固体物理第一章

由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称性质。对称性不仅表现在几何外形上，而且反映在晶体的宏观物理性质中。对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。晶体具有各种宏观对称性的原因在于原子的规则排列。

对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的。对称性越高的系统，描述起来就越简单，需要独立地表征的系统要素就越少。

§1.6晶体的对称性

对称性固体物理第一章*

对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。*对称操作：使晶体自身重合的动作。*对称素：对称操作所依赖的几何要素。如：点、线、面。几个定义*点操作对应于数学上的正交变换（也叫线性变换），在点操作前后，任意两点的距离保持不变。*

满足布拉菲格子周期性要求的变换操作，称为平移操作。固体物理第一章

点阵对称操作假设在某一个操作过后，点阵不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个平移、旋转或镜反射操作就叫一个点阵对称操作。按照空间群理论，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作(8种)组合而成。对点阵对称性的精确数学描述，需要用点群和空间群的概念。如果基本对称操作中不包括平移，则组成32种宏观对称类型，称为点群。如果包括平移，就构成230种微观的对称性，称为空间群。

能使一个图像复原的全部不等同操作，形成一个对称操作群。固体物理第一章

线性变换式中

晶体的对称性:晶体经过某种操作后恢复原状的性质在操作前后应不改变晶体中任意两点间的距离如用数学表示，这些操作就是熟知的线性变换

在数学上，等也可认为是空间同一点在两个坐标系中的坐标，即

设经过某个操作，把晶格中任一点X变为X’，这操作可表示为线性变换：固体物理第一章用矩阵表示，(1)式可表示为：操作前后，两点间的距离应保持不变，这要求：

转置运算：反序定律

为的转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求固体物理第一章(1)若A是正交矩阵，则|A|=±1(2)设A、B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵(3)正交矩阵的转置矩阵仍是正交矩阵。(4)正交矩阵是可逆矩阵，且正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。下面介绍几种简单操作的变换关系：即A为正交矩阵正交矩阵的其它性质：固体物理第一章一、转动将某图形绕x1轴转过θ角，该图形中任一点变化关系如下：则变换关系是固体物理第一章取中心为原点，经中心反演后，图形中任一点：也就是

如经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i代表。二、中心反演（i）固体物理第一章三、镜象（镜面）我们注意到上面所考虑的几何变换（旋转和反射）都是正交变换（保持两点距离不变的变换）。

如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作，显然，一个物体的对称操作愈多，就表明它的对称性愈高。如以x3＝0作为镜面，镜象对称操作是将图形的任何一点变为固体物理第一章

小猫在研究镜面操作固体物理第一章

山和水在玩镜面操作固体物理第一章

山和水在玩镜面操作固体物理第一章

人和牛在玩投影固体物理第一章1、不包括平移的基本对称操作四、基本的对称操作

(a)n度旋转对称轴假设纸面上有一列格点，通过A点有一垂直于纸面的对称轴，当晶体绕其转动φ

后与自身重合。在此对称操作作用下，B点转至B‘位置。由于晶格的周期性，B点应与A点等价，因此在B点必须也存在一转角为φ的垂直对称转轴，而且绕此轴转动（－φ）角也必然是一对称操作。在此操作作用下，A点变至A’点。固体物理第一章由几何关系得知

因而，晶体周期性必然要求A‘B’为AB的整数倍，因为AB为此方向上格点排列的周期。但从图可见因此式中m为整数。由于，可得到当m为－1、0、1、2、3时，φ分别为固体物理第一章即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是而n必须是1、2、3、4、和6，i为任意整数。常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能存在2度、3度、4度和6度对称轴。

n=1相当于不变，即不施加任何操作，通常也看作一个对称操作。分别用数字2、3、4、6或符号▲■代表一个n度转轴。固体物理第一章例如：（1）表示方解石菱面体的3度转轴；

因此，立方体有三个4度轴，六个2度轴和四个3度轴。（3）表示硅酸鉀晶体的6度及2度转轴。（2）表示岩盐立方体的4度、3度及2度转轴。对于立方体而言，对面中心的连线为4度轴，不在同一立方面上的平行棱边中点的连线为2度轴，而体对角线为3度轴。固体物理第一章(c)n度旋转反演轴

晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身重合则称其具有n度旋转反演轴对称。使坐标r变成-r的操作称对原点的中心反演。经此操作后，晶体与自身重合则为具有中心反演对称，常用字母i代表。(b)

中心反演晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度旋转反演轴，分别用数字符号2、3、4、6表示。固体物理第一章n度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）固体物理第一章由图可见

金刚石结构或闪锌矿结构具有4度旋转反演轴。等价于一条3次轴加上对称心，即等价于3次轴加上垂直于该轴的对称面，即

就是对称心i，即

就是垂直于该轴的对称镜面，记为m，即镜面对称：镜面对称是晶体的一类很重要的对称性，用m表示。固体物理第一章具有n度旋转反演轴对称的晶体不一定具有n度转轴与中心反演这两种对称性即具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合的操作的对称性。但是，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操作的对称性。必须注意的是：固体物理第一章综上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作，即

