/，〃=；,再根据比=部-而计算得到答案.

63

【详解】

由网=烟=|凶可知，点。为AASC外心，

1211

而正

而

--2记而-

2--2-2-

AOAB=^AB2+^AC-AB=4A+^AC-AB=2,

所以<________________________2________J_①

AO-AC=XAB-AC+juAC=2AB-AC+p,

5'

因为4丸一〃=2,(2)

54_________._.

联立方程①②可得％=〃=彳，ABAC=-\＞因为或=正一而，

63

所以配2=/?+初一2而•南=7,即区="

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

4.C

【解析】

将5=半，a=6b=2,代入s=J([q2c2_(匕

.)2],解得°2=5,/=9,再分类讨论，利用余

弦弦定理求cosA,再用平方关系求解.

【详解】

已知S=^^,a=V3,h=29

2

zix、o/1r22/C~+4--b、2i

代入S=-(——-——/]，

V42

得J*-(注乖母

即/一12/+45=0，

解得/=5,c~=9,

2_2

Ar-?V55

当。2=5时，由余弦弦定理得：cosA="+'.s.inA=\Y-cosA---------

2bc10

,222c

a,/I2~~A11

当,2=9时，由余弦弦定理得：cosA=~'..=±,sinA=71—cosA=­,

2bc66

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.

5.B

【解析】

设抛物线焦点为尸，由题意利用抛物线的定义可得，当尸,用，尸共线时，+4取得最小值，由此求得答案.

【详解】

解：抛物线焦点厂(0,1),准线y=-l,

过M作交/于点N,连接FM

由抛物线定义|MV|=|“目=△,

:.\MP\+d=\MP\+\MF\>\PF\=^=4,

当且仅当只M，尸三点共线时，取“=”号，

.•.|阴+△的最小值为4.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.

6.B

【解析】

x

M={y\y=2tx>0]={y\y>/},

N={x[y=lgf2x={x|2x>0]

={x|x--2x<0}={x[0<k<2},

故选B.

7.B

【解析】

由正弦定理及条件可得2（sinBcosA+sinAcosB）=csinC,

即2sin（A+3）=2sinC=csinC.

QsinC>0,

，c=2,

2222

由余弦定理得/=b+c-2hccosA=2+3-2x2x3x-=9o

3

4=3.选8。

8.A

【解析】

根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.

【详解】

由于2a-b=J（2a—b）-£•:+：-^4x3-4xV3x2x^^+4=2>

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.

9.B

【解析】

根据复数的几何意义可知复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定

即可得|z—z［的最大值.

【详解】

由|z|=l知，复数Z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，

|z-i|表示复数二对应的点与点（0,1）间的距离，

又复数二对应的点所在圆的圆心到（0』）的距离为1,

所以—=1+1=2.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.

10.c

【解析】

先研究的展开式的通项，再分(V+a)中，取/和a两种情况求解.

【详解】

因为［一1］的展开式的通项为加=(-l)rC；xr-5,

lx)

5

所以I的展开式中的常数项为：%2(-1)3Clx-2+aC^(-1)=-lQ-a=-n,

解得a=2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11.A

【解析】

由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的

距离.

【详解】

椭圆的离心率:e=-e(O,l),(c为半焦距；a为长半轴),

a

设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:

贝！|“=a+c-R,r-a-c-R

r+R(r+R)e

所以。=

1-e1-e

r+Re(r+R)八1+e2e_

n-a+c-R--------1-------------R=-----r+------R

1-el-e1-e1-e

故选：A

【点睛】

本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，属于中档题.

12.D

【解析】

先构造函数T(x)=/(x)-〈V,由题意判断出函数7(力的奇偶性，再对函数T(x)求导，判断其单调性，进而可求

出结果.

【详解】

构造函数T(x)=〃x)—；一，

因为八一%)+〃6=/,

所以丁(乃+丁(_力=〃力_/+/(—力_；(_力2=/(小/(—%)—%2=0,

所以T(x)为奇函数，

当尤4()时，T'(x)=/'(x)-x<0,所以T(x)在(F,0]上单调递减，

所以T(x)在R上单调递减.

