第二讲效用函数

第二讲效用函数第1页，共59页，2023年，2月20日，星期一对效用的理解:《最好吃的东西》兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。兔子说，“世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起萝卜就要流口水。”猫不同意，说，“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起来又酥又松，味道美极了！”兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。猴子听了，不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。”兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。第2页，共59页，2023年，2月20日，星期一圣彼得堡悖论

(St.PetersburgParadox/game)

圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）的表兄尼古拉·伯努利(NicolausBernoulli)在1738提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。问题：你愿意花100元来参加一次圣彼得堡游戏吗？第3页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理问题： 某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在市场看好的情况下，可以获利10万；在市场前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较差的概率分别为0.6和0.4，是否推出该新产品？ 若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产品更好？ 这是一个随机决策问题。第4页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理 在随机决策中，决策系统中的决策方案均是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。 在本章中，我们用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比较，并引入效用的概念，用以衡量事态体（行动方案）的优劣。第5页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理2.1.1事态体及其关系1．事态体的概念

定义2.1

具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。 事态体中各可能结果出现的概率是已知的。 事态体即随机性状态空间中的行动方案。第6页，共59页，2023年，2月20日，星期一1．事态体的概念 设某事态体的n个可能结果为：

o1,o2,…,on

各结果出现的概率是相应为：

p1,p2,…,pn

则该事态体记为：

T＝（p1,o1；p2,o2；…；pn,on）特别当n＝2时，称T为简单事态体，此时

T＝（p,o1；1－p,o2）第7页，共59页，2023年，2月20日，星期一1．事态体的概念 事态体可以用树形图表示如下：Tp1p2︰︰︰pno1o2︰︰︰on当n＝2时：pT1-po1o2第8页，共59页，2023年，2月20日，星期一事态体集合Ŧ的性质①在凸线性组合下，Ŧ是闭集。即： 若T1∈Ŧ，T2∈Ŧ，则当0≤λ≤1时，有

λT1＋(1－λ)T2∈Ŧ

两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。②T＝(0,o1；0,o2；…；1,oj；…；0,on)∈Ŧ 称T为退化事态体。

退化事态体仍属于事态体集合。第9页，共59页，2023年，2月20日，星期一2．事态体的比较定义2.2

设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者偏好，o1和o2有如下关系：①若偏好结果值o1，则称o1优于o2，记作o1o2；反之，称o1劣于o2，记作o1

o2。②若对结果值o1,o2无所偏好，则称o1无差异于o2，记作o1～o2。③若不偏好结果值o1，则称o1不优于o2，记作o1≼o2；反之，称o1不劣于o2，记作o1

≽o2。第10页，共59页，2023年，2月20日，星期一2．事态体的比较定义2.3

设两个简单事态体T1，T2具有相同的结果值o1，o2，即：T1＝（p1,o1；1－p1,o2） T2＝（p2,o1；1－p2,o2） 并假定o1o2，则：①若p1＝p2，称事态体T1无差异于T2，记作T1～T2。②若p1＞p2，称事态体T1优于T2，记作T1T2；反之，称事态体T1劣于T2，记作T1

T2。第11页，共59页，2023年，2月20日，星期一2．事态体的比较定义2.4

设两个简单事态体T1，T2仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即： T1＝（p1,o1；1－p1,o0） T2＝（p2,o2；1－p2,o0） 且o2

o1o0，①若p1≤p2，则事态体T2优于T1，记作T2T1。②若T1～T2，则必有p1＞p2。第12页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理2.1.2理性行为公理公理2.l（连通性，可比性）

事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是连通的。即若 T1，T2∈Ŧ 则或者T1T2，或者T2T1，或者T1～T2，三者必居其一。表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！第13页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理2.1.2理性行为公理公理2.2（传递性）

事态体集合Ŧ上事态体的优劣关系是传递的。即若 T1、T2、T3∈Ŧ，且T1T2，T2T3，则必有 T1T3。 表示任意多个事态体的优劣是可以排序的（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）

满足公理2.1和公理2.2的事态体集合称为全序集。

第14页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理2.1.2理性行为公理公理2.3（复合保序性，替代性）

