逐个击破十：几何综合证明二（解析版）

专题10逐个击破考向-第十周：几何综合证明二

旋转、相似综合、新定义

【考向分析】

年份几何综合证明题考向补充

2010V全等相似综合证明

2011V旋转问题，全等相似综合证明

2012V相似综合证明

2013V新定义几何证明

2014V全等综合证明，旋转问题

2015V全等相似综合证明，旋转问题

2016V全等相似综合证明，特殊图形特殊性质的运用

2017V全等相似综合证明

2018V全等综合证明，特殊图形特殊性质的运用

2019V全等相似综合证明

通过分析对比，可以看出：

安徽中考数学填空压轴题的主要考向分为四类：

一是全等综合证明，

二是相似综合证明，

三是旋转问题，

四是特殊图形特殊性质的运用。

其中全等相似综合证明题型基本上是每年必考考点，近几年中出现了旋转和特殊图形特殊

性质的运用，好在是这两类题型的解题思路非常明确，且比较好总结方法技巧；

几何综合证明作为中考压轴大题，每年都必然出现在试卷最后，是冲刺高分的最大拦路虎，对知识掌

握的综合运用能力要求较高，但理解出题方式和解题思路可以帮助大家快速打开解题思维，进而顺利解题。

【真题再现】

年份：2010年考向：全等相似综合证明

20.如图，AD//FE,点、B、C在4。上，Z1=Z2,BF=BC.

(1)求证：四边形BCEF是菱形;

（2）若AB=8C=C£>,求证：4ACF四/XBDE.

第20题图

证明：（1）：4O〃EF,:.NFEB=42.

VZ1=Z2,:.NFEB=N1,：.BF=EF.'：BF=BC,

；.BC=EF,四边形3CEF是平行四边形.

：8尸=8C,...四边形3CEF是菱形.（5分）

（2）'：EF=BC,AB=BC=CD,AD//FE.

...四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形,

：.AF=BE,FC=ED,

又,：AC=2BC=BD,：.AACF^AfiDE.（10分）

23.如图，已知△A8CSZ\A|8IG，相似比为如t>l),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>6>c),△AiBjCi

的三边长分别为0、6、c\.

(1)7TC="I，求证：a=kc；

(2)若c=ai，试给出符合条件的一对AABC和△45C”使得。、6、c和外、e、a都是正整数，并加

以说明;

(3)若b="i，c=by,是否存在△A8C和△AiBiG使得后=2?请说明理由.

第23题图

(1)证明：'△ABCsAAiBG，且相似比为的>1),

；•一~kici=kci\»又cikc.（3分）

ai

（2）解：取a=8,b=6,c=4,同时取G=4,6=3,a=2.

此时“=；=C=2,/.△ABC^AXiBiCi且c=a\........................(10分)

o\C\

注：本题也是开放型试题，只要给出的△ABC和△4BG符合要求就相应给分.

(3)解：不存在这样的△A8C和△48iG.理由如下：

/jk=2,贝ij。=2。1，b=2Z?i,c=2ci.

又♦b—a\yc—b\>

；.a=2ai=2b=4bi=4c,

.".b=2c,(12分)

；./>+c=2c+cV4c=a,与t>-bc>a矛盾，

故不存在这样的△48C和△48iCi，使得上=2...................(14分)

年份：2011年考向：旋转问题，全等相似综合证明

22.在△ABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为6(0。<8<180。),

得到△A'B'C.

(1)如图①，当AB〃CB，时，设A0与CB相交于点D证明：△ACO是等边三角形；

(2)如图②，连接上4、8区设△A0T和A的面积分别为&心，和SA88.求证相AACT：SABCB=1：3;

(3)如图③，设AC中点为E,中点为P,AC=a,连接EP,当9=。时，EP长度最大，最

大值为•

图①图②图③

第22题图

(1)证明：*.乂8〃(78',.../8。3'=NA8c=30°,

：.ZACA'=30°；又4c8=90°,

.♦.NA'CD=60°,又NCA'B'=NCA8=60°.

