离散傅里叶变换

离散傅里叶变换第1页，共66页，2023年，2月20日，星期一3.2离散傅立叶变换

3.2.1DFT定义假定一个周期序列，它是由长为N点的有限长序列x(n)经周期延拓而成，即第2页，共66页，2023年，2月20日，星期一周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义：第一个周期n=0~N-1，为的“主值区间”主值区间上的序列为主值序列

x(n)。x(n)与的关系可描述为：RN（n）为矩形序列。符号((n))N

是余数运算表达式，表示n对N求余数。第3页，共66页，2023年，2月20日，星期一例：是周期为N=8的序列，求n=11和n=-2对N的余数。第4页，共66页，2023年，2月20日，星期一频域上的主值区间与主值序列：

周期序列的离散傅里叶级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。第5页，共66页，2023年，2月20日，星期一再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：

这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可得到一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。第6页，共66页，2023年，2月20日，星期一

长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)。x(n)与X(k)都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。第7页，共66页，2023年，2月20日，星期一可以看出，k=0，1，2，…，N-1，相当于频率从直流DC到(N-1)fs的N个频率等分点。这些频率点上的余弦序列和正弦序列我们称之为频率单元，或分析频点。也就是说，输入时域序列x(n)与频率单元做序列点积运算而得到频谱的实部和虚部，即该频率点所分解到的复系数X(k)。DFT具有隐含周期性，同样地，可以证明IDFT中，x(n)也是隐含N点周期的。第8页，共66页，2023年，2月20日，星期一DFT表示成矩阵形式，令x=｛x(0)，x(1)，x(2)，…，x(N-1)｝T构成时域序列的列矩阵。X=｛X(0)，X(1)，X(2)，…，X(N-1)｝T构成频域序列的列矩阵。第9页，共66页，2023年，2月20日，星期一【例3.2.1】某复合正弦信号

用Matlab计算出16个采样数据。t=0:1/16000:15/16000;%时间增量1/16msxt=sin(2*pi*2000*t)+0.5*sin(2*pi*6000*t-3*pi/4);figure(1);stem(t,xt);xlabel('n');ylabel('x(n)');第10页，共66页，2023年，2月20日，星期一构造16×16的变换矩阵WN，并计算出频谱X(k)。n=0:15;k=0:15;%两个行向量WN=exp((-j*2*pi/16)).^(n'*k);%构造变换矩阵X=xt*WN;Xa=abs(X);Xb=(angle(X))*180/pi;%弧度换成角度。figure(2);subplot(2,1,1);stem(k,Xa);xlabel('k');ylabel('X(k)');%幅度谱subplot(2,1,2);stem(k,Xb);xlabel('k');ylabel('φ(k)');%相位谱第11页，共66页，2023年，2月20日，星期一图中k=0和k=16是一样的，对应的是DC或fs(16KHz)；k=2和k=6对应的2KHz和6KHz的分量，且幅度也是成2倍关系。但有问题：它们的幅值是8与4，对应相位变成了-90°和135°；为何呢？这就是著名的DFT辅助效应，前者称为DFT的“计算增益”，增益值0.5N,（负频率部分还有0.5N），显然与数据点数有关，数据越长，效应越大。这也是IDFT公式中除以N的原因。后者叫DFT的“附加相位”，是个-90°固定值。如6KHz分量的相位本来是-135°，计算出来却是135°，这是因为-135°-90°=-225°，但在习惯的±180°相位主值表示方式中，-225°等价于135°。至于出现的k=10和k=14的高频分量，那是因为采样带来的镜像谐波频谱。幅度图中的细实线是从2KHz和6KHz复合正弦中截取一段2个周期长的信号的连续频谱，DFT只看到了2个主瓣的最高点，扩散的连续频谱的其他内容恰恰都躲过了DFT的观察点，即分析频率单元都落在频谱的过零点上。第12页，共66页，2023年，2月20日，星期一DFT性质：假设有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，取N=max［N1,N2］（补0），它们的N点DFT分别为：

X1(k)=DFT［x1(n)］

X2(k)=DFT［x2(n)］(1)

线性

y(n)=ax1(n)+bx2(n)

