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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°2.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()A. B. C. D.3.已知集合,则集合的非空子集个数是()A.2 B.3 C.7 D.84.是虚数单位,则()A.1 B.2 C. D.5.设集合,,则()A. B.C. D.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.7.已知集合A={0,1},B={0,1,2},则满足A∪C=B的集合C的个数为()A.4 B.3 C.2 D.18.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.9.正的边长为2,将它沿边上的高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体的外接球表面积为()A. B. C. D.10.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.11.已知函数是奇函数,则的值为()A.-10 B.-9 C.-7 D.112.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合,若,且,则实数所有的可能取值构成的集合是________.14.三个小朋友之间送礼物,约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),则三人都收到礼物的概率为______.15.若实数,满足不等式组,则的最小值为______.16.已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若在处导数相等,证明:;(2)若对于任意,直线与曲线都有唯一公共点,求实数的取值范围.18.(12分)的内角,,的对边分别为,,,其面积记为,满足.(1)求;(2)若,求的值.19.(12分)如图,焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点,中心都在坐标原点,且椭圆与的离心率均为.(Ⅰ)求椭圆与椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点M的互相垂直的两直线分别与,交于点A,B(点A、B不同于点M),当的面积取最大值时,求两直线MA,MB斜率的比值.20.(12分)已知函数,,若存在实数使成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润(单位:亿元)(Ⅰ)求关于的线性回归方程,并预测该公司年(年份代号记为)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为级利润年,否则称为级利润年.将(Ⅰ)中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值,现从年至年这年中随机抽取年,求恰有年为级利润年的概率.参考公式:,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.2、B【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故选:.【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.3、C【解析】
先确定集合中元素,可得非空子集个数.【详解】由题意,共3个元素,其子集个数为,非空子集有7个.故选:C.【点睛】本题考查集合的概念,考查子集的概念,含有个元素的集合其子集个数为,非空子集有个.4、C【解析】
由复数除法的运算法则求出,再由模长公式,即可求解.【详解】由.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模,属于基础题.5、A【解析】
解出集合,利用交集的定义可求得集合.【详解】因为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查交集的计算,同时也考查了一元二次不等式的求解,考查计算能力,属于基础题.6、C【解析】
由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.7、A【解析】
由可确定集合中元素一定有的元素,然后列出满足题意的情况,得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4种情况,所以选A项.【点睛】考查集合并集运算,属于简单题.8、D【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵,∴,,,.故选:D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小,考查不等式的性质,属于基础题.9、D【解析】
如图所示,设的中点为,的外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,利用正弦定理可得,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形,最后利用勾股定理可求外接球的半径,从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示,设的中点为,外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,则平面,.因为,故,因为,故.由正弦定理可得,故,又因为,故.因为,故平面,所以,因为平面,平面,故,故,所以四边形为平行四边形,所以,所以,故外接球的半径为,外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算,还考查正弦定理和余弦定理,折叠问题注意翻折前后的变量与不变量,外接球问题注意先确定外接球的球心的位置,然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算,本题有一定的难度.10、A【解析】
由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),
∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,
设=(a,b),,则,即,
又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.11、B【解析】
根据分段函数表达式,先求得的值,然后结合的奇偶性,求得的值.【详解】因为函数是奇函数,所以,.故选:B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.12、C【解析】
建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】
化简集合,由,以及,即可求出结论.【详解】集合,若,则的可能取值为,0,2,3,又因为,所以实数所有的可能取值构成的集合是.故答案为:.【点睛】本题考查集合与元素的关系,理解题意是解题的关键,属于基础题.14、【解析】
基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.由此能求出三人都收到礼物的概率.【详解】三个小朋友之间准备送礼物,约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.则三人都收到礼物的概率.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力,属于基础题.15、5【解析】
根据题意,画出图像,数形结合,将目标转化为求动直线纵截距的最值,即可求解【详解】画出不等式组,表示的平面区域如图阴影区域所示,令,则.分析知,当,时,取得最小值,且.【点睛】本题考查线性规划问题,属于基础题16、16.【解析】由题意可知抛物线的焦点,准线为设直线的解析式为∵直线互相垂直∴的斜率为与抛物线的方程联立,消去得设点由跟与系数的关系得,同理∵根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离∴,同理∴,当且仅当时取等号.故答案为16点睛:(1)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径;(2)圆锥曲线中的最值问题,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的条件.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(I)见解析(II)【解析】
(1)由题x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,得到,得,由韦达定理得,由基本不等式得,得,由题意得,令,则,令,,利用导数性质能证明.(2)由得,令,利用反证法可证明证明恒成立.由对任意,只有一个解,得为上的递增函数,得,令,由此可求的取值范围..【详解】(I)令,得,由韦达定理得即,得令,则,令,则,得(II)由得令,则,,下面先证明恒成立.若存在,使得,,,且当自变量充分大时,,所以存在,,使得,,取,则与至少有两个交点,矛盾.由对任意,只有一个解,得为上的递增函数,得,令,则,得【点睛】本题考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题.18、(1);(2)【解析】
(1)根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式,即可求得,进而求得的值;(2)根据正弦定理将边化为角,结合(1)中的值,即可将表达式化为的三角函数式;结合正弦和角公式与辅助角公式化简,即可求得和,进而由正弦定理确定,代入整式即可求解.【详解】(1)因为,所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得,所以.因为,所以.(2)因为,所以由正弦定理代入化简可得,由(1),代入可得,展开化简可得,根据辅助角公式化简可得.因为,所以,所以,所以为等腰三角形,且,所以.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,平面向量数量积的运算,正弦和角公式及辅助角公式的简单应用,属于基础题.19、(1),(2)【解析】分析:(1)根据题的条件,得到对应的椭圆的上顶点,即可以求得椭圆中相应的参数,结合椭圆的离心率的大小,求得相应的参数,从而求得椭圆的方程;(2)设出一条直线的方程,与椭圆的方程联立,消元,利用求根公式求得对应点的坐标,进一步求得向量的坐标,将S表示为关于k的函数关系,从眼角函数的角度去求最值,从而求得结果.详解:(Ⅰ)依题意得对:,,得:;同理:.(Ⅱ)设直线的斜率分别为,则MA:,与椭圆方程联立得:,得,得,,所以同理可得.所以,从而可以求得因为,所以,不妨设,所以当最大时,,此时两直线MA,MB斜率的比值.点睛:该题考查的是有关椭圆与直线的综合题,在解题的过程中,注意椭圆的对称性,以及其特殊性,与y轴的交点即为椭圆的上顶点,结合椭圆焦点所在轴,得到相应的参数的值,再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系,在研究直线与椭圆相交的问题时,首先设出直线的方程,与椭圆的方程联立,求得结果,注意从函数的角度研究问题.20、【解析】试题分析:先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析:存在实数使成立,等价于的最大值大于,因为,由柯西不等式:,所以,当且仅当时取“”,故常数的取值范围是.考点
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