...△A'CO是等边三角形........(5分)

(2)证明：*.•4C=4C,BC=B'C,-

又/ACA'=NBCB',.♦.△A。'.

；if=tan30°邛

=2=

*,«5AACA,:S^BCB'AC~:BC1:3.（9分）

（3）解：120,y.............（12分）

23.如图，正方形ABC。的四个顶点分别在四条平行线八、6、*4上，这四条直线中相邻两条之间的

距离依次为加，h2,用的>0,h2>0,hi>0).

⑴求证:力1=力3；

(2)设正方形A3CD的面积为S,求证：S=(〃I+〃2)2+屁;

(3)若生+〃2=1，当用变化时，说明正方形A8C。的面积S随的变化情况.

第23题图

⑴证明：如解图①，设4。与/2交于点£，BC与人交于点凡

由己知8尸〃EO,BE//FD,

：.四边形BEDF是平行四边形,

：.BE=DF.

又A8=CD,ARtA/4B£^RtAC£）F,

•・/?]=/?3.（4分）

心

h2

h.:

第23题解图①

(2)证明：如解图②，作DHL14,垂足分别为G、H.

在RtABGC和RtACHD中,

,//BCG+ZDCH=1800-ZBCD=90°fZCDH+ZDCH=90%

：.ZBCG=ZCDH,

第23题解图②

又NBGC=NCHD=90°,BC=CD,

.,.RtABGC^RtACWD,:.CG=DH=ha.

又5G=42+/?3，

BC?=BG2+CG2=（/l2+力3）2+后=（M+的）2+后,

22

：.S=BC=（hl-\-h2）+^..........................（7分）

3

3懈-

2

：/12=\一刖,

32c

.#.S=（/ii+l—z/Ji）+=7hy—hi+i

524

T

-2十

^_一

r//I155

3

〃2＞0,1—刊＞0,

.,.0＜/ii＜|...........................................................................（12分）

...当0＜加＜］时，5随加的增大而减小；当］＜用＜毋时，S随加的增大而增大.

....................................................................（14分）

年份：2012年考向：相似综合证明

22.如图①，在AABC中，D、E、尸分别为三边的中点，G点在边A2上，△BQG与四边形ACDG的

周长相等.设BC=a,AC=b,AB—c.

第22题图

(1)求线段BG的长；

(2)求证：DG平分NEDF；

(3)连接CG,如图②，若A8DG与△OFG相似，求证：BGLCG.

(1)解：•.•△8DG与四边形ACDG的周长相等，且8D=OC.

：.BG=AG+AC=AB-BG+AC,

BG—^(AB+AQ—^(b+c)；.............(3分)

(2)证明：♦.•点。、F分别是BC、A8的中点，

DF=^AC—^b.

又■FG=BG—BF=^b+c)—1c=gb,

：.DF=FG,：.NFDG=ZFGD.

•.•点£>、E分别是BC、AC的中点，：.DE//AB,

:.NEDG=NFGD,:./FDG=NEDG,即OG平分NEOB.....................(8分)

(3)证明：与/XOFG相似，

NDFG>NB,NBGO=NOGF(公共角)，

:.NB=NFDG.

由(2)知/尸GD=NF£)G,:.NFGD=NB,：.DG=BD...........................(10分)

'：BD=DC,：.DG=BD=DC,：.B,G、C三点在以8c为直径的圆周上，

ZBGC=90°,即BGLCG.........................................(12分)

年份：2013年考向：新定义几何证明

23.我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形如图①，四边

形ABC。即为“准等腰梯形”，其中/B=NC.

