第一节单因素方差分析

第一节单因素方差分析第1页，共24页，2023年，2月20日，星期一【例1】某化肥生产商要检验三种新产品的效果，在同一地区选取18块大小相同，土质相近的农田中播种同样的种子，用等量的甲乙丙化肥各施于六块农田，试验结果每块农田的粮食产量如下所示．

试根据试验数据推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异．产量甲化肥504649524848乙化肥495047474649丙化肥5150494650505.1.1单因素方差分析的问题第2页，共24页，2023年，2月20日，星期一本例中，只考虑化肥这一个因素(记为A)对粮食产量的影响，三种不同的化肥称为该因素的三个不同水平（分别记为A1，A2，A3）．从表中数据看出，即使是施同一种化肥，由于随机因素（温度，湿度等）的影响，产量也不同．第3页，共24页，2023年，2月20日，星期一因而有：

(1)粮食产量是随机变量，是数值型的变量；

(2)把同一化肥(A的同一水平)得到的粮食产量看作同一总体抽得的样本，施用不同化肥得到的粮食产量视为不同总体下抽得的样本，表中数据应看成从三个总体X1，X2，X3中分别抽了容量为6的样本的观测值.

推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异的问题，就是要辨别粮食产量之间的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同化肥造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布的讨论．第4页，共24页，2023年，2月20日，星期一由于在实际中有充分的理由认为粮食产量服从正态分布,且在安排试验时,除所关心的因素(这里是化肥)外,其它试验条件总是尽可能做到一致.

这使我们可以认为每个总体的方差相同即Xi～N(i,σ2)i=1,2,3

因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题，即只需检验H0：

1=

2=

3第5页，共24页，2023年，2月20日，星期一因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等的问题，即只需检验H0：

1=

2=

3

象这类检验若干同方差的正态总体均值是否相等的一种统计分析方法称为方差分析．当只有两个正态总体时，这类问题也可以用第八章讲过的两正态总体均值比较的方法来解决．第6页，共24页，2023年，2月20日，星期一5.1.2单因素方差分析的数学模型进行单因素方差分析时，需要得到如表1所示的数据结构．

第7页，共24页，2023年，2月20日，星期一

表中用A表示因素，A的m个取值称为m个水平分别用A1，A2，…，Am表示，每个水平对应一个总体．从不同水平（总体）中抽出的样本容量可以相同，也可以不同．若不同水平抽出的样本容量相同则称为均衡数据，否则称非均衡数据．观测值（j）A因素（i）A1A2…Am1x11x21…xm12x12x22…xm2……………ni…平均值表1单因素方差分析中数据结构第8页，共24页，2023年，2月20日，星期一设xij表示第i个总体的第j个观测值(j=1,2,…，ni，i=1，2，…，m),由于，i=1,2,…,m单因素方差分析模型常可表示为：xij=i+ij

，相互独立，1≤i≤m，1≤j≤ni.其中i表示第i个总体的均值，ij为随机误差．

第9页，共24页，2023年，2月20日，星期一5.1.3方差分析的方法为了方便起见，可将i记为：i=+i其中称为总均值,i=i–(i=1,2,…,m)称为因素A的第i个水平的附加效应.对不同水平下均值是否相同的检验H0：1=2=…=m，H1：1，2，…，m不全相等；就可以表示为：H0：1=2=…=m=0，

H1：1，2，…，m不全为零．第10页，共24页，2023年，2月20日，星期一下面简单介绍检验统计量及检验方法．以表示所有xij的总平值，表示第i组数据的组内平均值，即其中n=n1+n2+…+nm．统计量：称为总离差平方和，或简称总平方和.它反映了全部试验数据之间的差异．第11页，共24页，2023年，2月20日，星期一另外反映了每组数据均值和总平均值的误差，称为组间离差平方和，简称组间平方和，或称因素A平方和．反映了组内数据和组内平均的随机误差，称为组内离差平方和，或称为误差平方和．第12页，共24页，2023年，2月20日，星期一可以证明SST=SSMA+SSE构造检验统计量可以证明，在H0成立下第13页，共24页，2023年，2月20日，星期一当原假设成立时，各总体均值相等，各样本均值间的差异应该较小，模型平方和也应较小，F统计量取很大值应该是稀有的情形．所以对给定显著性水平

