第六节利用初等变换求矩阵的秩

第六节利用初等变换求矩阵的秩第1页，共20页，2023年，2月20日，星期一

下面三种变换称为矩阵的初等行变换（1）对调两行（对调i,j两行，记作（2）以不为零的数k乘某一行的所有元素

(第i行乘数k,记作一、矩阵的初等变换1、矩阵的初等变换（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第i行的k倍加到第j行上去,记作定义13

第2页，共20页，2023年，2月20日，星期一1.把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义。2.我们把矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换。注意：三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之相应的同一类型的初等变换,即的逆变换就是本身的逆变换是的逆变换是第3页，共20页，2023年，2月20日，星期一如果矩阵A经过有限次初等变换变成容易验证等价关系满足：（1）反身性：对任意矩阵

A，（2）对称性：（3）传递性：二、矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵定义14

矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作第4页，共20页，2023年，2月20日，星期一2.10初等变换不改变矩阵的秩。即（1）若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，则R（A）=R（B）（2）若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，则R（A）=R（B）证明：（1）设矩阵A的行向量组为定理经过3种行变换后得到新矩阵的行向量组分别为：显然，这三个向量组与原来向量组等价，则它们的秩相等，即R（A）=R（B）同理可证（2）第5页，共20页，2023年，2月20日，星期一初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例2.25解第6页，共20页，2023年，2月20日，星期一第7页，共20页，2023年，2月20日，星期一由阶梯形矩阵有三个非零行可知第8页，共20页，2023年，2月20日，星期一例３设其中求解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故第9页，共20页，2023年，2月20日，星期一第10页，共20页，2023年，2月20日，星期一定理

设A，B都是矩阵，则A，B等价的充要条件是R（A）=R（B）证明

必要性由定理2.10得到充分性

设R(A)=R(B)=r则A，B都与由等价关系的对称性与传递性可知A，B等价。第11页，共20页，2023年，2月20日，星期一的矩阵称为矩阵A的标准形。（主对角线上1的个数可以是0）第r行即2、矩阵A的标准形形如第12页，共20页，2023年，2月20日，星期一定理任意一个矩阵A都和一标准形等价。的矩阵

证

若A=O，则结论成立（因A已是标准形）将第i行和第一行互换，第j列和第一列互换，使不为0的元素换到左上角的位置，因此不妨设第13页，共20页，2023年，2月20日，星期一元素都化为0，再化为1，即重复上述过程，最终得到通过初等变换先把第一行和第一列的其它第14页，共20页，2023年，2月20日，星期一例2.19

设问：矩阵A和B是否等价？解

先求A、B的标准形第15页，共20页，2023年，2月20日，星期一对B施行一系列初等变换得第16页，共20页，2023年，2月20日，星期一第17页，共20页，2023年，2月20日，星期一例4

将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,最后化为标准形.并求其秩.注意：化矩阵为行阶梯形时仅能用初等行变换.化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用.第18页，共20页，2023年