(1)在图①所示的“准等腰梯形"BCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个

等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；

(2)如图②，在“准等腰梯形"A8C7)中，NB=NC,E为边BC上一点，AB//DE,AE〃OC.求证：灰

BE

~EC'

(3)在由不平行于BC的直线AD截4PBC所得的四边形ABCD中,ABAD与ZADC的平分线交于点E,

若EB=EC,请问当点E在四边形ABC。内部时(即图③所示情形)，四边形4BCD是不是“准等腰梯形”，为

什么？若点E不在四边形A8CD内部时，情况又将如何？写出你的结论.(不必说明理由)

图①图②图③

第23题图

(1)解：过点A作AE〃C。交BC于点E,或过点。作。尸〃8c交A3于点尸，或过点。作。G〃A8交

8c于点G,如解图①所示：

（4分）

⑵解:'JAB//DE,AE//DC,

：.ZAEB=ZC,ZDEC=ZB,

ARBE

:.△ABES^DEC,-T-5£=£C-

'：ZB=ZC,：.ZDEC=ZC,

..DE—DC,EC；（8分）

(3)解：四边形ABC。是“准等腰梯形”.

理由：过点E分别作EF_LAB于F,EG±CD-f-G,于H,

如解图②，•.・AE平分NBA。，.

同理E”=EG,：.EF=EG,

EB=EC,ZBFE=ZCGE=90°,

AEBF注△ECG,NEBF=ZECG,

'：EB=EC,，NEBC=ZECB,

：.ZEBF+NEBC=ZECG+ZECB,

NABC=NDCB,

第23题解图

当点E不在四边形A8C力内部时，分两种情况，如解图③，

（“）点E在四边形ABCQ的边8c上时，四边形A8CQ是“准等腰梯形”；

S）点E在四边形ABCQ的外部时，四边形ABCZ）不一定是“准等腰梯形”.

..............................................................（14分）

【解法提示】（。）证明：过点E作EQ-LAB于£“14。于”|,EGJC。于点G”

"：AE为乙BAD的平分线，.,.Ea="iE（角平分线上的点到角两边的距离相等），同理可证EG\=EH\,

...EF|=EGi（等量代换）.义•：BE=EC,N8QE=NCG|E=90°,；.ABEFgACEGi,：.ZB=ZC,.•.四

边形A8C£＞为“准等腰梯形”；S）当NBEO的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形A8CQ是

“准等腰梯形”，当N8&9的角平分线与线段8c的垂直平分线相交时四边形ABCQ不是“准等腰梯形”.

年份：2014年考向：全等综合证明，旋转问题

23.如图①,正六边形ABCZJEF的边长为a,P是BC边上一动点，过P作交AF于M,作PN〃CD

交DE于N.

o

②求证：PM+PN=3a；

（2）如图②，点O是AO的中点，连接OM,ON.求证：OM=ON；

（3）如图③，点。是4。的中点，OG平分/MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由.

第23题图①第23题图②第23题图③

⑴解：①60；（2分）

【解法提示】NA为正六边形的内角，则/4=120°,MP//AB,则=120°,AF//PN,则

ZMPN=180°-ZFMP=180°-120°=60°.

②证明：如解图①，连接8E交MP于H点.

在正六边形48CDEF中，PN//CD,XBE//CD//AF,

所以BE//PN//AF....................（3分）

又PM//AB,

所以四边形AMHB、四边形"ENP为平行四边形，△8PH为等边三角形.

所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.

第23题解图①

(2)证明：如解图②，由(1)得

所以4W=EM

是AD的中点,

△QOE均为等边三角形..................................(7分)

：.OA=OE,NOAM=/OEN=60°.

/pA=OE

在△QAM和△OEN中，//OAM=NOEN,

〔AM=EN

：.△O4W丝ZkOEMSAS）,

：.OM=ON...........................（9分）

第23题解图②

(3)解：四边形OMGN是菱形，理由如下:

如解图③，连接OE、OF,由(2)可知NMOA=/NOE,

又；/AOE=l20°,

NMON=ZAOE-ZMOA+NNOE=120°,（11分）

0G平分/MON,二ZMOG=60°,

又；NFOA=60°,，NMOA=NGOF,

又：AO=FO,ZMAO^ZGFO=60°,

：.△AOA/^AFC>G(ASA),：.MO=GO,

又•.•NMOG=60。，...△MGO是等边三角形,

同理可证△NG。为等边三角形，

：.OM=MG=GN=NO,

•••四边形OMGN为菱形.................................(14分)

HPC.

