第三章3向量的线性相关性

二.线性相关性三.向量组的秩一.n维向量空间

四.矩阵的秩第三章向量空间五.内积与正交化1.线性组合与线性表示二.线性相关性1.线性组合与线性表示2.向量组等价3.线性相关、无关4.判断线性相关性的定理5.线性相关及表示的定理定义1：给定向量组对于任何一组实数向量称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。定义2：给定向量组和向量如果存在一组实数使得则称向量是向量组A的线性组合，或称向量能由向量组A线性表示。例如：有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。线性方程组的矩阵表示和向量表示：令方程组可表示为则方程组的向量表示为

是事先已经知道的向量，则：对行向量讨论线性关系时，要先作转置，才能写成线性方程组的形式定理1:判断向量可否由向量组线性表示的定理。

向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。3.线性相关,线性无关及其几何说明几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线.(2)三向量线性相关：三向量共面.定义4：例1：用定义判断线性相关性。(1)向量线性______关。(2)向量线性______关。相相4.判断线性相关性的定理(1)n维向量组线性相关定理3:推论：n维向量组线性无关例2:试讨论向量组及向量组的线性相关性.解：设数使得成立。即未知量为系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关。向量对应分量不成比例，所以线性无关。例3:判断n维向量组是否线性相关.结论:线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.n=4时：有问题:n=3时,分别是什么？性质1

证明：

至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

向量组线性相关定理2：推论：

向量组线性无关任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(2)必要性k11+k22+

…+kmm=0.于是即m可由1,2,…,m1

线性表出.

设

1,2,…,m线性相关，则有不全为零的实数

k1,k2,…,km，使若某个向量例如m可被其余向量线性表出,

m=k11+k22+

…+km-1

m-1,于是k1

1+k22+

…+km-1m-1+(1

)

m=0,其系数

不全为零，故1,2,…,m线性相关.充分性证:不妨设km0,(4)定理6：n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关。定理7：n维向量组线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的新向量组仍线性相关。用等价的线性方程组来考虑例4：已知向量线性无关，证明：向量线性无关。(3)则此向量组线性相关。则其任意部分向量也线性无关。部分相关则整体相关整体无关则部分无关若向量组中有部分向量线性相关，定理4：定理5：若向量组线性无关，不妨设前r(r<m)个向量1,2,…,r线性相关，即存在不全为零的数

k1,k2,…,kr使得k11+k22+

…+krr=0因为k1,k2,…,kr不全为零，从而k1,k2,…,km也不全为零。k11+k22+

…+krr+0r+1+…+0m=0,故1,2,…,m线性相关.证明:于是5.线性相关及表示的定理定理8：向量组线性无关,而向量组线性相关,

则向量必能由向量组A线性表示，且表示式唯一.证明:

因α1,α2,...,αm,

β

线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,...,km,k,使得k1α1+k2α2+...+kmαm+kβ

=0, 其中k0(否则，设k=0，那么k1,k2,...,km就不全为零，于是α1,α2,...,αm线性相关，这与题设矛盾),于是1、若向量组线性相关,则的线性组合.2、对向量组,如果存在全为零的数k1,

k2,…,

km,使则线性无关.思考题3、对向量组,若任何不全为零的数使得则线性无关.√××(1)单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关；(2)包含零向量的任何向量组线性相关；(3)有两个向量相等的向量组线性相关；(4)基本向量组线性无关;(5)m>n时，m个n维向量必线性相关.特别：m=n+1