若 T1，T2，Q∈Ŧ，且0＜p＜1，则T1T2当且仅当

pT1＋(1－p)Q

pT2＋(1－p)Q。 表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。第15页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理2.1.2理性行为公理公理2.4（相对有序性，连续性，偏好的有界性）

若 T1，T2，T3∈Ŧ，且T1T2T3则存在数p，q，0＜p＜l，0＜q＜1，使得：

pT1＋(1－p)T3

T2

qT1＋(1－q)T3

表示任意事态体都不是无限优，也不是无限劣。第16页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理2.1.3事态体的基本性质性质2.1

设事态体

T1＝（p,o1；1－p,o0） T2＝（x,o2；1－x,o0） 且 o1o0，

o2o0，若o2o1 则存在 x=p’＜p 使得

T1～T2 称x为可调概率值。第17页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.1

理性行为公理2.1.3事态体的基本性质性质2.2（确定当量和无差异概率）

设事态体T＝（x,o1；1－x,o2）且o1o2。则对于满足优劣关系o1oξ

o2的任意结果值oξ，必存在x＝p（0＜p＜l），使得

T＝（p,o1；1－p,o2）～oξ 称结果值oξ为事态体T的确定当量，称p为oξ关于o1与o2的无差异概率。第18页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.1.3事态体的基本性质性质2.3

任一事态体无差异于一个简单事态体。 设有事态体T＝（p1,o1；p2,o2；…；pn,on）则必存在一个简单事态体

T’＝（p’,o*；1－p’,o0

）～T其中： o*≽max{o1,o2,…,on} o0≼min{o1,o2,…,on}且：这里，qj(j=1,2,…,n)为oj关于o*与o0的无差异概率。第19页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.1.3事态体的基本性质根据性质2.3

比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较简单事态体之间的优劣关系（将问题简化）

得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后，再根据公理2.2（传递性）即可得到所讨论事态体的排序。第20页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.2

效用函数的定义和构造 设有决策系统，在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵：第21页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.2

效用函数的定义和构造 矩阵O的第i行表示第i个可行方案的n个可能结果值，即事态体

Ti＝（p1,oi1；p2,oi2；…；pn,oin）

(i=1,2,…,m)

决策就是要对这m个事态体进行排序。 由第一节中的性质2.3知，存在简单事态体T’，使得

Ti’＝（pi’,o*；1－pi’,o0

）～Ti

问题又化为对这m个简单事态体Ti’进行排序。第22页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.2

效用函数的定义和构造

Ti’＝（pi’,o*；1－pi’,o0

）～Ti

注意到这m个简单事态体Ti’具有相同的结果值o*、o0

，根据定义2.3，其优劣关系可以由比较pi’的大小决定。 根据性质2.3qjj是结果值oij关于o*与o0的无差异概率。其中： o*≽o0≼第23页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.2

效用函数的定义和构造2.2.1效用和效用函数的概念效用的概念定义2.5

设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用。反映结果值o对决策者的价值和作用大小的量值称为效用。第24页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.2

效用函数的定义和构造2.2.1效用和效用函数的概念效用函数的概念定义2.6 若在事态体集合Ŧ上存在实值函数u，有：(1)对任意的T1、T2∈Ŧ，T1T2当且仅当u(T1)>u(T2)(2)对任意的T1、T2∈Ŧ，且0≤λ≤1，有u[λT1＋(1－λ)T2]=λu(T1)＋(1－λ)u(T2) 则称u(T)为定义在Ŧ上的效用函数。第25页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.1效用和效用函数的概念估计效用函数的方法（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法)思路：对于给定的结果值，测定其效用值。 设有决策系统（Ω，A，F），其结果值集合为： O＝（o1,o2,…,on）记： o*≽max{o1,o2,…,on} o0≼min{o1,o2,…,on}

