第十讲虚功原理与单位载荷法

第十讲虚功原理与单位载荷法第1页，共34页，2023年，2月20日，星期二余功与余能

ComplementaryWorkandComplementaryEnergy弹性体的余能Vc数

值上等于余功：余功的定义:上讲回顾第2页，共34页，2023年，2月20日，星期二

单向应力状态下的余能密度为故拉压杆与梁的余能为余能计算《材料力学（II）》第1版，单辉祖编著，高教社第3页，共34页，2023年，2月20日，星期二克罗第－恩格塞定理

弹性体的余能对载荷

Fk

的偏导数，等于该载荷的相应位移

Dk－克罗第－恩格塞定理第4页，共34页，2023年，2月20日，星期二卡氏定理线性弹性体的应变能，对载荷

Fk的偏导数，等于该载荷的相应位移

Dk

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卡氏第二定理对于线性弹性体：第5页，共34页，2023年，2月20日，星期二卡氏定理1）适用于线弹性体；2）附加载荷法；3）引入新变量，区分相关载荷；4）求相对位移；5）正确理解载荷相应位移的概念。应用卡氏定理的几个问题：第6页，共34页，2023年，2月20日，星期二§4变形体虚功原理变形体虚功原理变形体虚功原理的证明第7页，共34页，2023年，2月20日，星期二变形体虚功原理几个概念

1）与外力保持平衡并满足静力边界条件的内力，称为静力可能内力或可能内力

1、可能内力与外力（静力许可场）2）杆的可能内力用FN,T,FS与M表示）可能内力与外力结构的静力许可场第8页，共34页，2023年，2月20日，星期二

1）满足变形连续条件与位移边界条件的任意结构位移，称为几何可能位移，相应之变形称为可能变形2、

可能位移与可能变形（运动许可场）

3）杆微段的变形用dd,df与dq表示

2）杆件的位移：几个概念运动许可场第9页，共34页，2023年，2月20日，星期二变形体虚功原理可能内力满足：可能位移与变形满足：（平衡条件）（静力边界条件）（变形连续条件）（位移边界条件）例如第10页，共34页，2023年，2月20日，星期二可能内力变形体虚功原理Px12l2l1APyPP12l2l1APxPy第11页，共34页，2023年，2月20日，星期二可能内力变形体虚功原理Px132l2l3l1APy平衡方程有无数内力解答；

任一组内力解答均为可能内力PxPy第12页，共34页，2023年，2月20日，星期二132l2l3l1AA’Δl2Δl1Δl3可能变形变形体虚功原理132l2l3l1AA’Δl2Δl1Δl3满足变形协调条件的任一组变形均为可能变形第13页，共34页，2023年，2月20日，星期二

假想的、微小的可能位移，称为结构的虚位移，相应之变形称为虚变形杆微段的虚变形用dd*、df*与dq*表示3、

虚位移与虚变形4、

虚功（以梁为例）结构的外力与内力任取结构的虚位移与虚变形几个概念如何表示？二者的关系？如温度变形第14页，共34页，2023年，2月20日，星期二5、内力虚功与外力虚功

作用在所有微段上的可能内力在虚变形上作之总虚功－内力虚功外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功第15页，共34页，2023年，2月20日，星期二变形体虚功原理

可以证明：外力在虚位移上所作外力虚功

We，等于可能内力在虚变形上所作内力虚功

Wi，即

We＝Wi称为变形体虚功原理（虚位移原理）PrincipleofVirtualWork第16页，共34页，2023年，2月20日，星期二变形体虚功原理的例证可能内力满足：虚位移满足：（平衡条件）（静力边界条件）（变形连续条件）（位移边界条件）第17页，共34页，2023年，2月20日，星期二外力虚功内力虚功比较证毕！第18页，共34页，2023年，2月20日，星期二变形体虚功原理的例证——讨论讨论：1）简支梁：位移边界条件与静力边界条件第19页，共34页，2023年，2月20日，星期二变形体虚功原理的例证——讨论2）悬臂梁：位移边界条件与静力边界条件第20页，共34页，2023年，2月20日，星期二适用于线弹性、非线弹性、非弹性体关于变形体虚功原理外力内力虚位移虚变形满足变形协调条件、位移边界条件静力许可场运动许可场彼此独立外力虚功内力虚功满足平衡方程、静力边界条件第21页，共34页，2023年，2月20日，星期二§5单位载荷法单位载荷法的基本公式单位载荷法的常用公式例题第22页，共34页，2023年，2月20日，星期二单位载荷法的基本公式结构的载荷状态构造单位(载荷)状态运动许可场静力许可场第23页，共34页，2023年，2月20日，星期二D－线位移，加单位力D－角位移，加单位力偶D－相对线位移，加一对相等相反单位力D－相对角位移，加一对相等相反单位力偶

关于位移与单位载荷关于位移方向

当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向D－广义位移，施加相应单位广义载荷实际变形由载荷状态下的实际内力确定第24页，共34页，2023年，2月20日，星期二线弹性拉压杆与桁架：处于平面弯曲的线弹性梁与刚架：基本变形情况线弹性轴：单位载荷法的常用公式第25页，共34页，2023年，2月20日，星期二单位载荷法的常用公式组合变形情况对于线弹性杆或杆系，微段变形与内力关系：第26页，共34页，2023年，2月20日，星期二例题解：1.构造单位载荷状态2.求支反力，建立弯矩方程例

5-1第27页，共34页，2023年，2月20日，星期二AB段：BC段：3.位移计算第28页，共34页，2023年，2月20日，星期二例5-2求qA=?应如何分段，坐标系如何选取？解：1.构造单位载荷状态2.分段建立弯矩方程第29页，共34页，2023年，2月20日，星期二解：影响小曲率梁变形的主要内力－弯矩例

5-3一小曲率梁，求截面A与B间的相对转角()由虚功原理可得第30页，共34页，2023年，2月20日，星期二AB段：BC段：例

5-4解：第31页，共34页，2023年，2月20日，星期二(