2023年广西名校高考冲刺模拟数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫

法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如

图正方形A8C。，在点E,尸处各放一个目标球，表演者先将母球放在点4处，通过击打母球，使其依次撞击点E,F

处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=6Q°,则该正方形的边长为（）

A.50yf2cmB.40>/2cmC.50c/〃D.20^6cm

22

2.已知双曲线「一［=1（。>0,h>0）的左、右顶点分别为4，A2>虚轴的两个端点分别为四，若四边

ab'

形444劣的内切圆面积为18万，则双曲线焦距的最小值为（）

A.8B.16C.60D.1272

3.如图所示，为了测量A、8两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在。的北偏西45°的方向上，B在

C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得8在E的北偏西30°的方向上，再开回C处，

由C向西开2#百海里到达。处，测得A在。的北偏东22.5。的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）

A.3B.372C.4D.4夜

4.运行如图所示的程序框图，若输出的值为300,则判断框中可以填（）

A.i>30?B.i>40?C.z>50?D.z>60?

5.复数z=经正1的虚部为（）

z+1

A.—1B.—3C.1D.2

xlnx-2x,x>0

6.已知函数/（x）={23n的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-l的对称点在丁=依-1的图像

x~\—x,x40

I2

上，则实数攵的取值范围是（）

2

7.设2=——+（l+z）2（i是虚数单位），则|z|=（）

l+l

A.72B.1C.2D.75

8.已知函数f（x）=sin（蛆+8）（。>0,|0区生）,x=-生为/（x）的零点，x=工为y=/（x）图象的对称轴，且f（x）

244

在区间（7,（）上单调，则"的最大值是（）

A.12B.11C.10D.9

22

9.若双曲线0—21=1的离心率为百，则双曲线的焦距为（）

a24

A.2#B.2A/5C.6D.8

10.在边长为2百的菱形ABCD中，ZBAD=6O°,沿对角线折成二面角A-BD—C为120°的四面体ABCO（如

图），则此四面体的外接球表面积为（）

A.28%B.77

C.14万D.21兀

11.复数2i(l+i)的模为().

1r-

A.-B.1C.2D.25/2

12.音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，

他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如asin法的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项

是基本音，其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波.下

列函数中不能与函数y=0.06sin180000/构成乐音的是()

A.y=0.02sin360000rB.y=0.03sin180000/C.y=0.02sin181800f

D.y=0.05sin540000，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在［的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于.

14.对定义在［()」］上的函数/(x),如果同时满足以下两个条件：

(1)对任意的总有

(2)当x2..0,X+W，，1时，总有/(%+工2)♦・/(%)+/(々)成立.

则称函数于(X)称为G函数.若h(x)=a-2x-l是定义在［0,1］上G函数，则实数a的取值范围为.

15.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为。、b、c,已知/一。2=2〃，且sinAcosC=3cosAsinC,则

b=.

16.若我€氏/2一。而7'+5<0为假，则实数4的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=1+cos6

17.(12分)在平面直角坐标系中，已知直线/的参数方程为](，为参数)和曲线C：b=sin.(°

y=——t

I2

为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线/和曲线C的极坐标方程；

ITUN

(2)在极坐标系中，已知点M是射线乙：。=a(ae[0,y])与直线I的公共点，点N是4与曲线C的公共点，求‘就

的最大值.

L4L

18.(12分)在A4BC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2j3sin2—+sinA—丁3=0.

2

(1)求角A的大小；

(2)已知AABC外接圆半径尺=8,AC=旧，求AABC的周长.

,八、一二一3,a,、a-1a+\a\x.

19.(12分)已知函数f(x)=lnx+——a,g(x)=----+---------1，(«GR)

xx2e

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)在定义域内有且仅有一个零点，且此时/(x)»g(x)+加恒成立，求实数m的取值范围.