这些基本的对称操作可按一定的规律组合起来，就得到32种不包括平移的宏观对称类型。

这种组合有一个共同的特点，就是其中所有的对称操作都使晶体中的某一点固定不动，因此常称这种组合为点对称性群，简称点群。固体物理第一章第一章晶体结构和X射线衍射

固体物理第一章

固体物理第一章对称素对称操作（48）名称每个对称元素的操作数目三条4次轴＜100＞旋转90,180,2709四条3次轴＜111＞旋转120,2408六条2次轴＜110＞旋转1806不动1i对称心以上操作加反演24立方对称的48个对称操作称为立方点群Oh固体物理第一章2、包括平移的基本对称操作

从微观结构上看，如按照操作后使晶体与自身重合的定义，晶体中还有螺旋轴与滑移面两类对称性。在这两类操作作用下，晶体中不再有任何固定不变的点存在，因而它们不属于点群操作。

T为转轴方向的晶格周期，l为某小于n的整数。晶体只能有1度、2度、3度、4度、6度螺旋轴。(1)n度螺旋轴复合操作:如经绕某轴作n度旋转+再沿转轴方向平移t

晶体与自身重合,称此复合操作为n度螺旋轴。固体物理第一章

金刚石结构具有4度螺旋轴对称

1/201/201/201/2003/41/43/41/4

取原胞（如图）上下底面心到该面一个棱的垂线的中点，联接这两中点的直线就是个4度螺旋轴；晶体绕该轴转90度后，再沿该轴平移a/4，能自相重合。图中分数值表示以立方体边长为单位，其各个原子处在基面上方的高度。注意：分数值0和分数值1对应的原子位置在垂直基面的方向共线。固体物理第一章金刚石结构具有4度螺旋轴对称固体物理第一章

(2)滑移反映面

这是对某一平面作镜像操作后，再沿平行于镜面的某方向平移T/n周期的对称操作。（T是该方向上的周期矢量，n为2或4），操作后，晶体中的原子和相同的原子重合。

固体物理第一章

应当说明的是,对于宏观晶体而言：

n度螺旋轴与n度旋转轴是等价的滑移面与镜面也是等价的，因为在宏观的范围通常观察不到原子间距数量级的平移。

将32种宏观点群再加上以上二类带平移的对称操作,结合起来就可以导出230种微观空间群。

它们可以描写晶体所有可能的对称性，每种空间群对应于一种特殊的晶格结构。晶体之星固体物理第一章

固体物理第一章

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固体物理第一章§1.7晶体结构的分类我们已经知道布喇菲格子可以由的格矢表示。

基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角决定了不同的布喇菲格子的类型。

前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空间格子必相应地变动。

因此，布喇菲格子的形式，即三个基矢之间的关系必然受到宏观对称性的制约。晶格周期性，即空间格子对于对称性的制约，结果是只能有32种点群对称。反过来，点对称性对于空间格子的周期性即平移对称性的限制的结果是只能存在14种布喇菲格子（原胞）。固体物理第一章

这十四种布喇菲点阵按其惯用晶胞的对称性（基矢长短和夹角大小）特征划分为七大晶系（初基点阵＋心＝14）：一、七大晶系：

1850年，德国科学家布喇菲（AugusteBravais1811－1863）首先证明了三维晶格只有14种布喇菲点阵。固体物理第一章四方正交立方六角单斜三斜三角固体物理第一章Crystalsystem晶系Unitcellshape单胞几何描述Essentialsymmetry对称性（典型点群）点群的熊夫利符号Spacelattices空间格子Triclinic三斜晶系a≠b≠c

a≠b≠g≠90C1群：只含转角为零的旋转对称操作P简单三斜Monoclinic单斜晶系a≠b≠c

a=b=90g≠90C2群：b轴是一个2度对称轴PC简单单斜、底心单斜Orthorhombic正交（斜方）晶系a≠b≠c

a=b=g=90D2群：a,b,c3个轴都是2度对称轴PIFA(BorC)简单正交、体心正交、面心正交、底心正交Trigonal三角晶系a=b=c

a=b=g≠90D3群：c轴是3度对称轴3个2度对称轴P简单Tetragonal四方（四角）晶系a=b≠c

a=b=g=90D4群：c轴是4度对称轴([001]),4个2度对称轴PI简单四角、体心四角Hexagonal六角晶系A=b≠c

a=g=90b=120D6群：c轴是6度对称轴6个2度对称轴P简单Cubic立方晶系a=b=c

a=b=g=90O群：拥有3个4度对称轴，4个3度对称轴及6个双重对称轴PIF简立方、体心立方、面心立方7个晶系（crystalClasses）固体物理第一章二、布喇菲点阵符号P（简单）：每单胞一个原子。格点位置：000I（体心）：每单胞两个原子。格点位置：000，1/21/21/2F（面心)：每单胞四个原子。格点位置：000，01/21/2，1/201/2，1/21/20A（底心)：每单胞两个原子。格点位置：000，01/21/2B（底心)：每单胞两个原子。格点位置：000，1/201/2C（底心)：每单胞两个原子。格点位置：000，1/21/20（Bravaislatticenotation，简写为BLN）：在a,b,c矢量张成的单胞中，加入一个或几个格点以后，仍然是布喇菲点阵。符号为：固体物理第一章三、七种晶系对