精选数列求和的基本方法和技巧讲义

（优选）数列求和的基本方法和技巧现在是1页\一共有41页\编辑于星期二数列求和基本方法：公式法分组求和法错位相减法裂项相消法并项求合法现在是2页\一共有41页\编辑于星期二一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式：③④⑤现在是3页\一共有41页\编辑于星期二例1：求和：现在是4页\一共有41页\编辑于星期二一、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.现在是5页\一共有41页\编辑于星期二

cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法现在是6页\一共有41页\编辑于星期二

,

+

n

11.求数列

+

2

3

,

+的前n项和。

,

2

2

2

,

3

2

n

2

+

1

2

3

n解：

=(1+2+3+…+n)

Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+

)

2

2

3

2

ｎ

2

+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分组求和法现在是7页\一共有41页\编辑于星期二[例1]

求数列的前n项和：，…

解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝现在是8页\一共有41页\编辑于星期二n个现在是9页\一共有41页\编辑于星期二二、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比现在是10页\一共有41页\编辑于星期二2．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.【错位相减法】设{an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝现在是11页\一共有41页\编辑于星期二[例1]

求数列

前n项的和解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设

…………………①………………②

（设制错位）①－②得∴现在是12页\一共有41页\编辑于星期二2023/4/1513已知数列现在是13页\一共有41页\编辑于星期二2023/4/1514解：第一步，写出该数列求和的展开等式第二步，上式左右两边乘以等比数列公比现在是14页\一共有41页\编辑于星期二2023/4/1515第三步，两式进行错位相减得：化简整理得:现在是15页\一共有41页\编辑于星期二

1.设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.变式探究现在是16页\一共有41页\编辑于星期二

1．设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①现在是17页\一共有41页\编辑于星期二(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，现在是18页\一共有41页\编辑于星期二2023/4/15191、2、已知数列求该数列的前n项和。现在是19页\一共有41页\编辑于星期二三、裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）现在是20页\一共有41页\编辑于星期二常见的裂项公式有：现在是21页\一共有41页\编辑于星期二常见的裂项公式有：现在是22页\一共有41页\编辑于星期二例1：求和裂项法求和提示：∴现在是23页\一共有41页\编辑于星期二现在是24页\一共有41页\编辑于星期二1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列四、并项求和现在是25页\一共有41页\编辑于星期二练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21现在是26页\一共有41页\编辑于星期二五.相间两项成等差等比综合现在是27页\一共有41页\编辑于星期二现在是28页\一共有41页\编辑于星期二∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),则an=_______解:n=m=1时，a2

=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1时,由an+am=an+m得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_____________解：n=m=1时，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首项为b1=2，公比为q=2的等比数列，bn=2·2n-1=2n

2n

练习现在是29页\一共有41页\编辑于星期二现在是30页\一共有41页\编辑于星期二现在是31页\一共有41页\编辑于星期二现在是32页\一共有41页\编辑于星期二解：(1)证明：由题意得2bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．现在是33页\一共有41页\编辑于星期二现在是34页\一共有41页\编辑于星期二现在是35页\一共有41页\编辑于星期二现在是36页\一共有41页\编辑于星期二现在是37页\一共有41页\编辑于星期二现在是38页\一共有41页\编辑于星期二现在是39页\一共有