陕西省榆林市第十中学届高三数学上学期第二次月考试题文

PAGEPAGE12陕西省榆林市第十中学2021届高三数学上学期第二次月考试题文(满分：150分，考试时间：120分钟)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N等于()(A)(－2，0)(B)[1，2)(C)(1，2](D)(0，2]2．2lg2－lg

eq\f(1,25)的值为()(A)1(B)2(C)3(D)43．命题“∀x∈R，|x|＋x4≥0”的否定是()(A)∀x∈R，|x|＋x4＜0(B)∀x∈R，|x|＋x4≤0(C)∃x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)≥0(D)∃x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)＜04．曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(0，－1)处的切线方程为()(A)y＝－2x－1(B)y＝2x－1(C)y＝－2x＋1(D)y＝2x＋15．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x－2y＋3≥0,x－y≥0))，则目标函数z＝2x－y的最小值为()(A)－1(B)0(C)1(D)36．函数f

(x)＝logEQ\o\ac(,\s\down3(\f(1,2)))(x2－4)的单调递增区间为()(A)(0，＋∞)(B)(－∞，0)(C)(2，＋∞)(D)(－∞，－2)7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是()(A)异面直线A1D与AB1所成的角为60°(B)直线A1D与BC1垂直(C)直线A1D与BD1平行(D)三棱锥A－A1CD的体积为eq\f(1,6)a38．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()(A)2(B)3(C)4(D)59．已知正方形ABCD的边长为2，点P是BC的中点，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))，则向量eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))等于()(A)1(B)5(C)7(D)－1310．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝0．76f(0．76)，b＝(log0．76)f(log0．76)，c＝60．6·f(60．6)，则a，b，c的大小关系是()(A)c＞a＞b(B)a＞c＞b(C)b＞a＞c(D)a＞b＞c11．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()(A)6(B)3eq\r(3)(C)3eq\r(2)(D)412．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤0,x2－ax，x＞0))，若关于x的方程f(x)＋m＝0对任意的m∈(0，1)有三个不相等的实数根，则a的取值范围是()(A)(－∞，－2](B)[2，＋∞)(C)[－2，2](D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝．14．已知向量EQ\o\ac(a,\s\up6(→))与EQ\o\ac(b,\s\up6(→))的夹角为eq\f(π,3)，且|EQ\o\ac(a,\s\up6(→))|＝1，|2EQ\o\ac(a,\s\up6(→))－EQ\o\ac(b,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则|EQ\o\ac(b,\s\up6(→))|等于．15．已知α∈(0，eq\f(π,6))，若sin2α＋sin2α＝1，则tanα＝；sin2α＝．(本题第一空2分，第二空3分)16．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2eq\r(2)，底面△ABC中∠BAC＝eq\f(π,4)，边BC＝2，则三棱锥外接球的体积等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(10分)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m．18．(12分)已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A＝eq\f(π,3)；②cosB＝－eq\f(2,3)；③a＝7；④b＝3．(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求△ABC的面积．19．(12分)在公差为d的等差数列{an}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．(1)求{an}的通项公式；(2)若a1，a4，a13成等比数列，求数列{eq\f(1,anan＋1)}的前n项和Sn．20．(12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax(其中a为实数)．(1)若x＝－1是f(x)的极值点，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．21．(12分)已知向量EQ\o\ac(m,\s\up6(→))＝(2cosωx，－1)，EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＝(sinωx－cosωx，2)，其中ω＞0，函数f(x)＝EQ\o\ac(m,\s\up6(→))·EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＋3，若函数f(x)图象的两个相邻对称中心的距离为eq\f(π,2)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象先向左平移eq\f(π,4)个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，得到函数g(x)的图象，当x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]时，求函数g(x)的值域．22．(12分)已知函数f(x)＝ax－lnx．(1)求f(x)的极值；(2)若a＝1，g(x)＝ex－f(x)－lnx＋1，求证：g(x)≥0．

