第二讲随机变量基础

第二讲随机变量基础第1页，共52页，2023年，2月20日，星期一第一章随机变量基础1.1概率的基本术语随机试验RandomExperiment随机事件RandomEvent基本事件Elementary(Simple)Event样本空间SampleSpace频率Frequency概率Probability第2页，共52页，2023年，2月20日，星期一投掷骰子出现1点{1，2，3，4，5，6}投掷骰子出现偶数点样本空间随机事件基本事件第3页，共52页，2023年，2月20日，星期一关于样本空间的注释：DiscreteSampleSpace:Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}连续的样本空间:由多次子试验构成的样本空间:－－看下例Tossacoin：S={Head,Tail}={H,T}第4页，共52页，2023年，2月20日，星期一IFwetossacointhreetimesandletthetripletxyzdenotetheoutcome“xonthefirsttoss,yonthesecondtoss,zonthethirdtoss”,thenthesamplespaceoftheexperimentisS={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Theevent“oneheadandtwotails”isdefinedbyE={HTT,THT,TTH}第5页，共52页，2023年，2月20日，星期一由多次子试验构成的样本空间可数无穷的样本空间S=S1S1…={HH…,HT…,TH…,TT…,…}S1={H,T}第6页，共52页，2023年，2月20日，星期一利用频率估计概率n次重复试验中，事件A发生的次数为nA，比值称为事件A发生的频率。频率反映了事件A发生的频繁程度，若事件A发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。概率第7页，共52页，2023年，2月20日，星期一计算机模拟：投掷一枚均匀硬币，模拟计算出现正面的概率。number=0;fori=1:N%setupsimulationfor4cointosesifrand(1,1)<0.5%tosscoinwithp=0.5x(i,1)=1;%headelsex(i,1)=0;%tailendnumber=number+x(i,1);%countnumberofheadsendP=number/N;第8页，共52页，2023年，2月20日，星期一1.2随机变量的定义(Definitionofarandomvariable)设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。随机变量是定义在样本空间S上的单值函数1.定义第9页，共52页，2023年，2月20日，星期一Interpretationofrandomvariable:S●●eReallineRandomvariableisafunctionthatassignsanumericalvaluetotheoutcomeoftheexperiment.第10页，共52页，2023年，2月20日，星期一AcointossS●●e1Realline1●0●e2Mappingoftheoutcomeofacointossintothesetofrealnumber第11页，共52页，2023年，2月20日，星期一Adiscreterandomvariableisarandomvariablethatcanbetakeonatmostacountablenumberofpossiblevalues根据随机变量取值的不同可以分为：连续型随机变量(Continuousrandomvariable)离散型随机变量(Discreterandomvariable)第12页，共52页，2023年，2月20日，星期一2.概率分布列Xx1x2...xnpkp1p2...pnProbabilitymassfunction(PMF)第13页，共52页，2023年，2月20日，星期一(0,1)分布指示型随机变量随机变量的可能取值为0和1两个值，PMF为PMF:01第14页，共52页，2023年，2月20日，星期一(0,1)分布的随机变量；指示型随机变量；贝努里随机变量；第15页，共52页，2023年，2月20日，星期一BernoullirandomvariableLetAbeaneventofinterestinsomeexperiment,e.g.,adeviceisnotdefective.Wesaythata“success”occursifAoccurswhenweperformtheexperiment.BernoullirandomvariableIAisequalto1ifAoccursandzerootherwise.第16页，共52页，2023年，2月20日，星期一例：信息传输问题（MessageTransmissions）LetXbethenumberoftimesneedstobetransmitteduntilitarriverscorrectlyatitsdestination.FindtheprobabilitythatXisanaevennumber.XisadiscreterandomvariabletakingonvaluesfromS={1,2,3,….}第17页，共52页，2023年，2月20日，星期一Theevent{X=k}occursifk-1consecutiveerroneoustransmissions(failures)followedbyaerror-freeone(success)Xiscalledthegeometricrandomvariable第18页，共52页，2023年，2月20日，星期一Example:Transmissionerrorinabinarycommunicationschannel.LetXbethenumberoferrorsinnindependenttransmissions.FindthePMFofx.Findtheprobabilityofoneorfewererrors01011-1-第19页，共52页，2023年，2月20日，星期一Xtakesonvaluesintheset{0,1,…,n}Ifthereisnoerror,eachtransmissionresultsina‘0’Ifthereisanerror,eachtransmissionresultsina‘1’TheprobabilityofkerrorsinnbitstransmissionsisgivenasfollowsWecallXthebinomialrandomvariable第20页，共52页，2023年，2月20日，星期一第21页，共52页，2023年，2月20日，星期一贝努里试验随机试验只有两种结果。产品合格或不合格元件没有失效或失效信息发送成功或失败打靶命中或脱靶目标检测或漏检第22页，共52页，2023年，2月20日，星期一贝努里序列（BernoulliSequence）N次连续的独立的贝努里试验称为贝努里序列ConsecutiveindependentBernoullitrialscompriseaBernoullisequence.贝努里试验----N重贝努里试验(0,1)分布------二项式分布信息传输第23页，共52页，2023年，2月20日，星期一泊松分布(Poissondistribution)第24页，共52页，2023年，2月20日，星期一1.3分布函数和概率密度函数ProbabilityDensityFunction,（PDF）

