《线性代数期末复习》吕代数ch

？？第五章特征值和特征向量5.1特征值与特征向量5.2相似矩阵5.3对称矩阵及其对角化复习

向量的内积定义1:设有n维向量称为向量与的内积.即：(i)(ii)(iii)性质：定义设为n维向量,λ为实数.当时，称为单位向量.定义2:当时，称为n维向量与的夹角.若，则与任何向量都正交.

称为n

维向量的长度或范数.若

则称与正交.（正交向量组）定理1:若n

维向量是一组两两正交的非零向量,则线性无关.证：设有一组数使类似可证因此向量组线性无关.例1:

已知3维向量空间R3中两个向量正交,试求一个非零向量,使两两正交.解：设令，得基础解系取即为所求.定义3：设

n

维向量是向量空间V(V

Rn)的一个基,如果两两正交，且都是单位向量，则称是V的一个规范正交基.（正交基）若是V的一个规范正交基，那么V中的任一向量应能由线性表示，设表示式为：证：则如何求V的规范正交基？设是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基也就是要找一组两两正交的单位向量,使与等价.把这个基规范正交化.把规范正交化的步骤：取容易验证两两正交，且与等价.首先把正交化：再把单位化：取就得到V的一个规范正交基.施密特正交化过程例2

用施密特正交化方法,将向量组正交规范化.解

先正交化，取再单位化，得规范正交向量组如下定义4:若n阶矩阵A满足则称A为正交矩阵.即方阵A为正交矩阵A的列向量组都是单位向量,且两两正交.A的行向量组都是单位向量,且两两正交.注：正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基.注：A是正交矩阵，则A-1=AT也是正交矩阵，且(|A|=1或-1)解：所以A的每个列向量都是单位向量,且两两正交,故A是正交矩阵.定义5:若P为正交矩阵,则线性变换称为正交变换.设为正交变换，则有：正交变换不改变向量的长度.例4:

验证矩阵是正交矩阵.特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法5.1特征值与特征向量一特征值与特征向量的概念n个未知数n个方程的齐次线性方程组注:由可得:

则称为方阵A

的特征值,非零向量

称为A的对应于特征值的特征向量.

定义

设A是n阶方阵,如果存在数和n维非零列向量满足：称为A的特征矩阵.

称为A的特征多项式.称为A的特征方程.由x非零,有利用定义:Ax=λx且x非零例设则A有特征值____.解-1例设λ是A的特征值,则A2有特征值_____.解设x是属于λ的特征向量,即有Ax=λx.

所以,A2x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ2x.λ2适用于抽象矩阵二特征值与特征向量的求法方法一

求解特征方程即得A的特征值;利用

有非零解:

求解方程组非零解即为对应于λ的特征向量.适用于数字矩阵例求的特征值和特征向量.

解A的特征多项式为：所以A的特征值为：2重特征值方法二当时,得基础解系:

当时,A+2E=得基础解系:

所以对应于的全部特征向量为:不全为零.所以对应于的全部特征向量为:线性无关的特征向量的最大个数为2解

A的特征多项式为:所以A的特征值为:当时,解方程组由得基础解系

:所以对应于的全部特征向量为例求的特征值和特征向量.2重特征值A－E=当时,

得基础解系:线性无关的特征向量的最大个数为1注:

1

属于同一个特征值的特征向量有无穷多个！

2属于同一特征值的线性无关特征向量的最大个数不一定等于它的重数，但不会超过它的重数.解方程组(A-E)x=0.由的全部特征向量是所以对应于三特征值与特征向量的性质性质1矩阵特征值特征向量不确定证明:作业（1）矩阵A的n个特征值之和等于A的n个对角线元素之和，即:（2）矩阵A的n个特征值的乘积等于A的行列式的值,即:性质2注1:

矩阵A的n个对角线元素之和称为A的迹,记为tr(A).注2：矩阵A可逆的充要条件是A的特征值全不为零.例解:例定理设是n阶方阵A的m个特征值,依