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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B.4C. D.52.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出属于()A. B. C. D.3.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.4.已知的共轭复数是,且(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知抛物线:()的焦点为,为该抛物线上一点,以为圆心的圆与的准线相切于点,,则抛物线方程为()A. B. C. D.6.设为等差数列的前项和,若,,则的最小值为()A. B. C. D.7.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.8.已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.49.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为,则()A.3 B. C. D.11.在中,角、、的对边分别为、、,若,,,则()A. B. C. D.12.复数(i为虚数单位)的共轭复数是A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,则________.(填“>”或“=”或“<”).14.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为________.15.已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为_____.16.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中,.(1)当时,求的值;(2)当的最小正周期为时,求在上的值域.18.(12分)已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.19.(12分)已知函数(),是的导数.(1)当时,令,为的导数.证明:在区间存在唯一的极小值点;(2)已知函数在上单调递减,求的取值范围.20.(12分)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.(1)已知_______________,计算的面积;请①,②,③这三个条件中任选两个,将问题(1)补充完整,并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可,如果选择多种情况作答,以第一种情况的解答计分.(2)求的最大值.21.(12分)在极坐标系中,已知曲线C的方程为(),直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且,求r的值.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
还原几何体的直观图,可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【详解】如图,三棱锥的直观图为,体积.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.2、B【解析】
由题意,框图的作用是求分段函数的值域,求解即得解.【详解】由题意可知,框图的作用是求分段函数的值域,当;当综上:.故选:B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.3、A【解析】
设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.4、D【解析】
设,整理得到方程组,解方程组即可解决问题.【详解】设,因为,所以,所以,解得:,所以复数在复平面内对应的点为,此点位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识,考查了方程思想,属于基础题.5、C【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标,根据轴、列方程,解方程求得的值.【详解】不妨设在第一象限,由于在抛物线上,所以,由于以为圆心的圆与的准线相切于点,根据抛物线的定义可知,、轴,且.由于,所以直线的倾斜角为,所以,解得,或(由于,故舍去).所以抛物线的方程为.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查直线的斜率,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.6、C【解析】
根据已知条件求得等差数列的通项公式,判断出最小时的值,由此求得的最小值.【详解】依题意,解得,所以.由解得,所以前项和中,前项的和最小,且.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算,考查等差数列前项和最值的求法,属于基础题.7、C【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.8、C【解析】
将直线方程代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.【详解】F(1,0),故直线AB的方程为y=x﹣1,联立方程组,可得x2﹣6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.由抛物线的定义可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.9、A【解析】
基本事件总数,利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个,由此能求出其和等于11的概率.【详解】解:从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,基本事件总数,其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4个,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.10、D【解析】
由双曲线方程可得渐近线方程,根据倾斜角可得渐近线斜率,由此构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程可知:,渐近线方程为:,一条渐近线的倾斜角为,,解得:.故选:.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题,关键是明确直线倾斜角与斜率的关系;易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.11、B【解析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【详解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故选:B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算,考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用,考查运算求解能力,属于中等题.12、B【解析】分析:化简已知复数z,由共轭复数的定义可得.详解:化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B.点睛:本题考查复数的代数形式的运算,涉及共轭复数,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
注意到,故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知,,故有.又由,故有.故答案为:.【点睛】本题考查对数式比较大小,涉及到换底公式的应用,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.14、【解析】
由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人,根据抽样比可求得结果.【详解】设高一、高二、高三人数分别为,则且,解得:,用分层抽样的方法抽取人,那么高二年级被抽取的人数为人.故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样问题的求解,涉及到等差数列的相关知识,属于基础题.15、2.【解析】
由双曲线的一条渐近线为,解得.求出双曲线的右焦点,利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线的一条渐近线为解得:双曲线的右焦点为焦点到这条渐近线的距离为:本题正确结果:【点睛】本题考查了双曲线和的标准方程及其性质,涉及到点到直线距离公式的考查,属于基础题.16、【解析】
记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)根据,得到函数,然后,直接求解的值;(2)首先,化简函数,然后,结合周期公式,得到,再结合,及正弦函数的性质解答即可.【详解】(1)因为,所以(2)因为即因为,所以所以因为所以所以当时,.当时,(最大值)当时,在是增函数,在是减函数.的值域是.【点睛】本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法,两角和与差的正弦、余弦公式,三角函数的图象与性质等知识,考查了运算求解能力,属于中档题.18、(1);(2).【解析】试题分析:(1)设公差为,列出关于的方程组,求解的值,即可得到数列的通项公式;(2)由(1)可得,即可利用裂项相消求解数列的和.试题解析:(1)设公差为.由已知得,解得或(舍去),所以,故.(2),考点:等差数列的通项公式;数列的求和.19、(1)见解析;(2)【解析】
(1)设,,注意到在上单增,再利用零点存在性定理即可解决;(2)函数在上单调递减,则在恒成立,即在上恒成立,构造函数,求导讨论的最值即可.【详解】(1)由已知,,所以,设,,当时,单调递增,而,,且在上图象连续不断.所以在上有唯一零点,当时,;当时,;∴在单调递减,在单调递增,故在区间上存在唯一的极小值点,即在区间上存在唯一的极小值点;(2)设,,,∴在单调递增,,即,从而,因为函数在上单调递减,∴在上恒成立,令,∵,∴,在上单调递减,,当时,,则在上单调递减,,符合题意.当时,在上单调递减,所以一定存在,当时,,在上单调递增,与题意不符,舍去.综上,的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题,在处理恒成立问题时,通常是构造函数,转化成函数的最值来处理,本题是一道较难的题.20、(1)见解析(2)1【解析】
(1)选②,③.可得,结合,求得.即可;若选①,②.由可得由,求得.即可;若选①,③,可得,又,可得,即可;(2)化简,根据角的范围求最值即可.【详解】(1)若选②,③.,,,,又,.的面积.若选①,②.由可得,,,又,.的面积.若选①,③,,又,,可得,的面积.(2),当时,有最大值1.【点睛】本题考查了正余弦定理,三角三角恒等变形,考查了计算能力,属于中档题.21、【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,可得圆心到直线的距离,再由勾股定理,计算即得.【详解】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,可得曲线C:()的直角坐标方程为,表示以原点为圆心,半径为r的圆.由直线l的方程,化简得,则直线l的直角坐标方程方程为.记圆心到直线l的距离为d,则,又,即,所以.【点睛】本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程,是基础题.22、(Ⅰ)极大值为:,无极小值;(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,
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