对于每一个结果值oj都存在一个概率值pj，使得 oj～（pj,o*；1－pj,o0）

pj就可以作为结果值oj的效用值。第26页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.1效用和效用函数的概念（1）标准效用测定法(概率当量法，V－M法)步骤①设u(o*)=1，u(o0)=0；②建立简单事态体（x,o*；1-x,o0），其中x称为可调概率；③通过反复提问，不断改变可调概率值x，让决策者权衡比较，直至当x=pj时

oj～（pj,o*；1－pj,o0）④测得结果值oj的效用

u(oj)=pj=pju(o*)＋(1－pj)u(o0)第27页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.1效用和效用函数的概念估计效用函数的方法（2）确定当量法(修正的V－M法)思路：对于给定的效用值，测定其结果值。步骤①设u(o*)=1，u(o0)=0；②对于给定的效用值pj，构造简单事态体 （pj,o*；1－pj,o0）③通过反复提问，不断改变结果值oξ

，让决策者权衡比较，直至当oξ=oj时

oj～（pj,o*；1－pj,o0）④得效用值pj对应的结果值为oj，即u(oj)=pj。第28页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.2效用函数的构造 介绍一种实用的效用函数的构造方法。基本思路

对于决策问题的结果值集合，先用确定当量法找出一个基准效用值，即效用值等于0.5的结果值，称为确定当量oξ。其余效用值不再测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。第29页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.2效用函数的构造方法 设决策问题结果值集合为： O＝（o1,o2,…,on）①取

o*≽max{o1,o2,…,on} o0≼min{o1,o2,…,on}

并令u(o*)=1，u(o0)=0；②构造简单事态体（0.5,o*；0.5,o0），用确定当量法找到该事态体的确定当量oξ，使得： oξ～（0.5,o*；0.5,o0）第30页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.2效用函数的构造方法③对结果值进行归一化处理，记归一化的结果值为x(oj)

则：x*=x(o*)=1，x0=x(o0)=0，0≤x(oj)≤1④记确定当量oξ的归一化值为ε，也记为x0.5第31页，共59页，2023年，2月20日，星期一得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点： （0,0）,（ε,0.5）,（1,1）ux011ε0.5第32页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.2效用函数的构造方法⑤在新区间[0,ε]和[ε,1]按同样方法插入点（x0.25,0.25）和（x0.75,0.75），保持比例关系计算得：第33页，共59页，2023年，2月20日，星期一效用曲线上新增两个点： （ε2,0.25）,（2ε－ε2,0.75）ux011ε0.50.25ε20.752ε－ε2第34页，共59页，2023年，2月20日，星期一⑥若认为点数太少，效用曲线不够精确，可继续按同样方法在新产生的区间内插入效用中点，直到产生足够的点为止。若在效用区间[0,1]中插入2n个分点：记相应的归一化的结果值为△k，有：第35页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.3效用与风险的关系在风险型或不确定型决策问题中，决策者选择方案几乎都要承担一定的风险，不同的决策者对风险的态度是有区别的。效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，也反映了不同类型的决策者对风险的不同态度。因此从不同类型的效用函数可以看出决策者对风险的不同态度。第36页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.3效用与风险的关系中立型效用函数

设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有则称该效用函数为中立型。其效用曲线是一条直线。中立型效用函数的效用值和结果值成正比例，因此可以用结果值直接评选方案。第37页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.3效用与风险的关系保守型效用函数

设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有则称该效用函数为保守型。其效用曲线是一条上凸曲线，表示效用值随结果值的增加而增加，但增加的速度逐渐由快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越谨慎，对风险持厌恶态度。第38页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.3效用与风险的关系冒进型效用函数

设有效用函数u=u(x)，若对xl＜x2，有则称该效用函数为冒进型。其效用曲线是一条下凸曲线，表示效用值随结果值的增加而增加，且增加的速度越来越快。反映了决策者随结果值增加越来越敢于冒险追求高额回报的态度。第39页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.3效用与风险的关系ux110中立型效用函数保守型效用函数冒进型效用函数第40页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.2.3效用与风险的关系混合型效用函数 三种基本效用函数的混合，如：ux110混合型效用函数表示当x＜x0时，即结果值不大时，决策者具有一定冒险精神；当x＞x0时，即结果值较大时，决策者对风险转而持谨慎态度。x0第41页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.3效用函数表一、效用函数表的构造 实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲线上的26（64）个点，效用函数的精度已经足够。 书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标值ε(ε<0.5)的效用函数值。ε<0.5时，对应的是保守（上凸）型效用函数，效用函数值可直接查表。ε>0.5时，对应的是冒进（下凸）型效用函数，效用函数值无法直接查表。第42页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.3效用函数表一、效用函数表的构造可以证明：

