人教版高中数学知识点总结

本文格式为Word版，下载可任意编辑——人教版高中数学知识点总结

人教版高中数学知识点总结(精品)

高中数学知识点总结

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3.注意以下性质：

（1）集合a，a，，a的所有子集的个数是2；12n

n

2）若ABABA，ABB；（

（3）德摩根定律：

CABCACB，CABCACBUUUUUU

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知x0的解集为M，若3M且5M，求实数a2的取值范围。

ax5

xa

a35

（∵3M，20

3a

a55

∵5M，20

5a

5

a19，25）3

5.可以判断真假的语句叫做命题，规律连接词有“或〞()，“且〞()和

“非〞().

pq为真，当且仅当p、q均为真若

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

p为真，当且仅当p为假若

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否一致？（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

人教版高中数学知识点总结(精品)

x4x例：函的定义域是2

lgx3

（答：0，22，33，4）10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。（答：a，a）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f

x1exx，求f(x).

tx1，则t0

xt1∴

∴ft()e

2

t1

2

2

t1

2

∴f(xe)x1x0

2

x1

12.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤把握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1xx0

如：求函数f(x)的反函数2

xx0

x1x1

答：f()x）（

xx01

13.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a

1

ff(a)f(b)a，ff(b)(fa)b

1

1

1

14.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？

（yf()u，u()x，则yf()x（外层）（内层）

人教版高中数学知识点总结(精品)

当内、外层函数单调性一致时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）如：求ylogx2x的单调区间1

2

2

2

（设ux2x，由u0则0x2且logu，ux1，如图：11

2

2

x(0，1]时，u，又logu，∴y当1

2

x[1，2)时，u，又logu，∴y当1

2

∴）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于在零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

3

：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大如

值是（）A.0

B.1

2

C.2D.3

令f'()x3xa3xx0（

aa

或x33

a

3

a3a

3

x则

已知f(x)[在1，)上为增1，即a3由

∴a的最大值为3）

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称若

人教版高中数学知识点总结(精品)

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

x

a2a2

如f(x为奇函数，则实数a

21

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a2a2

00，∴）a1

21

x

2

又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)f(x

41

求f(x)在1，1上的解析式。

x

2

（令x1，0，则，x01，()x

41xx

22

又f(x)为奇函数，∴f(x)x

x4114x

x(1，0)2

x

01x4

f(0)0，∴f(x)）又x

2x0，1x41

17.你熟悉周期函数的定义吗？

若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期（

函数，T是一个周期。）

：若fxaf(x)，则如

答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）（

如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb又

f(ax)(fax)(，fbx)(fbx)即

f(x)是为一个周期则

人教版高中数学知识点总结(精品)

如：

18.你把握常用的图象变换了吗？

f(x)与f()x的图象关于y轴对称f(x)与f(x)的图象关于x轴对称f(x)与f(x)的图象关于原点对称f(x)与fx()的图象关于直线yx对称f(x)(与f2ax)的图象关于直线xa对称f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

1

yf(xa)左移a(a0)个单位

yf(x)图象将

yf(xa)右移a(a0)个单位

注意如下“翻折〞变换：

yf(xa)b上移b(b0)个单位

yf(xa)b下移b(b0)个单位

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

：f(x)logx1如2

log的图象2

人教版高中数学知识点总结(精品)

y=log2x

19.你熟练把握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反k0k0是中心O'()a，b的双曲线。

k

xkxa

2

4acbb

（3）二次函数yaxbxca0图象为抛物线2a4a

2

2

2

b4acbb

点坐标，对称轴x顶

a4a2a22

4acb

口方向：a0，向上，函y开min

4a2

4acb

0，向下，yamax4a

应用：①“三个二次〞（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

22

axbxc0，0时，两根x、x为二次函数yaxbxc的图象与x轴122的两个交点，也是二次不等式解axbxc0(0)集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

人教版高中数学知识点总结(精品)

④一元二次方程根的分布问题。

0b2

如：二次方程axbxc0的两根都大于kk

a2fk()0

一根大于k，一根小于kf(k)0

4）指数函数：yaa01，a（5）对数函数ylogxa01，a（a

由图象记性质！（注意底数的限定！）

gax(a1)

x

6）“对勾函数〞yk0（

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

kx

人教版高中数学知识点总结(精品)

20.你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a1(a0)a(a0)paa(a0)，am

nm

mn

p

1

a

1

m

a

(a0)

数运算：logMNlogMlogNM0，N0对aaa

loga

M1

logaMlogaN，logaMlogaMNn

logx

对数恒等式：aax

对数换底公式：logcloglogbmaaa21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。（先令xy0f(0)0再令yx，）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

logb

logac

n

n

m

先令xytf(t)(t)(ftt)（

∴ft()ft()f(t)f(t)∴f(t)f(t)）

3）证明单调性：f(x)fxxx（2212

22.把握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求以下函数的最值：（1）y2x34x

2y（）

x4

x3

22x

3）x3，y（

x3

人教版高中数学知识点总结(精品)

（4y9x设x3cos，0，（5）y4x，x(01，]

23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？（lR，S扇

2

9

x

11

lRR2）22

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sinMP，cosOM，tanAT

y

T

BS

OMx

0，则sin，cos，tan的大小顺序是

8

又如：求函数y

12cosx的定义域和值域。

2

（2cx）2sinx0

2

sinx∴

，如图：2

人教版高中数学知识点总结(精品)

2x2kZ0

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

544

i1co1s

y

ytgx

x

O22

称点为，0，kZ对

2

sinx的增区间为2k，2kkZy区间为2k，2kkZ减22

3

2

2

人教版高中数学知识点总结(精品)