20.(12分)已知函数/(x)=-41nx+gx2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)讨论=W+—零点的个数.

x=]+2cosa

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程是"c.(。为参数)，以原点。为极点，工轴正

y=2sina

半轴为极轴，建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos(e+?1=&.

(I)求曲线c的普通方程与直线/的直角坐标方程；

(II)已知直线/与曲线C交于A,B两点,与X轴交于点P,求|孙卜|。邳.

22.(10分)已知函数=.

⑴若/(力=》一一一皿-在％=%],%2(%产％2)处导数相等，证明：/(xj+/(w)>3-21n2；

(2)若对于任意Ze(e,l),直线y=与曲线y=/(x)都有唯一公共点，求实数匕的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

过点旦尸做正方形边的垂线，如图，设NAEM=a,利用直线三角形中的边角关系，将用a表示出来，根

据=列方程求出a,进而可得正方形的边长.

【详解】

过点做正方形边的垂线，如图，

设则NCbQ=a,NMEF=NQFE=60—a,

则A3=AV+M/V+NB=A£sina+EFsin（60—a）+FCsina

J3.G

50sina+40sin（60-a）+30sina=40—sina+——cosa

22

\7

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60—a）

（3V3.、

=50cosa+30cosa-40cos（60-a）=40一cosa------sina

（22

7

（36）f3G.）

因为=贝iJ40-sina+-^-cosa40一cosa-----sina,

（22J

7

整理化简得任里=2-6，又sin2a+cos2&=l，

cosa

得sina=",cosa="

2V22V2

%na+近cos«、=40x，与+2与1]

AB=40=20尻

2222V222V2J

7

即该正方形的边长为20娓cm.

故选：D.

【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.

2.D

【解析】

根据题意画出几何关系，由四边形4片4鸟的内切圆面积求得半径，结合四边形4月4鸟面积关系求得。与川?等量

关系，再根据基本不等式求得。的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.

【详解】

根据题意，画出几何关系如下图所示：

设四边形AM&B2的内切圆半径为广，双曲线半焦距为C,

则Q&l=a,|o叫=",

所以I&MI=+庐=C，

四边形4片4鸟的内切圆面积为18万，

则18万=+,解得QC=r=3及，

则/边形根此=g|4A2H4因=4x：|44Hoq,

即,•2Q・2Z?=4X'・C・3五

22

a2+b2

故由基本不等式可得ab二2_/，即cN60，

-35/2-3>/2_6A/2

当且仅当a=h时等号成立.

故焦距的最小值为12a.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.

3.B

【解析】

先根据角度分析出NC5及NACRND4c的大小，然后根据角度关系得到AC的长度，再根据正弦定理计算出的

长度，最后利用余弦定理求解出AB的长度即可.

【详解】

由题意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,ZBEC=60°,

所以ZCBE=180°-75°-60。=45。，ZDAC=180°-67.5°-45°=67.5°,

所以NZMC=ZAZ)C,所以CA=CD=2瓜,

又因为-.所以BC=2g2=娓,

sin/BECsinZCBE2

所以A3=VAC2+BC2-2AC-BC-cosZACB={24+6-2x2&x&xg=3&.

故选：B.

【点睛】

本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.

4.B

【解析】

由300=200+10+20+30+40,则输出为300,即可得出判断框的答案

【详解】

由300=200+10+20+30+40,则输出的值为300,z=40+10=50,故判断框中应填i>40?

故选：B.

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.

5.B

【解析】

对复数二进行化简计算，得到答案.

【详解】

("iy+44-2z(4-2z)(l-z),

z=---------------=-----=-----------=l-3z

Z+ll+i2

所以z的虚部为-3

故选B项.

【点睛】

本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.