DistributionFunctionorCumulativeDistributionFunction,(CDF)1.定义第25页，共52页，2023年，2月20日，星期一2.分布函数的性质（PropertiesoftheCDF）分布函数是右连续的不减函数，在负无穷处为零，正无穷处为1。对于连续型随机变量，取某一特定值的概率是为零的。即P{X=x}=0第26页，共52页，2023年，2月20日，星期一对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数。○第27页，共52页，2023年，2月20日，星期一概率密度第28页，共52页，2023年，2月20日，星期一对于离散型随机变量，它的概率密度函数是一串函数之和。第29页，共52页，2023年，2月20日，星期一第30页，共52页，2023年，2月20日，星期一CheckYourselfSupposeX=c,WherecisconstantWhichoffollowingiscorrect?A.B.C.D.E.NoneofAbove第31页，共52页，2023年，2月20日，星期一CheckYourselfSupposeX=c,WherecisconstantWhichoffollowingiscorrect?A.B.C.D.E.NoneofAbove第32页，共52页，2023年，2月20日，星期一3.常见概率分布正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正态分布概率密度标准正态分布函数第33页，共52页，2023年，2月20日，星期一瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度＝2

02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第34页，共52页，2023年，2月20日，星期一指数（Exponential）分布指数分布概率密度0123456700.511.5第35页，共52页，2023年，2月20日，星期一指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如，旅客进机场的时间间隔，维基（wikipedia)新条目出现的时间间隔，电话呼叫的时间间隔等，是一个率（Rate)参数。第36页，共52页，2023年，2月20日，星期一对数正态分布（LogNormal）高分辨率雷达杂波分布01234567891000.10.20.30.40.5对数正态分布概率密度为尺度参数为形状参数第37页，共52页，2023年，2月20日，星期一1.4多维随机变量及其分布MultipleRandomVariablesandDistributions1.定义S●●e第38页，共52页，2023年，2月20日，星期一比如：同时投掷一个1元硬币和一个1角硬币，样本空间为S={HH,TH,TT,HT}。HHTHTTHTxy第39页，共52页，2023年，2月20日，星期一2.二维分布函数和概率密度BivariateCDFandPDF二维分布函数图解定义：性质：参看教材第40页，共52页，2023年，2月20日，星期一二维概率密度：第41页，共52页，2023年，2月20日，星期一对于二维离散随机变量，定义联合概率质量函数（JoinPMF)第42页，共52页，2023年，2月20日，星期一二维概率密度：第43页，共52页，2023年，2月20日，星期一3.条件分布(ConditionalDistribution)条件分布函数条件概率密度称随机变量X、Y独立第44页，共52页，2023年，2月20日，星期一条件概率质量函数（ConditionalPMF):第45页，共52页，2023年，2月20日，星期一以随机事件为条件的概率密度:第46页，共52页，2023年，2月20日，星期一几个重要的贝叶斯公式:全概率公式:贝叶斯公式:第47页，共52页，2023年，2月20日，星期一概率分布与概率密度的全概率公式:第48页