1．集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N等于()A．(－2，0)B．[1，2)C．(1，2]D．(0，2]答案C解析因为M＝{x|x＞1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝(1，2]．2．2lg2－lg

eq\f(1,25)的值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析2lg2－lg

eq\f(1,25)＝lg100＝2，故选B．3．命题“∀x∈R，|x|＋x4≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x4＜0 B．∀x∈R，|x|＋x4≤0C．∃x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)≥0 D．∃x0∈R，|x0|＋xEQ\s\(4,0)＜0答案D解析命题的否定为：∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(4,0)＜0．4．曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝－2x－1 B．y＝2x－1C．y＝－2x＋1 D．y＝2x＋1答案A解析由y＝eq\f(x＋1,x－1)，可得y′＝eq\f(x－1－x＋1,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，所以曲线在点(0，－1)处的切线的斜率为k＝－2，所以曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(0，－1)处的切线方程为y＝－2x－1．5．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x－2y＋3≥0,x－y≥0))，则目标函数z＝2x－y的最小值为()A．－1B．0C．1D．3答案C解析由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，将z＝2x－y变为y＝2x－z，当z取最小值时，y＝2x－z在y轴截距最大，由y＝2x图象平移可知，当y＝2x－z过点A时，在y轴截距最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝x))得A(1，1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故选C．6．函数f

(x)＝logEQ\o\ac(,\s\down3(\f(1,2)))(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)答案D解析函数y＝f

