2023年湖北省襄阳、孝感市高考冲刺数学模拟试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.抛物线uj=2px的焦点/；是双曲线C,E_/一=/（o<w</）的右焦点，点?是曲线的交点，点。在抛物线的

-m1-m

准线上，/RPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线J的离心率为（）

A.或+/B.2用+3C.24Td-3D.24Td+3

2.在AABC中，点P为BC中点,过点P的直线与AC所在直线分别交于点A/,N,若=分,

前=〃/（/1>0,〃>0）,则/1+〃的最小值为（）

57

A.-B.2C.3D.-

42

3.设集合A={yly=2'-1,xWR},B={x|-2<x<3,xGZ）,贝!JACB=（）

A.（-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

4.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分

值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）

A.乙的数据分析素养优于甲

B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙

D.甲的六大素养中数据分析最差

5.平行四边形ABC。中，已知AB=4,AD=3,点E、尸分别满足送=2关，DF=FC>且/B豆=一6,

则向量A力在A片上的投影为（）

33

A.2B.—2C.—D.-----

22

6.已知等差数列仅“｝的前〃项和为S“，且出=-2,必=10,则$9=()

A.45B.42C.25D.36

7.函数y=/(x)在区间上的大致图象如图所示，则f(x)可能是()

A./(x)=ln|sinx|

B./(x)=ln(cosx)

C./(x)=-sin|tanx|

D./(x)=-tan|cosx|

已知函数/(x)=log2(吉+1]+J*+3,则不等式/(lgx)>3的解集为

8.()

1^(10,+00)C.(1,10)D.

9.记S“为等差数列｛%｝的前〃项和.若4=-5,S4=-16,则4=()

A.5B.3C.-12D.-13

10.已知正方体—AgCQ的体积为V,点M,N分别在棱8四，CC,±,满足AM+MN+N。最小，则四

面体AMNR的体积为()

11.点A优C是单位圆。上不同的三点，线段。C与线段A8交于圆内一点M,若

0C=mOA+nOB,(m>0,>0),zn4-H=2,则NAO5的最小值为()

L71

D.—

3

12.已知i是虚数单位，则（2+i）i=（）

A.1+2zB.—1+2/C.—1—2，D.1-2;

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在正方体中，E为棱A4的中点，1r是棱4片上的点，且片尸=g尸片，则异面直线Ef与

所成角的余弦值为.

22

14.已知椭圆］+方=1的左焦点为尸，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PE的中点在以原点。为圆心，|。尸|

为半径的圆上，则直线的斜率是.

15.在平面直角坐标系*0丁中，已知圆。：/+（＞-1）2=1,圆C:（x+2百）2+V=6.直线/：丫="+3与圆。相切,

且与圆C相交于A,B两点,则弦AB的长为

16.某地区连续5天的最低气温（单位：C）依次为8,-4,-1,0,2,则该组数据的标准差为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在三棱柱ABC-A4G中，已知四边形A4GC为矩形，AAi=6,AB=AC=4,

NBAC=ZBA4,=60°,ZA,AC的角平分线AD交CG于D.

（1）求证:平面&LD_L平面aG。；

（2）求二面角A-A的余弦值.

18.（12分）选修4-5：不等式选讲

设函数/为=|x-a|,a<0.

f(x)+f(--)>2

(1)证明：x

f(x)+f(2x)<-

(2)若不等式2的解集非空，求”的取值范围.

19.(12分)已知/(力=k-4+,+矶。>02>0).

(I)当a=Z?=l时，解不等式“力48-》2；

(n)若/(x)的最小值为1,求一二+1的最小值.

20.(12分)已知函数f(x)=P.2_h(其中e为自然对数的底，发为常数)有一个极大值点和一个极小值点.

(1)求实数A的取值范围；

(2)证明：/U)的极大值不小于1.

21.(12分)已知函数/(x)=|X-/|+|x-2a+3],g(x)=/+℃+3.