图象的对称点为k，0，对称轴为xkZycosx的增区间为2k，2kkZ减区间为2k，22kkZ图象的对称点k，0，对称轴为xkkZ

2

2

2

ytanx的增区间为kkkZ

2

6.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx2

（1）振幅|A|，周期T

2

||

若fxA，则xx为对称轴。00

fx0，则x，0为对称点，反之也对。若00

（2）五点作图：令x，2，求出x与y，依点（x，y）作图象。

（3

）根据图象求解析式。（求A、、值）

3

22

(x1)0

图列出如

(x2)2

条件组求、值解

正切型函数yAtanx

||

人教版高中数学知识点总结(精品)

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

如：cos，x，求x值。

）28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数ysinxsin|x|的值域是

62

2

32

375513

26636412

x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）（

29.熟练把握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）平移公式：

x'xha(h，k)

（1）点P（x，y）P'（x'，y'），则

y'yk平移至

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0如：函数y2si1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？

4

1横坐标伸长到原来的2倍（y2sin1y2si1

4

24

上平移1个单位42sin1y2sinx1y2sinx4

个单位

1

2ysinx）

纵坐标缩短到原倍

30.熟练把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossectantancotcossec2

2

2

2

4

cos0称为1的代换。

2

〞化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限〞，

2

“奇〞、“偶〞指k取奇、偶数。

tasin21

97

46

人教版高中数学知识点总结(精品)

又如A.正值或负值

sintan

，则y的值为

coscot

B.负值

C.非负值

D.正值

sin

sin2

sincos1cosy20，∵0）

cossin1cossin

31.熟练把握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

sinsincoscossinsin22sincos

令

令22

cossinsincos2cossin

coscos

tan

tantan

os2112sin22c

1tantan

1cos2

2

1cos2

sin2

2

cos2

tan2

2tan

1tan2

asinbcosabsintan

2

2

b

a

sincos2sin

43

sin3cos2sin

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含

三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：

（1）角的变换：如（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

222

sincos2

1cos23

sincoscos1

由1，ta（2

2sin22sin

2

tan又

3

1，tan，求tan2的值。

人教版高中数学知识点总结(精品)

21tantan312∴tan2tan）81tantan32

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

222bca

余弦定理：abc2bccoscos2bc

2

22

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinA

abc

正弦定2Rb2RsinB

sinAsinBsinCc2RsinC

SbsinCa

∵ABC，∴ABC∴sinABinCs如ABC中，2sin（1）求角C；

2

c

2）若a，求cos2Acos2B的值。（

2

2

2

12

ABC

22

2

AB

cos2C12

（（1）由已知式得：1cosAB2cosC11

2

ABC，∴2cosCcosC10又cos或cosC1（舍）∴

又0C，∴C

2

1

2

3

2

2

122

32222

sinA2sinBsinCsi2

34

3

cos2A1cos2B1

43

cos2Acos2B）∴

4

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

2）由正弦定理及abc得：（

人教版高中数学知识点总结(精品)

反正弦：arcsinx，x1，1

22

余弦：arccosx0，，x1，1反

反正切：arctanx，xR34.不等式的性质有哪些？（1）ab，

22

c0acbc

c0acbc

（2）ab，cdacbd（3）ab0，cd0acbd（4）ab，ab（5）ab0abb

n

n

11

ab11ab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa0则以下结论不正确的是（）A.ab

2

2

2

B.abb

11

ab

.|||||abab|C

答案：C

35.利用均值不等式：

ab2ba

ab

ab2aba，bRaab求最值时，你是否注

2

22

2

意到“a，bR〞且“等号成立〞时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

22abab2ab

babR，22ab

且仅当ab时等号成立。当

bcabbccaa，bRa

222

人教版高中数学知识点总结(精品)

当且仅当abc时取等号。ab0，m0，n0，则

bbmana

1aambnb

4

如：若x02的最大值为

x

（设y232223

4x

当且，又x0时，y3）max又如：x2y1，则24的最小值为（∵2222，∴2）36.不等式证明的基本方法都把握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。

如：证2222（1

x2y

x2y

1

4

x33

xy

11231n

1111111222

122323nn1n

11111

11223n1n

122）

n

37.解分aa0的一般步骤是什么？（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）38.

用“穿轴法〞解高次不等式——“奇穿，偶切〞，从最大根的右上方开始

f(x)g(x)

：x1x1x20如

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的探讨

23

人教版高中数学知识点总结(精品)

如：对数或指数的底分a1或0a1探讨40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段探讨，去掉绝对值符号，最终取各段的并集。）例如：解不等|x1（解集为x|x）

41.会用不等式证|a||b||ab||a||b|明较简单的不等问题如：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1f(x)f2(||a1)

证明：|f(x)(fax)||(x13)(aa13)|

2

2

2

12

|(xa)(xa1)|(|xa|1)

|xa||xa1||xa1|

|x||a|1

又||x|a||xa|1，∴|||xa|1

f(x2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△〞问题）如：af(x)恒成立af(x)的最小值af(x)恒成立的af(x)最大值af(x)能成立的af(x)最小值

如a恒成立，则a的取值范围是例

，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

325，∴5a，即a5umin

x355，∴a）43.等差数列的定义与性质

定义：为aad(d常数)，aan1dn1nn1

人教版高中数学知识点总结(精品)

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

aannn11n前n项Snad

n

2

1

2

性质：a是等差数列n

1）若mnpq，则aaaa；（mnpq

（2）数列a，a，kab仍为等差数列；2n12nnS，S