太原市小店区大学附属中学校2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精山西省太原市小店区山西大学附属中学校2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题含解析山西大学附中2019~2020学年高二第一学期12月模块诊断（理）数学试题一。选择题1.直线的方程为，则直线的倾斜角为A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的倾斜角为，,直线的方程为，则，解得．【详解】解:直线的倾斜角为,直线的方程为,则，解得，则直线的倾斜角为,故选：．【点睛】本题考查了倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.椭圆的长轴长为()A。 B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程可得长轴长。【详解】由题：椭圆，即，所以其长轴长为.故选:C【点睛】此题考查根据椭圆的标准方程求椭圆的长轴长，关键在于准确识别.3.直线与平行,则的值为(）A。1 B.或0 C. D.0【答案】B【解析】【分析】当两条直线斜率不存在时，即，研究是否满足题意，当两条直线存在时,根据直线平行的结论，得到关于的方程，解得到答案。【详解】直线与，当两条直线的斜率不存在时，即,此时，两条直线方程分别为和，满足题意,当两条直线的斜率存在时，由两直线平行，得,解得，综上，满足题意的的值为或.故选B.【点睛】本题考查根据两条直线的平行关系，求参数的值,属于简单题.4。两圆，，则两圆公切线条数为（)A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根据两圆的位置关系即可得解。【详解】两圆，圆心，半径为4，，其标准方程为，圆心，半径为3,圆心距，即两圆相交，所以公切线恰有两条。故选：B【点睛】此题考查两圆位置关系的判断，通过圆心距离与两圆半径的关系判定两圆位置关系,进而得出公切线的条数.5。设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A。0 B。1 C。2 D.3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．6。在等腰三角形MON中，|MO|＝｜MN｜，点O(0，0)，M（－1，3），点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为（）A。3x－y－6＝0 B。3x＋y＋6＝0C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0【答案】C【解析】因为|MO｜＝｜MN|，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1),即3x－y＋6＝0。选C7.已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为4，则的取值范围是(）A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】由题意可知:且，这样可以求出的取值范围.【详解】依题意得，且，故选A。【点睛】本题考查了根据椭圆焦点的位置求参问题,考查了解不等式的能力.8.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，由图A中l1知,－b>0，与l2中－b<0矛盾，排除A;同理排除D．在图C中，由l1知－b〈0，与l2中，－b>0矛盾，排除C．故答案选B．点睛：这个题目考查的是已知表达式,识别函数的图像，并且两条直线的位置关系可以大概由选项判断出来;一般知式求图的问题，可以代入特殊点，判断函数的定义域，值域，对称性，奇偶性，等通过这个来判断式子和图像是否相符．这个题目可以由选项入手，假设选项正确，推出矛盾．9。直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（）A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】设直线方程点斜式，根据在轴上的截距的取值范围是,求解不等式即可得解.【详解】由题可设直线方程为，即在轴上的截距的取值范围是，即点在直线的异侧，根据二元一次不等式表示平面区域关系可得：，即，解得:。故选:D【点睛】此题考查根据过某点的直线与坐标轴的截距范围求解斜率取值范围，可以数形结合分析斜率，可以等价转化为二元一次不等式表示平面区域的问题求解.10。已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值为(）A.1 B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在轴上的椭圆，利用椭圆定义得到,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当垂直于x轴时最小，把的最小值代入，由的最大值等于5可求b的值．【详解】由可知,焦点在x轴上,∴,∵过的直线交椭圆于A,B两点，∴∴．当垂直x轴时最小，值最大，此时，∴，解得,故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出,属于一般题．11.已知圆C：和两点A，B.若圆C上有且只有一点P，使得APB=,则的值为A. B。 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先通过分析得到点P的位置,再求出a的值得解.【详解】圆C的圆心到原点的距离为,由题得以原点为圆心，以a为半径的圆D的方程为,因为圆C上有且只有一点P，使得APB=,所以圆D和圆C相外切或内切,所以a+2=5或5+2=a，所以a=3或7.故选D【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设F是椭圆C：(a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A,B三等分线段PF,则椭圆C的离心率为（）A. B。C. D.【答案】D【解析】【分析】取线段PF的中点H,连接OH，OA，由题意可得OH⊥AB，设｜OH｜＝d，根据椭圆的定义以及在Rt△OHA中，可得a＝5d，在Rt△OHF中,利用勾股定理即可求解。【详解】如图,取线段PF的中点H，连接OH，OA。设椭圆另一个焦点为E,连接PE.∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB中点，即OH⊥AB.设｜OH｜＝d,则｜PE|＝2d，｜PF｜＝2a－2d,|AH|＝。在Rt△OHA中，｜OA|2＝|OH｜2＋|AH｜2,解得a＝5d.在Rt△OHF中，｜FH｜＝，|OH|＝,|OF|＝c.由|OF｜2＝|OH｜2＋|FH｜2，化简得17a2＝25c2,.即椭圆C的离心率为。故选：D。【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，解题的关键是理解题中的几何关系，属于中档题。二、填空题13.直线与直线的交点为,则________.【答案】【解析】【分析】（2,2）为直线和直线的交点,即点（2,2）在两条直线上，分别代入直线方程，即可求出a，b的值，进而得a+b的值．