(1)当。=1时，解关于x的不等式/0)«6；

(2)若对任意玉eR,都存在々eR,使得不等式/(占)>鼠々)成立，求实数”的取值范围.

22.(10分)如图，在直角AAO8中，OA=OB=2,AAOC通过A4O8以直线。4为轴顺时针旋转120°得到

(ZBOC=120°).点O为斜边4B上一点.点M为线段BC上一点，且用8=延.

3

(1)证明：苗0_1平面4。3；

(2)当直线与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角8-CD—。的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心

率.

【详解】

由题意知，抛物线焦点厂(1,0),准线与x轴交点尸，/，0，双曲线半焦距c=/,设点。(-/，M/EP0是以点P为直角顶点

的等腰直角三角形，即仍尸|=出。|,结合厂点在抛物线上，

所以抛物线的准线，从而所」.\轴，所以P(/,2),

•-2a=际］」尸尸I=2。-2

即4=J-/.

故双曲线的离心率为e=『一=J2+1.

42-1

故选A

【点睛】

本题考查了圆锥曲线综合，分析题目,画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.

2.B

【解析】

1(\1A

由“，P,N三点共线，可得+丁=1,转化彳+〃=(彳+〃)—+—,利用均值不等式，即得解.

2〃(242")

【详解】

因为点P为8C中点，所以4户=14

B+-AC,

2

又因为丽7=2而，AN=pAC,

所以/=」-丽7+」一询.

222〃

因为M,P,N三点共线，

11,

所以：77+丁=1，

2Z2〃

(11、1ifAuy1,1ch〃c

所以/1+〃=(/1+〃)—+—=-+--+—+—,.1+—x2/—­—=2,

1242/1)2A)22VA

九_〃

当且仅当J1]即九=4=1时等号成立,

一+一=1

222〃

所以;1+〃的最小值为1.

故选：B

【点睛】

本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于

中档题.

3.C

【解析】

先求集合4,再用列举法表示出集合5,再根据交集的定义求解即可.

【详解】

解：•集合4={m=2*-1,xS2?)={jly>-1},

3={X|-2M3,XGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

.•.AnB={0,1,2,3},

故选：C.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.

4.C

【解析】

根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.

【详解】

根据雷达图得到如下数据：

数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析

甲454545

乙343354

由数据可知选C.

【点睛】

本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.

5.C

【解析】

_._____________ADAB

将AEBE用向量,力和A百表示，代入百=-6可求出汨-A月=6，再利用投影公式干司一可得答案.

【详解】

解：AFBE=^AD+DF)^BA+AE)

______2.1_____12__

=AD-AB+AD-AD-—ABAB+-AB-AD

3_____2________2____3

=-AD-AB+-x32--x42=6,

332

得月=6，

AD-AB63

则向量/万在而上的投影为干元[=W=].

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将衣，而用向量而和通表示是关键，是基础题.

6.D

【解析】

由等差数列的性质可知4+%=4+6,进而代入等差数列的前”项和的公式即可.

【详解】

由题,5=轲+%)=9(4+/)=9«2+10)=36.

222

故选:D

【点睛】

本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前〃项和.

7.B

【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可；

【详解】

解：当x=0时，sin0=0,也卜布0|无意义，故排除A；

又cosO=l,则./■(())=-tan|cosO|=-tanlwO,故排除D；

对于C,当时，卜anx|>0,所以/(x)=-singnX不单调，故排除C；

故选：B

【点睛】

本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.

8.D

【解析】

先判断函数的奇偶性和单调性，得到-且IgXHO,解不等式得解.

【详解】

由题得函数的定义域为(-8,0)U(o,+8).

因为/(-x)=/(x),

所以fM为(-8,0)U(o,+8)上的偶函数，

因为函数、=」一+1,y=J与+3都是在(0,+8)上单调递减.

\x\\x2

所以函数/(X)在(0,+8)上单调递减.

