新教材2020-2021学年高中数学人教B版第一册学案：1.2.3充分条件、必要条件含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教B版必修第一册学案：1.2.3充分条件、必要条件含解析1．2.3充分条件、必要条件[课程目标]1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念；2.会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件．知识点一推出符号“⇒”[填一填]（1）命题的条件和结论“如果p，则(那么)q"形式的命题，其中eq\o(\s\up7(p），\s\do5(）)称为命题的条件，eq\o(\s\up7（q),\s\do5（））称为命题的结论．（2）推出符号“⇒”的含义当命题“如果p，则q”是真命题时,就说由eq\o（\s\up7（p)，\s\do5()）可以推出eq\o（\s\up7(q),\s\do5()）.记作p⇒q,读作“p推出q”．[答一答]1．如何理解“⇒”的含义？提示：（1）只有当一个命题是真命题时，才能使用“⇒"表示．(2）符号“eq\o(⇒，/）”的含义：当命题“如果p,则q”是假命题时，就说由p不能推出q.记作peq\o(⇒,/)q，读作“p不能推出q”．(3)推出的传递性:若p⇒q且q⇒r，则p⇒r.知识点二充分条件、必要条件［填一填］如果由p可推出q，则称eq\o(\s\up7（p)，\s\do5())是eq\o(\s\up7(q),\s\do5())的充分条件或eq\o（\s\up7（q），\s\do5（)）是eq\o（\s\up7（p）,\s\do5（）)的必要条件．［答一答］2．怎样深入理解充分条件、必要条件的定义？提示:（1）p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少的条件，q成立,p不一定成立,但q不成立，p一定不成立．（2）若p则q是真命题，p⇒q，p是q的充分条件，q是p的必要条件三种说法是等价的．(3)判定充分条件、必要条件只是对“p能推出q”进行了单向探讨，至于“q能否推出p”这需结合定义理解，判断“若q则p”的真假．知识点三充要条件［填一填］一般地，如果p⇒q,且eq\o(\s\up7（q）,\s\do5（）)⇒eq\o（\s\up7(p)，\s\do5(）)，则称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件,记作p⇔q，显然，eq\o（\s\up7(q)，\s\do5（））也是eq\o(\s\up7（p）,\s\do5（)）的充要条件．又常说成eq\o(\s\up7(p)，\s\do5（)）当且仅当eq\o(\s\up7（q），\s\do5（）)或p与q等价．［答一答]3．判断充要条件的步骤是怎样的？提示:(1）确定条件是什么，结论是什么;(2）尝试从条件推结论，结论推条件；（3)确定条件是结论的什么条件．类型一充分条件、必要条件的判定[例1］给出下列四组命题：（1)p:x－2＝0；q：（x－2）(x－3）＝0.（2）p:两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3）p：m〈－2；q:方程x2－x－m＝0无实根．（4)p:一个四边形是矩形；q:四边形的对角线相等．试分别指出p是q的什么条件．[解](1）∵x－2＝0⇒（x－2)(x－3)＝0；而(x－2）（x－3)＝0eq\o(⇒，/)x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．（2)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．（3）∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根eq\o(⇒，/）m〈－2。∴p是q的充分不必要条件．（4）∵四边形是矩形⇒四边形的对角线相等；而四边形的对角线相等eq\o(⇒,/)四边形是矩形,∴p是q的充分不必要条件．1判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性,若p⇒q为真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p为真，则p是q成立的必要条件。2注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断。3关于充分条件的判断问题,当不易判断p⇒q真假时，也可从集合角度入手进行判断.[变式训练1]判断下列条件中，p与q中的哪个条件是另一个条件成立的充分条件．（1)p：△ABC中,∠A＝∠B，q：△ABC是等腰三角形；(2）p:集合M是集合N的真子集，q:集合M是集合N的子集；（3)p：x〉1，q：2x－1〉5.解:（1）在△ABC中，若∠A＝∠B，则必有△ABC是等腰三角形,反之，若△ABC是等腰三角形,则未必有∠A＝∠B（因为可以是任意的两个角相等），所以p⇒q，但q⇒p。因此p是q的充分条件，但q不是p的充分条件．(2)若集合M是集合N的真子集，则集合M必是集合N的子集，即p⇒q，但是若集合M是集合N的子集,未必有集合M是集合N的真子集（可能还有M＝N),即qeq\o（⇒,/）p.因此p是q的充分条件，但q不是p的充分条件．（3)q：x>3，peq\o（⇒,/)q,q⇒p，因此q是p的充分条件，但p不是q的充分条件．类型二充要条件的求解与证明[例2］求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．［解］（1)当a＝0时，原方程化为2x＋1＝0,此时根为x＝－eq\f(1，2），满足条件．（2）当a≠0时，因为方程的常数项为1不为0，f（0）＝1≠0,方程没有零根．①若方程有两异号的实根x1,x2,则x1x2＝eq\f（1,a)<0且Δ＝4－4a≥0，即a<0；②若方程有两个负的实根x1、x2，则需满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x1x2＝\f(1,a）>0，,x1＋x2＝－\f(2,a)〈0,，Δ≥0，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1，a)〉0，，－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0，））解得0〈a≤1。综上，若方程至少有一个负的实根,则a≤1。反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.证明充要条件问题要注意以下几点：1充分性、必要性分开，指明哪一部分是充分性，哪一部分是必要性，否则将会扣分.2充分性与必要性错证,将充分性证成必要性,必要性证成充分性，这也会造成失分。为了避免将充分性与必要性证反，证充分性时，从条件开始，证必要性时从结论开始.［变式训练2]已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0。证明:必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0,∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝（a＋b)(a2－ab＋b2）－(a2－ab＋b2）＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0。充分性:∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即（a＋b－1)（a2－ab＋b2）＝0，又ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝（a－eq\f(b，2）)2＋eq\f（3，4)b2〉0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时,a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.1．p：x＝1或x＝2，q:x－1＝eq\r(x－1），则p是q的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝eq\r(x－1），x－1＝eq\r（x－1)⇒x＝1或x＝2,所以，p是q的充要条件．故选C。2．设p：－1〈x<1；q：－2<x<1，则p是q的（A）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由－1<x〈1可得－2〈x〈1，反之不一定成立，因此p是q的充分不必要条件．故选A。3．设集合M＝{x｜0〈x≤3}，N＝{x｜0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的（B）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为NM，所以“a∈M”