Y(k)=DFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX(k)+bX2(k)，a，b为任意常数第13页，共66页，2023年，2月20日，星期一(2)循环移位有限长序列x(n)的循环移位定义为：

y(n)=x((n+m))NRN(n)含义：1)x((n+m))N表示x(n)的周期延拓序列的移位：2)x((n+m))NRN(n)表示对移位的周期序列x((n+m))N

取主值序列，所以y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。y（n）实际上可看作序列x（n）排列在一个N等分圆周上，并向左旋转m位。第14页，共66页，2023年，2月20日，星期一循环移位第15页，共66页，2023年，2月20日，星期一线性移位和循环移位操作比较

第16页，共66页，2023年，2月20日，星期一利用周期序列的移位特性：序列循环移位后的DFT为：第17页，共66页，2023年，2月20日，星期一

同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性：第18页，共66页，2023年，2月20日，星期一（3）共轭对称性设x*（n）为x（n）的共轭复数序列，则

DFT[x*（n）]=X*(N-k)证：

第19页，共66页，2023年，2月20日，星期一说明：当k=0时，应为X*(N-0)=X*(0)，因为按定义X（k）只有N个值，即0≤k≤N-1，而X[N]已超出主值区间，但一般已习惯于把X（k）认为是分布在N等分的圆周上，它的末点就是它的起始点，即X[N]=X[0]，因此仍采用习惯表示式

DFT[x*（n）]=X*（N-k）以下在所有对称特性讨论中，X[N]均应理解为X[N]=X[0]，同样，x(N)=x(0)。第20页，共66页，2023年，2月20日，星期一

复序列的实部与虚部的DFT变换以Re｛x(n)｝和Im｛x(n)｝表示序列x（n）的实部与虚部

Xe（k）和X0（K）表示实部与虚部序列的DFT第21页，共66页，2023年，2月20日，星期一由Xe(k)可得：因此，Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。

显然，第22页，共66页，2023年，2月20日，星期一用同样的方法可得到

X0(k)=-X*0(N-k)即Xo(k)具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量。第23页，共66页，2023年，2月20日，星期一

对于纯实数序列x（n），即x（n）=Re{x(n)}，X（k）只有共轭偶对称部分，即：X（k）=Xe（k），表明实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的X（k），就可得到另一半的X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。第24页，共66页，2023年，2月20日，星期一根据DFT的对偶特性，分别以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的循环共轭偶部与循环共轭奇部：同样应从循环意义上理解x（N-0）=x（0）。可证明:DFT[xe（n）]=Re[X（k）]DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]第25页，共66页，2023年，2月20日，星期一(4)选频特性对复指数函数进行采样得复序列x（n）

0≤n≤N-1其中r为整数。当ω0=2π/N时，x（n）=ej2πnr/N，其离散傅里叶变换为可见，当输入频率为rω0时，变换X（K）的N个值中只有X（r）=N，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k上，X（k）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。当ω0<>2πk/N时?下面分析第26页，共66页，2023年，2月20日，星期一现在把【例3.2.1】中的2KHz频率分量改成2.3KHz，且为了看得更清楚，去掉6KHz分量。即x(t)=1.sin(2π.2300.t)信号，经过T=1/16ms采样，用N=16个数据计算出的频谱幅度结果，如图3.2.7。虚线是2.3KHz信号被截取后的连续频谱图。虚线是2.3KHz信号被截取后的连续频谱图

第27页，共66页，2023年，2月20日，星期一一个无限长时域信号被截断后，将造成单一频率信号的能量（频谱幅度平方），泄漏到附近所有频率区域上。这称为频谱泄漏。再看该X(k)所对应的采样数据x(n)，已经不是原序列了。第28页，共66页，2023年，2月20日，星期一如何才能避免泄漏呢？

增大N，来满足条件。比如：N=160个的，那么做DFT时，其频率分析点间隔是fs/N=16KHz/160=0.1KHz，第23点就恰好准确地观察到2.3KHz信号最高幅度。第29页，共66页，2023年，2月20日，星期一（5）DFT与Z变换的关系