因为/⑴=3J(lgx)>3=/(),

所以一l<lgx<l,且IgxwO,

解得卜(1/0)・

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

9.B

【解析】

4x3

由题得4+。=-5,4%+三一”=一16,解得4=-7,d=2,计算可得

【详解】

4x3—

••・g=-5,S4=-16,/.a,=-5,4q+—^d=-16,解得q=-7,d=2,

:.a6=at+5d=3.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，前〃项和公式，考查了学生运算求解能力.

10.D

【解析】

由题意画出图形,将MN,ND1所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当=；BB],C、N=；C.C时

aV

AM+MN+N。最小，设正方体AC的棱长为3a,得泊=一，进一步求出四面体AMNR的体积即可.

【详解】

解：如图,

•••点M,N分别在棱BB,CG上，要4M+MN+N。最小，将所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面

共面，AM,MN,NR三线共线时，AM+MN+ND、最小,

设正方体AC；的棱长为3a,则27a3=V，

V

27

^LBG=-BC,连接NG,则AGNA共面,

在A4NQ中，设N到AR的距离为九，

AD,=J(3a>+(3a)2=3缶，

D[N=7(3a)2+a2=Ma,

AN=J(3缶y+Qa，=s/22a,

小山10/+22/-18/7

cosZD,NA=-----7=---T=——=-7=,

二回①在a2V55

../八一3M

..sin/D、NA=-—,

2

■.S^NA=^D]N-AN-sinZDiNA=^ADt-lii=^a

设M到平面AGND、的距离为h2,

一AGNMGN

32

3A/19CZ2V

'''VAMNR=§X

2

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

11.D

【解析】

由题意得1=加2+〃2+2,〃〃cos4408,再利用基本不等式即可求解.

【详解】

将0(j=%?。4+月平方得1=>+/+2mncosZAOB,

八八1一相2-〃*l-(m+n)2+2mn3

cosZAOB=----------=-----------------=---+--1<---------------+1=--

2mn2mn2mn2x")22

（当且仅当m=n=\时等号成立），

・「0<NAQB<",

NA08的最小值为事，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题.

12.B

【解析】

根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】

（2+z）z=2z-l=-l+2z.

故选B

【点睛】

本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.强

5

【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得赤，西■.由空间向量的夹角求法即可求得异

面直线EF与BC,所成角的余弦值.

【详解】

根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系:

设正方体的棱长为1,则[0,0,0,1),8(1,0,0),G(1,1,1).

所以而砥=(0,1,1).

I而卜手阿卜逝.

下(0,1,1)

EF•BCi_Vio

所以cos<E户,BC[>==一亨'

HR|在XV2

4

所以异面直线EF与BC］所成角的余弦值为叵，

5

故答案为：少.

5

【点睛】

本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.

14.V15

【解析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用

焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【详解】

方法1：由题意可知I。/l=QM|=c=2,

由中位线定理可得|「耳|=21QW|=4,设P（x,由可得（x—2尸+尸=16,

22

联立方程上+匕=1

95

321

可解得x=--,x=一（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方,

22

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知I。用=|0M|=c=2,

3

由中位线定理可得|尸耳|=21|=4,即a-*=4n4=-万

z厂、叵

求得P,所以&>F=彳-=.

2

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的

重要途径.

15.V15

【解析】

利用直线与圆相切求出斜率Z,得到直线的方程，几何法求出IA8I

【详解】

解：直线/：y="+3与圆C相切，C圆心为(0,1)

,|-1+3|,,lL

由7PT7=।'得攵=6或一G,

l1-6-319厂

当y=-6x+3时，C到直线的距离旨=万>赤，不成立,

|-6+3|3

当,=瓜+3时，/与圆C'相交于A,8两点，C'到直线的距离”=

~2V2臼6一冷

故答案为疥.

【点睛】

考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题.

16.4

【解析】

先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差.