【详解】因为直线与直线的交点为,所以，，即，，故。【点睛】本题考查求直线方程中的参数，属于基础题．14.如图所示,一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点（不同于点），是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是_____【答案】椭圆【解析】分析】根据折叠之后的重叠关系可得,即轨迹为椭圆。【详解】由题，折叠之后与重合，即，，其中等于圆的半径为定值，即点到两定点，的距离之和为定值：，所以其轨迹为椭圆.故答案为：椭圆【点睛】此题考查根据椭圆的定义判定轨迹为椭圆，关键在于准确将几何关系进行转化，熟练掌握椭圆的定义.15.在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．【答案】【解析】试题分析:因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离为，所以半径最大时的半径，所以半径最大的圆的标准方程为．考点：1、圆的方程;2、直线与圆的位置关系．【方法点睛】解决直线与圆的问题时,一方面，注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算,使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中,设军营所在平面区域为,河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发,只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为_____________.【答案】【解析】【分析】求出点P关于直线的对称点,根据对称性，原问题转化成求到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.【详解】设点关于直线的对称点，解得，所以，将军从P出发到达直线上点A再到营区，，所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，根据圆的几何性质可得最短距离为.故答案为：【点睛】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离,考查对圆的几何性质的应用。三、解答题17.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为。（1)求直线的方程;（2）求点的坐标。【答案】(1)（2)【解析】【分析】(1）先计算，过点，得到答案。（2）联立直线方程：解得答案。【详解】解:（1)由边上的高所在直线方程为得，则.又∵，∴直线的方程为，即(或).（2)因为边上的中线过点，则联立直线方程：。解得：，即点坐标为.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力。18。已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2)过点作圆的切线，求切线方程。【答案】（1）;（2)或【解析】【分析】（1）设圆心坐标，表示出圆心到直线距离，根据弦长公式,列方程求解;（2）分类讨论当斜率不存在和斜率存在两种情况结合圆心到直线距离等于半径，分别求切线方程.【详解】解:(1）设圆心则圆心到直线的距离。因为圆被直线截得的弦长为.解得或(舍），圆.(2)当切线斜率不存在时，直线方程为：，与圆相切,满足题意；当切线斜率存在时,设直线方程为：,即：则：解得：此时，切线方程为:，即：所以,所求切线方程为：或【点睛】此题考查根据圆的几何特征,根据弦长关系求解圆的方程，过圆外一点圆的切线方程，易错点在于漏掉考虑斜率不存在的情况.19。如图，在三棱柱中,平面，分别为的中点，，。(1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值;【答案】（1)证明见解析；(2）【解析】【分析】(1)通过证明，得线面垂直；(2）建立空间之间坐标系,利用法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值.【详解】解:（1)在三棱柱中，平面，四边形为矩形.又分别为的中点，又，平面，平面平面.（2）由(1）知,由平面，平面。如图建立空间直角坐称系。由题意得设平面的法向量为，，，令,则，平面的法向量,又平面法向量为,。所以二面角的余弦值为.【点睛】此题考查线面垂直的证明和求二面角的大小,关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，利用向量的方法求解二面角的大小需要注意防止计算出错。20。在平面直角坐标系中，点，，直线,圆(1）若点在圆外，求实数的取值范围；（2）有一动圆的半径为，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。【答案】(1）；（2）【解析】【分析】（1)点在圆外即点到圆心距离大于半径,代入方程解不等式即可；（2）即点在线段的中垂线上,只需动圆与该中垂线有公共点即可.【详解】解：(1)化为由得，又因为点在圆外，所以：解得:的取值范围为:(2）∵圆的圆心在直线上,所以，设圆心又半径为,则圆的方程为：又，点在中垂线上，的中点得直线点应该既在圆上又在直线上，即：圆和直线有公共点，终上所述，的取值范围为:【点睛】此题考查点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据位置关系求解参数的取值范围，需要熟练掌握几何性质，涉及转化与化归思想.21.已知四棱锥中，底面为菱形,,平面平面，，点E，F分别为,上的一点，且,．（1）求证:平面;(2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1）作辅助线FG，点G在PC边上，且，由题中条件可得为平行四边形，再由线线平行证得线面平行．（2)用建系的方法求线面正弦值．【详解】(1）证明：取边上点,使得，连接.因为，所以,且.又，所以，且。所以，且，所以四边形为平行四边形,则.又平面，平面，所以平面。(2）解：取中点，由，所以又平面平面，交线为，且,所以平面。以为原点建系，以,，为轴，轴，轴.所以，，，,所以，，.设平面的法向量为，则，可取,设与平面所成角为,则【点睛】本题考查线面的位置关系，立体几何中的向量方法，属于常考题型．22.已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2，0），B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程;(Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E。求证:△BDE与△BDN的面积之比为4：5．【答案】（1）(2)见解析【解析】试题分析：（Ⅰ)根据条件可知，以及，从而求得椭圆方程；（Ⅱ）设,则,根据条件求直线的方程,并且表示出直线的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据即可求出面积比值。试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为。由题意得解得。所以.所以椭圆的方程为.（