因为存在与1x/(%)+->./(l-x)+x>,

所以/(xo)+gz/(l_x())+xo，

III9

所以T(Xo)+/X：+-^7，(l-^o)+-(l-^o)+xo»

化简得T(x°)2T(l-/)，

所以与Wl-Xo，即将43

■^■h^x^=g(x)-x=ex-y/ex-a^x<-^,

因为/为函数y=g(x)—x的一个零点，

所以〃(“在时有一个零点

11

因为当x4/时，h,^x^=ex—\[e<e^—\[e=0，

所以函数〃(x)在时单调递减，

由选项知。＞0,--厂＜。＜5,

所以要使〃(％)在X4；时有一个零点，

只需使解得aN立,

22

所以”的取值范围为手,+8,故选D.

.7

【点睛】

本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3

5

【解析】

先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型

的概率计算公式即可算出结果.

【详解】

一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：

1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；共有10个，

其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，

因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：《=|.

3

故答案为：

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.

14.1

【解析】

根据向量数量积的定义求解即可.

【详解】

解：・,•向量M=(1，1)，W=2,且向量万与万的夹角为日，

・，・I万I=Vl2+12—^2；

3万

所以：a*(a+b)=a2+ab=V22+V2x2xcos-^-—2-2=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题.

15.0.18

【解析】

根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.

【详解】

由表中信息可知，A胜C的概率为0.3:

若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5x0.4=02；

若D进入决赛，D胜B的概率为0.5,则A胜D的概率为0.5x0.8=04；

由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P=0.3x(0.5x0.4+0.5x0.8)=0.18.

故答案为：0.18

【点睛】

本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.

回

10.-------

5

【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得方..由空间向量的夹角求法即可求得异

面直线EF与BCt所成角的余弦值.

【详解】

根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系:

设正方体的棱长为1,则《0,0,0,1),8(1,0,0),G(1,1,1).

所以而=(；,0,g),砥=(0,1,1).

同邛网3

EFBC{

所以cos<EF,BC1>=RR

所以异面直线EF与Bg所成角的余弦值为半,

故答案为：巫

5

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见解析(II)"

7

【解析】

(I)推导出8cl.cE,从而ECJL平面ABC。,进而ECA.BD,再由BD1.AE,得平面

AEC,从而8QJ_AC,进而四边形ABCD是菱形，由此能证明AB=AD.

(II)设AC与50的交点为G,推导出EC〃尸G,取8c的中点为O,连结。。，则OZ)J_BC,以。为坐标原点，以过点。

且与CE平行的直线为x轴，以8c为y轴，0。为z轴，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【详解】

n

(I)证明：NBCE=—,即8CJ_CE,

2

因为平面ABC。J"平面BCE,

所以EC_L平面ABC。，

所以七CL8。，

因为8D_LAE,

所以平面AEC,

所以BOLAC,

因为四边形ABC。是平行四边形，

所以四边形ABC。是菱形，

故AB=AD；

解法一：(II)设AC与BO的交点为G,

因为EC//平面MF,

平面AECI平面BDF于FG,

所以EC//FG,

因为G是AC中点，

所以尸是4E的中点，

因为NBCr>=60°,

取BC的中点为。，连接8,

则。£)八BC,

因为平面ABCD±平面BCE,

所以0。_1面8£。，

以。为坐标原点，以过点。且与CE平行的直线为x轴，以8C所在直线为丁轴，以8所在直线为二轴建立空间直角

坐标系.不妨设45=2,则6(0,-1,0),4(0,-2词,£>(0,0,6),F1,--,^-,BF=1,-,^-,

\/\7

丽=(0,-1网,丽=(0,1网,

设平面A8F的法向量勺=(玉，x，zj,

173_n

则%十寸+3寸。，取1=（-6,61卜

、-M+也Z[=0

同理可得平面D8/7的法向量〃？=（（）,石,T）,

设平面ABF与平面DBF的夹角为。,

2_V7

因为cos(〃i，〃2丽二寸了

所以二面角A—Bb—。的余弦值为立.