有限长序列可以进行z变换

是z平面单位圆上N等分后的第k点。第30页，共66页，2023年，2月20日，星期一图DFT与z变换第31页，共66页，2023年，2月20日，星期一

1）X(k)也就是z变换在单位圆上等间隔的采样值。

2）X（k）也可看作是对序列付氏变换X（ejω）的采样，采样间隔为：ωN=2π/N。即结论：第32页，共66页，2023年，2月20日，星期一

采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；

DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），DFT在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。第33页，共66页，2023年，2月20日，星期一3.2.3频率域采样时域采样间隔T，fs=1/T，为防止频谱混叠发生，fs应满足时域采样定理。同样，频域里连续频谱被采样成等间隔离散频率点，即彼此呈谐波关系，而使得时域对应表现为周期化。设时域序列点数为M，频率采样间隔F=2π/M，那么对应时域周期化的周期大小为ts=1/F，为防止时域混叠发生，ts应足够大，大于信号长度。设时域序列点数为Ns=ts/T，则只要M大于等于Ns，那就不会发生时域序列的混叠。这就是频率域采样定理。第34页，共66页，2023年，2月20日，星期一【例3.2.2】频率域取样的例子

一个序列的连续频谱在一周期里等间隔取样了32个频率数据第35页，共66页，2023年，2月20日，星期一经过IDFT逆变换后得到对应的时域序列：x(n)=｛2，-1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1，1，2，1.2204e-016，0，1.304e-016，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0｝。如图3.2.13，注意x(0)=1，x(1)=-2，…，x(16)=1，x(17)=2，从x(18)起都为0，说明x(n)是有限长N=18点的时间序列。如果改为等间隔取样16个频率数据。对应的IDFT后得到的时间序列x1(n)为16点，x1(n)=｛3，1，-3，-5，-2，2.1204e-016，1，2，4，5，7，9，8，6，3，1｝

第36页，共66页，2023年，2月20日，星期一对比发现：x1(0)=3，x1(1)=1，与x(n)不相同，其他相同。因为序列x(n)实际长度18，只进行16点的频域采样，将会发生时域周期化后的混叠。即x1(0)=3=x(0)+x(-2)=x(0)+x(16)=2+1，x1(1)=1=x(1)+x(-1)=x(1)+x(17)=-1+2。其他14个数据不受影响。如果是频谱取18个样点，那么将会刚好获得x(n)，这是个频率取样密度的临界值。第37页，共66页，2023年，2月20日，星期一变量周期分辨率频率采样模拟域数字域第38页，共66页，2023年，2月20日，星期一利用循环卷积和共轭对称特性，可证明DFT形式下的Parseval定律：DFT形式下的Parseval定理

当y（n）=x（n）时，即为有限长序列的能量：

第39页，共66页，2023年，2月20日，星期一3.2.4循环卷积定理若F（k）=X（k）Y（k）第40页，共66页，2023年，2月20日，星期一证：这个卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得：则根据DFS的周期卷积公式：因0≤m≤N-1时，x((m))N=x(m)，因此第41页，共66页，2023年，2月20日，星期一这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0≤m≤N-1内进行，所以实际上就是y（m）的循环移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“”表示循环卷积，以区别于线性卷积。第42页，共66页，2023年，2月20日，星期一1）由有限长序列x(n)、y(n)构造周期序列循环卷积过程:2）计算周期卷积

3）卷积结果取主值第43页，共66页，2023年，2月20日，星期一同样，若f(n)=x(n)y(n)，则第44页，共66页，2023年，2月20日，星期一【例3.2.3】有两个长度都为6点的序列x(n)和y(n)，其频谱分别记X(k)和Y(k)。验证DFT循环卷积性质。x(n)=｛-2，5，-1，3，4，7｝和y(n)=｛1，2，7，3，4，6｝。解：（1）把y(n)周期化；（2）对y(0)=1处左右翻转；（3）计算周期卷积（4）取主值序列：f(n)={75，68，50，82，52，41}。第45页，共66页，2023年，2月20日，星期一Matlab程序如下：x=[-2，5，-1，3，4，7];y=[1，2，7，3，4，6];N=6；%序列循环卷积长度Nm=0:1:N-1;y=y(mod(-m,N)+1);%对每个序号m求模6的值。即左右翻转y序列。A=zeros(N,N);%构造一个6×6的全0方阵。forn=1:1:NA(n,:)=cirshftt(y,n-1,N);%对某个n，y序列循环移n-1位后，对应放在A的第n行。endf=x*A';%进行乘加运算，得到结果，f=[75，68，50，82，52，41]。figure(1);stem(f);%绘制序列杆图。第46页，共66页，2023年，2月20日，星期一%N点循环移位函数cirshfttfunctionw=cirshftt(s,m,N)%s是序列，N是其长度，m是移位点数。n=0:1:N-1;%得到序号｛0，1，2，3，4，5，...，N－1｝q=mod(n-m,N);%根据位移量m值w=s(q+1);%将循环移m位后的序列放函数出口w中。%方法2:

计算x(n)和y(n)的DFT频谱序列X(k)和Y(k)。X=fft(x);%Y=fft(y);%F=X.*Y;%频域相乘f1=ifft(F);%查看Workspace有f1=[75，68，50，82，52，41]，它确实和前面计算的一样！figure(2);stem(f1);第47页，共66页，2023年，2月20日，星期一第48页，共66页，2023年，2月20日，星期一有限长序列的线性卷积与循环卷积

实际问题是求解线性卷积，如信号x（n）通过系统h（n），其输出就是线性卷积

y（n）=x（n）*h（n）。循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，问题提出:

能不能利用计算循环卷积的方法计算线性卷积?

对于上述x（n）与h（n）的线性卷积，如果x（n）、h（n）为有限长序列，则实质上是研究在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。

第49页，共66页，2023年，2月20日，星期一有限长序列的线性卷积：假定x（n）为有限长序列，长度为N，

y（n）为有限长序列，长度为M，它们的线性卷积因x（m）的非零区间：0≤m≤N-1，

y(n-m)的非零区间：0≤n-m≤M-1，这两个不等式相加，得：0≤n≤N+M-2，在这区间以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0。因此，f（n）是一个长度为N+M-1的有限长序列。第50页，共66页，2023年，2月20日，星期一循环卷积：

重新构造两个有限长序列x（n）、y（n），长度均为L>max{N,M}(通过补充的零值)。为了分析x（n）与y（n）的循环卷积，先将x（n），y（n）的周期延拓，得：第51页，共66页，2023年，2月20日，星期一结论：x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷积，是x（n）、y（n）线性卷积的周期延拓，周期为L。它们的周期卷积序列为：第52页，共66页，2023年，2月20日，星期一

循环卷积正是周期卷积取主值序列：所以使循环卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是：

L≥N+M-1

第53页，共66页，2023年，2月20日，星期一【例3.2.4】上例数据，将y(n)看成是某离散系统的单位脉冲响应，x(n)是其输入，那么系统的零状态响应就是二者的线性卷积。调用函数conv（x,y），计算两个序列线性卷积，即可得到6+6-1=11个点的输出响应数据。f(n)=｛-2，1，-5，30，10，41，77，67，55，52，42｝在x(n)后面添加5个0，使得序列成为11个点，即x(n)=｛-2，5，-1，3，4，7，0，0，0，0，0｝；n=0~10。然后DFT求出X(k)，k=0~10。同样，y(n)后面添5个0，再经过DFT得到Y(k)；最后求IDFT｛X(k)Y(k)｝而得到输出响应f(n)=x(n)*y(n)。这结果与直接卷积conv（x,y）一样。从而实现了用DFT求取系统响应的目的。第54页，共66页，2023年，2月20日，星期一第55页，共66页，2023年，2月20日，星期一

课外练习:设有两个序列，x（n）为N=4矩形序列，y（n）为M=6矩形序列，计算其线性卷积和8点循环卷积，并比较结果是否相同？为什么？第56页，共66页，2023年，2月20日，星期一3.2利用DFT做连续信号的频谱分析

利用DFT计算连续信号的频谱采样截短DFT第57页，共66页，2023年，2月20日，星期一

（1）混迭对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样

采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs<2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。第58页，共66页，2023年，2月20日，星期一

（2）

泄漏——信号截短造成的频谱扩散现象处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，设长为N点，相当于乘以一个矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