(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f

(x)由y＝与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f

(x)在(－∞，－2)上单调递增．7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A．6B．3eq\r(3)C．3eq\r(2)D．4答案B解析由三视图知几何体的直观图如图所示，计算可知线段AF最长，且AF＝eq\r(BF2＋AB2)＝eq\r(3\r(2)2＋32)＝3eq\r(3)．8．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()A．2B．3C．4D．5答案D解析由3x＋y＝5xy，得eq\f(3x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)＋\f(1,x)))＝eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋9＋\f(3y,x)＋\f(12x,y)))≥eq\f(1,5)(4＋9＋2eq\r(36))＝5，当且仅当eq\f(3y,x)＝eq\f(12x,y)，即x＝eq\f(1,2)，y＝1时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5．故选D．9．已知正方形ABCD的边长为2，点P是BC的中点，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BQ,\s\up6(→))，则向量eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))等于()A．1B．5C．7D．－13答案C解析画出图象如图所示，依题意可知A是线段BQ的中点，P是线段BC的中点．故eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))．故eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))＋2\o(CD,\s\up6(→))))＝2eq\o(CD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝8－1＝7．10．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝0．76f(0．76)，b＝(log0．76)f(log0．76)，c＝60．6·f(60．6)，则a，b，c的大小关系是()A．c＞a＞b B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．a＞b＞c答案A解析因为定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以y＝xf(x)是定义在R上的奇函数，又因为x∈[0，＋∞)时，y′＝f(x)＋xf′(x)＞0，所以y＝xf(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝xf(x)是定义在R上的增函数，因为log0．76＜0＜0．76＜1＜60．6，所以b＜a＜c．11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是()A．异面直线A1D与AB1所成的角为60°B．直线A1D与BC1垂直C．直线A1D与BD1平行D．三棱锥A－A1CD的体积为eq\f(1,6)a3答案C解析略12．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤0,x2－ax，x＞0))，若关于x的方程f(x)＋m＝0对任意的m∈(0，1)有三个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案B解析因为关于x的方程f(x)＋m＝0对任意的m∈(0，1)有三个不相等的实数根，因为当x≤0时，∀m∈(0，1)，ex－1＝－m有一根，所以当x＞0时，x2－ax＝－m恒有两个正根，由二次函数的图象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)>0，,Δ＝a2－4m>0))对任意的m∈(0，1)恒成立，所以a2≥4，解得a≥2．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．答案180解析由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180．14．已知向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(3)，则|b|等于________．答案1解析∵向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(3)，∴|2a－b|2＝3，即4a2－4a·b＋b2＝3，∴4－2|b|＋|b|2＝3，∴|b|＝1．15．已知α∈(0，eq\f(π,6))，若sin2α＋sin2α＝1，则tanα＝______；sin2α＝________．(本题第一空2分，第二空3分)答案eq\f(1,2)eq\f(4,5)解析sin2α＋sin2α＝1＝sin2α＋cos2α⇒sin2α＝cos2α⇒tanα＝eq\f(1,2)；sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(1,1＋\f(1,4))＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(1,2)，sin2α＝eq\f(4,5)．16．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2eq\r(2)，底面△ABC中∠BAC＝eq\f(π,4)，边BC＝2，则三棱锥外接球的体积等于________．答案eq\f(32π,3)解析设G为△ABC外接圆圆心，O为三棱锥P－ABC外接球球心，则OG⊥平面ABC，作OM⊥PA，垂足为M，由正弦定理可知△ABC外接圆直径2r＝2AG＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(2,sin\f(π,4))＝2eq\r(2)，∴AG＝eq\r(2)．∵PA⊥平面ABC，OG⊥平面ABC，∴AP∥OG，又OM⊥PA，AG⊥PA，∴OM∥AG，∴四边形OMAG为矩形，∴OG＝AM，设OG＝x，OP＝OA＝R，在Rt△OMP和Rt△OGA中，由勾股定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2＝R2，,2\r(2)－x2＋2＝R2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,R＝2.))∴三棱锥外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)．17．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m．解(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1．由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2．故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝eq\f(1－－2n,3)．由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1．由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6．综上，m＝6．18．已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①A＝eq\f(π,3)；②cosB＝－eq\f(2,3)；③a＝7；④b＝3．(1)请指出这三个条件，并说明理由；(2)求△ABC的面积．解(1)△ABC同时满足①③④．理由如下：若△ABC同时满足①②．因为cosB＝－eq\f(2,3)＜－eq\f(1,2)，且B∈(0，π)，所以B＞eq\f(2π,3)．所以A＋B＞π，与三角形内角和为π矛盾．所以△ABC只能同时满足③④．因为a＞b，所以A＞B，故△ABC不满足②．故△ABC满足①③④．(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即72＝32＋c2－2×3×c×eq\f(1,2)．解得c＝8或c＝－5(舍)．所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝6eq\r(3)．19．在公差为d的等差数列{an}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．(1)求{an}的通项公式；(2)若a1，a4，a13成等比数列，求数列{eq\f(1,anan＋1)}的前n项和Sn．解(1)∵a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝6，,d＝1.))当a1＝3时，an＝2n＋1；当a1＝6时，an＝n＋5．(2)∵a1，a4，a13成等比数列，∴a1a13＝aeq\o\al(2,4)，∴an＝2n＋1，则eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))，故Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(n,6n＋9)．20．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax(其中a为实数)．(1)若x＝－1是f(x)的极值点，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．解(1)因为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax，所以f′(x)＝x2－2x＋a，因为x＝－1是f(x)的极值点，所以f′(－1)＝0，即1＋2＋a＝0，所以a＝－3，故f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3，所以f(x)的单调递减区间为(－1，3)．(2)因为f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，所以f′(x)＝x2－2x＋a≥0在(－2，＋∞)上恒成立，即a≥－x2＋2x在(－2，＋∞)上恒成立，因为g(x)＝－x2＋2x在(－2，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以g(x)≤g(1)＝1，所以a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．21．已知向量EQ\o\ac(m,\s\up6(→))＝(2cosωx，－1)，EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＝(sinωx－cosωx，2)，其中ω＞0，函数f(x)＝EQ\o\ac(m,\s\up6(→))·EQ\o\ac(n,\s\up6(→))＋3，若函数f(x)图象的两个相邻对称中心的距离为eq\f(π,2)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象先向左平移eq\f(π,4)个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，得到函数g(x)的图象，当x∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,2)]时，求函数g(x)的值域．解(1)由题意可得f(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝2sinωxcosωx－(2cos2ωx－1)＝sin2ωx－cos2ωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4)))．由题意知，T＝eq\f(2π,2ω)＝π，得ω＝1，则f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))，k∈Z．(2)将f(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，得到y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，得到g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\