6.A

【解析】

可将问题转化，求直线y=丘-1关于直线y=-l的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临

界点，进一步确定攵的取值范围即可

【详解】

可求得直线y=依-1关于直线y=-l的对称直线为丁=如-1(〃?=-&),

当x>()时，/(x)=xlnx—2x,/'(x)=lnx-l,当x=£时，/'(x)=0,则当xe(0,e)时，/'(x)<0,/(x)

单减,当XG(e,+°o)时，/(x)>0,/(x)单增；

3a3aa

当xWO时，f(x)=x2+-x,/'(x)=2x+1,当彳=一工,f'(x)=O,当x<—三时，/(x)单减，当-*x<0时,

22444

/(X)单增；

根据题意画出函数大致图像，如图：

3I

当y=mx-l与/(x)=f+鼻尤(x«0)相切时，得A=0,解得根=一］

y=x\nx-2x

当y=—l与/(x)=xlnx-2x(x>0)相切时，满足，y=mx-1

m=Inx-\

解得了=1,m=一1,结合图像可知机即-此(一1，一；［，％'［；'］

故选：A

【点睛】

本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题

7.A

【解析】

先利用复数代数形式的四则运算法则求出z,即可根据复数的模计算公式求出Iz|.

【详解】

VZ=-^+(1+Z)2=1-Z+2Z=1+Z,.•.|Z|=JF+I2=0.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，

属于容易题.

8.B

【解析】

由题意可得◎(-£)+/=觎，且31+9=〃万+1，故有0=2伏-Q+1①，再根据:二求得12②,

4422G34

由①②可得。的最大值，检验①的这个值满足条件.

【详解】

解：函数f(x)=sin(0x+9)(ty>O,\(p\„y),

x=—生为/(x)的零点，X=工为y=/(x)图象的对称轴，

44

JTJTTT

.,・切•(一一)+夕=女乃，且+0=/4+—,k、k!GZ,...口=2(〃-2)+1,即刃为奇数①.

442

刍单调，.・二二.q-3,.”,12②.

4326934

由①©可得色的最大值为1.

TTrrrr

当。=11时，由％=一为y=/(x)图象的对称轴，可得iix：+e=上万+《，kwZ,

442

故有。=-工，＜M-1)+(p=k兀,满足%=-%为/(x)的零点，

444

同时也满足满足/(外在上单调，

故。=11为0的最大值，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题.

9.A

【解析】

依题意可得〃2=4,再根据离心率求出力,即可求出C,从而得解；

【详解】

解：•双曲线5-匕=1的离心率为由,

a14

4

所以e?=l+/=3,.•./=2Ac=V6.双曲线的焦距为2#.

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

10.A

【解析】

画图取5。的中点M,法一：四边形0aMa的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据

即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出ACBD的外接圆直径CE,求出AC和sin/AEC,即可

求半径从而求外接球表面积；

【详解】

如图，取BO的中点M,ACBO和的外接圆半径为乙=弓=2,ACBO和AARD的外心。|，。2到弦BO的

距离(弦心距)为&=4=L

法一：四边形。。|加。2的外接圆直径OM=2,R=不，

S=284；

法二：OO]=BR=BS=28R；

法三：作出ACBO的外接圆直径CE,则A"=CW=3,CE=4,ME=1,

AEWAC=3C，cos/AEC=-^^=一乖,

362R=———=^^=2近r

sinZA£C=：,sinZA£C373，R=近,S=28万.

2巧访

故选：A

【点睛】

此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.

11.D

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

解：•.⑵(l+i)=-2+2i,

•••复数2/(1+0的模为7(-2)2+22=2夜.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题.

12.C

【解析】

由基本音的谐波的定义可得/=*(〃eN*),利用/=工=*可得阻=ncoAneN*),即可判断选项.

T2兀

【详解】

由题，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波，

由/='=2,可知若/；=桃(〃€N*),则必有a=ns,(〃eN*),

TITI

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

由题意可得〃=8,再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值.