ε>0.5的效用曲线u(x)与ε’=1－ε的效用曲线u’(x)是关于直线u=x对称的。因此，ε>0.5的效用函数值可以按下面的方法求得：u(x)＝1－u’(1－x)具体步骤见教材P62。注：查表时在给定的ε列若没有对应的x值，则找出与之相邻的两个值x1、x2，查出对应的效用值后用线性内插的方法确定u(x)。第43页，共59页，2023年，2月20日，星期一2.3效用函数表二、效用函数表的使用例2.1某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。已知市场存在三种状态：畅销、一般、滞销，三种方案在不同的市场状态下所获利润额构成以下的决策矩阵：决策者认为：oξ＝4.5～（0.5,20；0.5,－5）第44页，共59页，2023年，2月20日，星期一例2.1试求该企业决策者的效用矩阵。解：o*≽max{oij}＝20， o0≼min{oij}＝－5

u(o*)=1， u(o0)=0将决策矩阵的结果值归一化：得归一化后的决策矩阵为：第45页，共59页，2023年，2月20日，星期一例2.1试求该企业决策者的效用矩阵。由 oξ＝4.5～（0.5,20；0.5,－5）得：查P369附表6，ε＝0.38所在列，以x22＝0.5为例：0.490621＜x22＝0.5

＜0.503698而 u(0.490621)＝0.65625，u(0.503698)＝0.671875用线性内插法：解得u(x22)＝0.6675。第46页，共59页，2023年，2月20日，星期一例2.1试求该企业决策者的效用矩阵。同理得：u(x11)＝0.7300，u(x12)＝0.6091，

u(x13)＝0.4306，u(x31)＝0.8742

u(x32)＝0.5596，u(x33)＝0.2068且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得决策者的效用矩阵为：第47页，共59页，2023年，2月20日，星期一例2.2在上例中，若决策者认为：

oξ＝11.25～（0.5,20；0.5,－5）

试求该企业决策者的效用矩阵。

解：同上例方法得归一化后的决策矩阵为：第48页，共59页，2023年，2月20日，星期一例2.2

由 oξ＝11.25～（0.5,20；0.5,－5）得：查P369附表6，ε’＝1-0.65=0.35所在列，以x32＝0.44为例，

u(x32)＝1－u’(1－x32)＝1－u’(0.56)： 0.53689＜0.56

＜0.5775而 u(0.53689)＝0.734375，u(0.5775)＝0.75用线性内插法解得u’(0.56)＝0.7433，因此：

u(x32)＝1－u’(0.56)＝0.2567第49页，共59页，2023年，2月20日，星期一例2.2

同理得：u(x11)＝0.3819，u(x12)＝0.2598，

u(x13)＝0.1271，u(x22)＝0.2920

u(x31)＝0.5725，u(x33)＝0.0251且 u(x21)＝u(o*)=1，u(x23)＝u(o0)=0得决策者的效用矩阵为：第50页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.4

效用函数的曲线拟合

前面讨论了针对特定的结果值，如何测定其效用，我们得到的只是一些离散的效用值，要得到连续的效用函数，则需要用曲线拟合的方法。常见的拟合曲线形式线性函数型

u(x)＝c1＋a1（x－c2） 其中c1、a1、c2为待定参数。

前面查表时用内插法确定某些效用值，实际上就相当于效用函数为分段线性函数。第51页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.4

效用函数的曲线拟合常见的拟合曲线形式指数函数型其中ci、ai（i＝1，2，3）均为待定参数。双指数函数型指数加线性函数型第52页，共59页，2023年，2月20日，星期一§2.4