【详解】

解：某地区连续5天的最低气温(单位：°C)依次为8,-4,-1,0,2,

平均数为：|(8-4-1+0+2)=1,

该组数据的方差为：

S2=1[(8-1)2+(^-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)2]=16,

，该组数据的标准差为1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析；(2)主叵

17

【解析】

(1)过点。作OE//AC交AA于石，连接CE,5E,设A£>nCE=。，连接B。，由角平分线的性质，正方形的性

质，三角形的全等，证得CELBO,CE1AD,由线面垂直的判断定理证得CEL平面840,再由面面垂直的判

断得证.

(2)平面几何知识和线面的关系可证得30,平面MGC,建立空间直角坐标系。一孙z,求得两个平面的法向量,

根据二面角的向量计算公式可求得其值.

【详解】

(1)如图，过点。作。E//AC交A4于£,连接CE,BE,设A£>nCE=。，连接80,•.•AC_LA41,.•.OE_LAE,

又AZ)为NAAC的角平分线，，四边形AEDC为正方形，:.CE，A。，

又•.•AC=AE,ZBAC=ZBAE,BA=BA,:.MAC^ABAE,:.BC=BE,又为CE的中点，.,.CELBO

又•.•4),8。u平面BAD,ADC\BO^O,.•.C£_L平面BAD,

又C£u平面A4C。，.•.平面B4£>，平面A4CC，

(2)在MBC中，：AB=AC=4,N«4C=60。，；.BC=4,在RtABOC中，：CO=gcE=2夜，.•.8。=2啦,

又AB=4,AO=^AD=242,BO2+AO2=AB2，：.BOIAD,

又BOLCE,4)nCE=。，AD,CEu平面A4CC，.•.30，平面A4CC，

故建立如图空间直角坐标系。一盯z,则A(2,—2,0),A,(2,4,0),G(-2,4,0),

片(0,6,2&),.•.萌.=(2,2,2近)，恁;=(-4,6,0),系=(4,0,0),

,[fnj_cBf-4x.+6y.=0

设平面MG的一个法向量为吁(7,6则t滑，四=。

令％=6,得肩=(6,4,-5近)，

_[n±C,B,

设平面44G的一个法向量为〃=(々,为，Z2)，贝1J「方，

几-LC14

4x—0

IJr-，令%=3,得7=(0,后，一1)

2X2+2y2+2V2Z2=0

-----m-n9夜3\/l7

；—”'〃>=丽=7^双耳=「'由图示可知二面角A/G-A是锐角，

故二面角A-4G-A的余弦值为—.

B81

【点睛】

本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线

合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.

18.(1)见解析.

(1)(-1.0).

【解析】

11

f(x)+〃-0=|x-。|+|一+

试题分析：(1)直接计算XX,由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；

(1)fM+侬)=+|2戈・%分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.

试题解析：(1)证明：函数f(x)=|x-a|,a<2,

贝(jf(x)+f(--)=|x-a|+|---a|=|x-a|+|-^4-a|>|(x-a)+(—+a)|

XXXX

=旧小|+磊ijlxl•击1.

(1)f(x)+f(lx)=|x-a|+|lx-a|9a<2.

当x<a时,f(x)=a-x+a-lx=la-3x,则f(x)>-a；

当a<x<-^t,f(x)=x-a+a-lx=-x,则-3Vf(x)<-a；

22

当xA|时，f(x)=x-a+lx-a=3x-la,贝！Jf(x)>-贝(Jf(x)的值域为[-+oo).

不等式f(x)+f(lx)V2的解集非空，即为之>-5解得，a>-l,由于aV2,

则a的取值范围是

考点：1.含绝对值不等式的证明与解法基本不等式.

19.(I)[-2,21；(II)"

42

【解析】

2x(x>1),

(I)当a=8=l时，〃x)=k-l|+k+l|=2(—14x41),令g(x)=8-i,作出〃x),g(x)的图像，结合图像即

可求解;

(II)结合绝对值三角不等式可得fix)=|x-4+|x+42|(x+切-(x-。)|=|a+4=a+〃=1,再由“1”的妙用可拼凑为

W+>%W+J3D+句，结合基本不等式即可求解;

【详解】

2x(x>1),

(I)/(x)=|x-l|+|x+l|=<2(-1<X<1),

—2x(x<-1).