【详解】

(融-2)”的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，.•.”=8,

X

通项公式为却nCX-zy.x"7=(-2『.q.『令W^=°'求得r=2，

可得二项展开式常数项等于4x《=112,

故答案为L

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14.{1}

【解析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：。对任意的xe［0,1］恒成立，解得aNl,又一K(2"-1)(2*-1)

n—\

在玉NO,々NO,玉+工2<1恒成立，即——<0,所以aWl,从而可得a=l.

a

【详解】

因为h(x)=a-2x-l是定义在［0,1］上G函数,

所以对任意的xe［0,1］总有A(x)>0,

则a2二对任意的xG［0,1］恒成立，

解得a>\,

当时，

又因为为..0,x2..0,玉+彳2„1时,

总有〃（玉+々）..〃（玉）+〃（工2）成立，

即"（X]+*2）—["（%）+%（/）]=a,2'*"—a"2'1—ci-2、+1

=。（2f_1）（2*2_1）+1-。20恒成立，

即一《（2"-1）（2巧—1）恒成立，

又此时（2小一1）（2--1）的最小值为0,

即巴」＜0恒成立，

a

又因为。之1

解得a=L

故答案为：{1}

【点睛】

本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.

15.4

【解析】

■:sinAcosC=3cosAsinC

〃2_|_序_2序上2_2

...根据正弦定理与余弦定理可得：ax生？~-=3x~—xc,即2c2=2«2-h2

lab2bc

''a2-c2=2b

刈

Z?=4

故答案为4

16.(-<x>,4]

【解析】

%2+5

由叫eR,x02-。5/2+1+5＜0为假,可知\/》6此》2-小户^+520为真，所以对任意实数X恒

\lx2+1

X2+5X2+5

成立，求出的最小值，令。＜（）min即可.

Jf+i&+1

【详解】

因为Hr。eR/o?-aJj^Ti+5<0为假，则其否定为真,

2

I----%+5_,炉+5、

即\/%€1<%2-4&+1+520为真,所以a47=^=^对任意实数X恒成立，所以Jmin.

工2+5/4/4

又「—=4+1+当且仅当1—+1=-/亏=即1=±6时，等号成立，所以aK4.

A/X+1+1yjx+\

故答案为：(—8,4].

【点睛】

本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/?sin(6+()=^',p=2cosO；(2)([。闸)“一=2/+2

【解析】

(1)先将直线/和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；

(2)写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出|。叫和|OM|,利用三角函数的性质求出公而的最大

值.

【详解】

解：(1)/：x+y=g,/?cos0+psin6=；,

即极坐标方程为夕sin(e+?)=#，

C:(x-1)2+/=1,极坐标方程夕=2cos6.

(2)由题可知例,2、，N(2cosa,a)

sma+cosa

|ON\_PN_2cosa

初二六~

2

sina+cosa

=4cosa(sina+cosa)

=2sin2a+2(cos2a+1)

=2\/2sin(2a+?)+2,

•.当a=(时，(周卜=2"+2.

【点睛】

本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.

18.(1)—(2)3+373

3

【解析】

(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围OVAVTT,可求A的值.(2)由正弦定理可

求a,利用余弦定理可得c值，即可求周长.

【详解】

1-AL

(1),/2^sin2一+sinA—V3=0

2

iCOsA

...2y[3x~+sinA-y/3=0f

2

即sinA-V3cosA=0/.tanA=G

加

又OVA<TT「.A=—

3

(2)•：~^—=2Ra-27?sinA-2>/3sin—=3,

sinA3

VAC=6=6

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

--6=0，

Vc>0,所以得c=2百，

周长a+b+c=3+36.

【点睛】

本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题.

19.(1)040时,/(x)在(0,+℃)上单调递增，a〉0时，Ax)在(0,。)上递减，在3m)上递增.(2)(-oo,-U.

【解析】

(1)求出导函数/’(无)，分类讨论，由/'(x)>0确定增区间，由/'(x)<0确定减区间；

(2)由/⑴=0,利用(1)首先得或a=l,求出/(x)-g(x)的最小值即可得结论.