(0,1)，H0的拒绝域为：若由观测数据xij(j=1,2,…,ni，i=1,2,…,m)计算得到F的观测值为F0,当F0落入拒绝域时拒绝原假设H0,可以认为因素A对响应变量有显著影响；否则不能拒绝H0，认为因素A对响应变量无显著影响．第14页，共24页，2023年，2月20日，星期一另外，F统计量的P值为P=P{F

F0}，在显著水平下，若P=P{F

F0}<,则拒绝原假设H0,可以认为所考虑的因素对响应变量有显著影响；否则不能拒绝H0,认为所考虑的因素对响应变量无显著影响．通常将上述计算结果表示为方差分析表．其中，MSA=SSMA/(m–1)，MSE=SSE/(n–m)．利用方差分析表中的信息，就可以对因素各水平间的差异是否显著做出判断．来源Source平方和SunofSquare自由度DF平均平方和MeanSquareF统计量FvalueP值Pr>F组间SSMAm–1SSMA/(m–1)MSA/MSEP组内SSEn–mSSE/(n–m)全部SSMA+SSEn–1第15页，共24页，2023年，2月20日，星期一【实验1】利用Excel的数据分析工具对例1作方差分析．

Excel的数据分析工具作方差分析的步骤如下：

(1)将例1中数据输入Excel中，如图1所示．

(2)在Excel主菜单中选择“工具”“数据分析”，打开“数据分析”对话框，在“分析工具”列表中选择“方差分析：单因素方差分析”选项，单击“确定”按钮．

第16页，共24页，2023年，2月20日，星期一(3)在打开的“方差分析：单因素方差分析”对话框中，输入“输入区域”：B2:D8，“分组方式”取默认的“列”方式，选中“标志位于第一行”复选框，如图2所示，单击“确定”按钮．得到单因素方差分析的结果如图3所示．

第17页，共24页，2023年，2月20日，星期一

(4)结果分析．第一部分“SUMMARY”提供拟合模型的一般信息，包括各分组的名称、观测数、和、均值和方差，如图3所示．第二部分为方差分析表，其中各项含义可参见表的说明．最右边多了一列：在

=0.05的显著水平下，单因素方差分析F检验的临界值（即F统计量的上分位点：F）．

第18页，共24页，2023年，2月20日，星期一从方差分析表可以看出，P值大于0.05（显著水平），所以不能拒绝原假设，没有足够的证据证明三种化肥的肥效有显著差异．

第19页，共24页，2023年，2月20日，星期一【例2】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本．每个行业各抽取5家企业,所抽取的这些企业在服务对象、服务内容、企业规模等方面基本上是相同的．然后统计出最近一年中消费者对总共20家企业投诉的次数结果如下：行业投诉次数零售业5766494044旅游业6839294556航空公司3149213440家电制造业4451657758第20页，共24页，2023年，2月20日，星期一通常，受到投诉的次数越多，说明服务的质量越差．消费者协会想知道这几个行业之间的服务质量是否有显著差异，试进行方差分析.

本例采用单因素方差分析法，只考虑行业这一个因素对投诉次数的影响，四个不同的行业称为该因素的四个不同水平．原假设是：不同行业对服务质量的投诉次数没有显著差异．

行业投诉次数零售业5766494044旅游业6839294556航空公司3149213440家电制造业4451657758第21页，共24页，2023年，2月20日，星期一【实验2】利用Excel的数据分析工具对例2作方差分析．

(1)将数据输入Excel中，如图所示．

(2)在Excel主菜单中选择“工具”“数据分析”，打开“数据分析”对话框，在“分析工具”列表中选择“方差分析：单因素方差分析”选项，单击“确定”按钮．

第22页，共24页，2023年，2月20日，星期一(3)在打开的“方差分析：单因素方差分析”对话框中，输入“输入区域”：A2:D7，“分组方式”取默认的“列”方式，