高中数学竞赛辅导材料抽屉原理

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“1340020011”；[01]100要哪一个也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述（一）屉原理的基本而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素，故命题成立。个点之间的距离不大于25710017而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。课后练 试说理.11023456（一起）9211344为顶点的四边形面积不超过（假定四点在一直线上构成面积为零的四边形课后练习答2mn+k(k≥1nm+1体，那么6=2×2+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同12-1a1，a2，a3，…，a9，a10分别代表不a1+a2+a3，a2+a3+a4，根据原则2,至少有一个括号内的三数和不少于17,即至少有三个相邻的数的和不小17.3m1+m2+…+mn+k(k≥1)nm1+1m2+1nmn+1m1个，第二个抽屉放入物体的数不超过不超过m1+m2+…+mn个，与题设.3432有”、“至少有”，却不能确切地哪个抽屉里存在多少.首先要的是，对于同一问题，常可依据情况，从不同角度设计抽屉，从而导致.事实上，由于解决问题的在于将正方形分割成四个面积相等的部分，所以还可12-3a、bAC=a+b例题答有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于PAB、BCMACP、Q、N，那外角大于不相邻的内角），所以PQ≥PM。显然BC≥PQ，BC≥PM。由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。n+1ai0＜ai≤1（i=1,2,…,n+1），试证明：这n+1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于”。又不大于。的距离小于"，请读者试证之，并比较证明的差别。在边长为1的等边三角形中有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离不大于的两在边长为1的等边三角形内有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离小于的两将（3）中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的换成，命为1的正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过”。一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的的积，即m∈N+,K∈N+，n∈N,m=(2k-1)·2n1=1×2°，证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的，并且这种表示方法是唯1-10050（1-10050数1-2n意取出n+1个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。想，为什n2中的n5030（不看这些数而以如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想，为什么①②③④⑤⑥本题可以改变叙述如下：25个自然数中任意取出7个数，求证其中存在两个数，它们相互的比值在内。有一个限制条件：同一集合中任两个数的比值在内，故同一集合中元素的数值差不得23，于是{2，3}为一集合。的数的倍，就可以得到满足条件的六个集合。8：{40，41，42，…，60}；9都可以得到同一个结论：其中存在2个数，它们相互的比值在]内上述第（4）个命题，就是前基辅第49届数学竞赛试题。如果我们改变区间[021=10241024N846，A与B，A∩B=φA∩B=C≠φ，即ABAA1中各元和=B1中各元和，因此A1与B1就是符合题目要求的子集。分析与解答：由中点坐标知，坐标平面两点（x1,y1）、（x2,y2）的中点坐标。欲使都是整数，必须而且只须x1与x2，y1与y2的奇偶性相同。坐标平面点）。如果对所有的n维整点按每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2×2×…×2=2n个类。这是对n维整点的一种分类方法。当n=3在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”。这就是1971年的普特南数学竞赛题。在n=2的情形，也可以构造如下题：“平面上任意给定5个整点”，对“它们连线段4（A）05（B）010（C）15（D）110（正确答案100100Sm记其前mS1，S2，…S1001001000，1，2，…99100证明：设已知的整数为a1,a2,…a100数列a1,a2,…a100的前n项和构成的数列S1，100100{1，2，…，99}中的元素。由抽屉原理I，S1，S2，…S100100Si，Sj（i＜j），则100∣（Sj-Si），即100∣。命题得证。就可去掉余数为0的类，从而转化为100个数分配在剩下的99个类中。这种处理问题的方最后，本例的结论及证明可以推广到一般情形（而且有加强的环节在任意给定的n个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被n整除，而且，在任意给定的排定顺序的n个整数中，都可以找出若干个连续的项（可以是一项），n将以上一般结论中的n赋以相应的年份的值如1999，2000，2001…，就可以编出相应若干只猴子（可以是一只），10016316=3×5+1，6=5+1AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6Bi（i=1，2，…，6）之间有红线，则出现红色三B1，B2，B3，B4，B5，B6之间的连线只染有黄蓝两色。B15，B1B2，B1