【详解】

(1)函数定义域是(0,+8),

小)」-二=二，

XXX

当时，r(x)>o,〃x)单调递增；

“>()时，令/'(x)=0得x=a,0<x<a时，f'(x)<Q,f(x)递减，x>。时，f'(x)>0,f(x)递增，

综上所述，时，，幻在(0,+8)上单调递增，〃>0时，/(幻在(0,。)上递减，在(a,y)上递增.

(2)易知/(1)=0,由函数单调性，若有唯一零点，则或。=1.

a-\1

当a40时，g(x)=----/(x)-g(x)=lnx+——a,

XX

从而只需a=0时，/(无)-g(x)2机恒成立，即m<lnx+,，

x

令〃(x)=lnx+,，/(幻=』一二=与1,〃(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，

XXXX

・••力(X)min=%⑴T，从而加£1.

X1

。=1时，g(x)=——r>f(x)=InxH----1,

ex

1Yx—1I—X11

令t(x)=/(x)—g(x)=lnx+——1，由«幻=————=(x-l)(—+F),知，(X)在(0,1)递减，在(1,转)

xexexe

上递增，/焉=«1)=-1，，加4一1.

综上所述，加的取值范围是(一%-1].

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题

通常转化为求函数的最值.这又可通过导数求解.

20.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.

—4Inx41nx21n,

⑵g(x)=-------+法,g(x)有零点等价于方程------+法=0实数根，再换元将原方程转化为b=——，再求导分

XXt

广，/、21nz

析力(，)=----的图像数形结合求解即可.

【详解】

.4—4,

(1)fM的定义域为(0,+8),(幻=+x=，当0<x<2时,/'3<0,所以y=/(%)在(0,2)单调递减；

XX

当》>2时,/'(X)>0,所以y=/(x)在(2,+8)单调递增，所以y=f(x)的减区间为(0,2),增区间为(2,+8).

—41nxzllnx21nl

(2)g(x)=-----+bx,g(x)有零点等价于方程--------+乐=0实数根，令丁=t(t>0)则原方程转化为b=——,

XXt

令人⑺=，〃'⑺=.令/⑺=0,/=e,.\，e(0,e),〃'Q)>0/€(e,+oo),/“f)<0,

2I

〃(力max=h(e)=一，当r=一时,h(t)=-2e<°,当r>e时,〃《)>0.

ee

如图可知

①当匕W0时，〃⑺有唯一零点，即g(x)有唯一零点；

2

②当0<%(一时，〃⑺有两个零点，即g(x)有两个零点；

e

o

③当b=—时，力⑺有唯一零点，即g(x)有唯一零点；

e

2

④人>一时,〃⑺此时无零点，即g(x)此时无零点.

e

【点睛】

本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法，同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.

21.(1)(xT)2+y2=4,直线1的直角坐标方程为x-y—2=0；(2)3.

【解析】

(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数

方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于/的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求

解.

【详解】

⑴由曲线C的参数方程2c(a为参数)=0一(a为参数)，

ly=2sinaly=2sina

两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x—l)2+y2=4；

由直线1的极坐标方程可得pcosOcos-j-psiwOsi/z-j-==>pcos0—psi/iO=2,

即直线1的直角坐标方程为x-y-2=0.

fx=2+^t,

(2)由题意可得P(2,0),则直线1的参数方程为《(t为参数).

设A,B两点对应的参数分别为ti,t2,则|PAHPB|=|hHt2l,

fx=2+^t,

将I(t为参数)代入(x—l)z+y2=4,得t?+扬一3=0,

lr=2t

贝!|A>0,由韦达定理可得t/t2=-3,所以|PAHPB|=|-3|=3.

22.(I)见解析(II)b>-\n2

【解析】

(1)由题X>0,l+由f(X)在X=X1,X2(X/X2