令g(x)=8-V,作出它们的大致图像如下:

由8-x2=2xnx=2或x=-4(舍)，得点3横坐标为2,由对称性知,

点A横坐标为-2,

因此不等式fix)<8-x2的解集为[—2,2].

(II)/(X)=|x-a|+|x+/?|>|(x+/?)-(x-a)|=|a+/?|=a+/?=1.

111z11、「/八一1八ba+1后、36

----+——=-(-----+—)[(a+l)4-Z?l=-(l+----+-----+-)>—(-+V2)=-+——

a+\2b2a+\2bl」2a+\2b22242

。=3-2夜,

取等号的条件为左二驾，即的3,联立。+八固

Z?=2a-2.

因此六+5的最小值吟+孝・

【点睛】

本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题

20.(1)^e(2-21n2,+oo);(2)见解析

【解析】

(1)求出尸(x)="-2x-A,记g(x)=/-2x,问题转化为方程g(x)=Z有两个不同解，求导，研究极值即可得

结果：

(2)由(1)知，/(%)在区间(—,In2)上存在极大值点为，且k=e”—2x,,则可求出极大值/(玉)=(1—%+石？,

记/z(f)=(l—f)e'+/Qe(—oc,ln2)),求导，求单调性，求出极值即可.

【详解】

fx

(1)f(x)=e-2x-k9由/'(x)=0=>e"-21=Z,

记g(x)=ex-2x,gr(x)=ex-2,

由g'(x)=0=x=ln2,且尤<ln2时，gr(x)<0,g(x)单调递减，g(x)£(2—21n2,+oo),

x>ln2时，g'(%)>0,g(x)单调递增，g(x)G(2-21n2,+oo),

由题意，方程8(力=%有两个不同解，所以左e(2-21n2,+8)；

(2)解法一：由⑴知，/(x)在区间(HO,In2)上存在极大值点须，且左="-2苞，

所以/*)的极大值为/(xj=e*'=(1-xje为,

记〃(f)=(l-t)e'+t2(te(-oo,In2)),则“'⑺=-te'+2r=r(2-e')，

因为rw(-oo,In2),所以2-e'>0，

所以，<0时，"(r)<0,力⑺单调递减，0<r<ln2时，/«)>0,//«)单调递增，

所以/(f)>〃(0)=1,即函数/(x)的极大值不小于L

解法二：由(1)知，/(X)在区间(—8,In2)上存在极大值点为，且Z=--2%，

所以/(幻的极大值为/(玉)=e"—xj-S_2%%=(1—xjex'+X：,

因为]一玉〉0,ex'>1+X],所以/(XJN(1-X|)(1+X1)+XI2=1.

即函数/(x)的极大值不小于1.

【点睛】

本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.

21.(1){x|-3<x<3}；(2)(-oo,0)U^|,+oo^.

【解析】

(1)分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.

(2)因为对任意于€/?,都存在々GR，使得不等式fO,)>g(X2)成立，等价于/(X)min>g(X)min，根据绝

对值不等式易求，g(X)m”,根据二次函数易求，

然后解不等式即可.

【详解】

—2,x,x<—1,

解：(1)当。=1时，/(x)=|x-l|+|x+l|,则/(尤)=<光<1,

2x,x.A.

当x<—1时，由/(X),,6得，一2%,6,解得T,x<—1；

当—L,X<1时，/(X),,6恒成立；

当x..l时，由f(x),,6得，2%,6,解得啜*3.

所以/(现,6的解集为{x|-3«xW3}

(2)对任意都存在/wR,得/(%)>g®)成立,等价于/(x)而0>g(x)1nhi.

因为4—2a+3=(a—1)2+2>0,所以/>2。—3,

fi||x-a"+1x-2a+31..j(x—tz")—(x-2a+3)|=-2a+3|

=4—2a+3,①

当2a-3瓢/时，①式等号成立，即/(x)mM=a2—2a+3.