7

7

解法二：（II）设AC与30的交点为G,

因为EC//平面8D/，平面AECI平面B4F于/G,

所以EC//FG,

因为G是AC中点，

所以尸是4E的中点，

因为ACJ_B£>,AC1FG,

所以AC，平面8。/，

所以ACJ_3F,

取BF中点H,连接G”、AH,

因为FG=3G,

所以G”_LBE,

故BF_L平面4//G,

所以AH_L3E,即NAHG是二面角A—Bf一。的平面角,

不妨设AB=2,

因为AG=JLGH=—,

2

在&AAG”中，tanZAHG=V6»

所以cos/A"G=«Z，所以二面角A—即一。的余弦值为且.

77

【点睛】

本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题.

17

18.(1)—或X，5}；(2)aW16.

【解析】

(1)通过讨论x的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集;

(2)将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.

【详解】

(1)有题不等式可化为|x+2|+|2x-l|N16,

17

当xW—2时，原不等式可化为一x—2—2x+1216,解得xW——；

3

当—时，原不等式可化为x+2—2x+lN16,解得xV-13,不满足，舍去;

2

当时，原不等式可化为x+2+2x—lN16,解得龙三5,

2

所以不等式的解集为{xlxW-g曲2

17—2.x,x2—

2

(2)因为/(x)=,

15+2Cx,x<一1

2

所以若函数y=f(x)-a存在零点则可转化为函数y=/(x)与y=。的图像存在交点,

函数f(x)在(-8,J上单调增，在［；,+8)上单调递减，且/(g)=16.

数形结合可知16.

【点睛】

该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的

问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.

19.(I)详见解析；(II)巫.

5

【解析】

试题分析：(I)连接8□交AC于。，得OG//BE,所以OG〃面又所〃AC,得AC7/面BEE,

即可利用面面平行的判定定理，证得结论；

(II)如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面A8厂的一个法向量而，利用向量AO和向量而夹

角公式，即可求解4D与平面A5尸所成角的正弦值.

试题解析：

(I)连接50交4C于0,易知。是50的中点，故0G//BE,BEu面BEF,0G在面BEF外，所以0G〃

面BEF；

又EF//AC,AC在面BEF外，AC湎BEF,又AC与0G相交于点。，面ACG有两条相交直线与面BEF

平行，故面ACG〃面5EP；

B

(n)如图，以o为坐标原点，分别以oc、0。、。尸为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(—1,0,0),B(o,-V3,o),

。(0,百,0),F(0,0,V3),而=(1,6,0),通=(1,—6,0),通=(1,0,6),

[mVAB(a,b,cy(\,-j3,0\=a-s/3b=Q

设面A5尸的法向量为沅=(。力,c),依题意有《——，<,l、r~，令a=G，b=\,

[mlAF[(a,8c).(l,0,@=a+&=0

c--\,沅cos(AD,m)=,

'''/V4x<4+15

直线AO与面ABF成的角的正弦值是巫.

5

20.(1)a.=2n—l,S„=n2；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题中条件求出等差数列｛%｝的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前〃项和;

(2)根据裂项求和求出Tn,根据7；的表达式即可证明7；＜；.

【详解】

(1)设｛q｝的公差为d,

4=1[«,=1

由题意有＜2,\2一

a2=-a5[(q+d)=〃]・(4+4d)

q=1

且

[d=2

所以%=1+2(〃-1)=2〃7,

O——rl,

2

,111(11、

(2)因为a=——；=―,~八=--------,

禽+1-1+4(〃H+1)

1-111、

所以北=彳+...+

23n九+1,

11

1--—-----------<—

~4n+\44(〃+1)4'

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.

,、,、n+2

21.(1)a„=2n+l；(2)2-----

3”

【解析】

(1)根据题意求出首项，再由-