第23题解图③

年份：2015年考向：全等相似综合证明，旋转问题

23.如图①，在四边形ABCO中，点E、F分别是A8、CQ的中点，过点E作AB的垂线，过点F作

CD的垂线，两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若/AG£>=/BGC.

⑴求证：AD=BC；

(2)求证：AAGDS^EGF；

An

(3)如图②，若A。、8c所在直线互相垂直，求等的值.

⑴证明：,•,点E、F分别是AB、CD的中点,JiGELAB,GF±CD,.......(2分)

：.GE,GF分别是线段A3、CD的垂直平分线,

，GA=GB,GC=GD，

GA=GB

在△AGO和△BGC中，，/4GZ）=NBGC,

、GD=GC

：.△AGO丝△8GC（SAS）,

：.AD=BC............（5分）

（2）证明：VZAGD=ZBGC,：.ZAGB=ZDGC.

在△AGB和△DGC中，架=沿，NAGB=NDGC,

UD（JC

AAABG^ADCG）..（8分）

.AGEG,//-nt-

••DG—FG，NGA上—N3DF,

又ZGEA=ZGFD=90°,

NAG"ZGEA-ZGAE,4DGF=ZGFD-ZGDF,

即/AGE=NDGF,

：.NAGD=NEGF,

:.AAGDSAEGF.................（10分）

（3）解：如解图①，延长4。交G8于点M,交8c的延长线于点”，贝

由△4G。畛△8GC,知NGAD=NG8C.

在△GAM和中，ZGAD^ZGBC,/GMA=NHMB,

:./XGMAs^HMB,

：.ZAGB=ZAHB=90°,...............（12分）

AZAG£=|ZAGB=45°,.♦杳=应

ADAGr-

又,：丛AGDs4EGF,:鼻二年二也......................（14分）

tir口口v

图①图②图③

第23题解图

【一题多解】解法一：如解图②，过点、F作FM〃BC燹BD于点、M,连接EM.

；G尸是0c的垂直平分线，

：.DF=CF,

VFM//BC,FM=^BC.

：.DM=BM.

〈GE是AB的垂直平分线，

:.AE=BE9

：.EM//ADfEM=^AD.

VADXBC,

；.EM上FM.

•：AD=BC,

:・EN=FM,

：.EF=yf2EMt

.AD_2EM_r-

••EF"EF—

解法二：如解图③，过点。作。H_LAD,交8"的延长线于点

u

：AD±BCfDH±ADf

：.DH//BCf

:.NDHF=/CBF,NHDF=NBCF,

又DF=CF,

:.△DHF9ACBF,

:・DH=BC,HF=BF,：.DH=AD.

在RfAADH中,N4O〃=90。，AD=DH,

：.AH=y/2AD.

•；AE=BE,HF=BF,

：.EF//AH,EF=^AHf

：.EF=^ADf

年份：2017年考向：全等相似综合证明

23.已知正方形48C。，点M为边AB的中点.

(1)如图1,点G为线段CM上的一点，且N4GB=90。，延长AG,BG分别与边BC,CO交于点E,F.

①求证：BE—CF-,

②求证：BE'BCCE.

(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于

点F,求tanNCBF的值.

图1图2

第23题图

(1)①证明：•••四边形4BCO为正方形,

：.AB=BC,ZABC=ZBCF=90°,

又NAGB=90。，

；./BAE+NABG=90。,

又,/ZABG+ZCBF=90°,

/.ZBAE=NCBF.

△ABE丝△8CF（ASA）,

:.BE=CF；...................（4分）

②证明：（方法一）；NAG8=90。，点历为A8的中点,

：.MG=MA=MB,：.ZGAM=ZAGM.

又：NCGE=/AGM,

:.NCGE=NCBG,

又VZECG=NGCB,：./XCGE^/XCBG.

,'，CG=cf,即CG』BCCE,

,：ZCFG=NGBM=NBGM=ZCGF,得CF=CG.

由①知，BE=CF,

：.BE=CG,

：.BE-=BCCE....................................................（9分）

（方法二）；N4GB=90。，例是4B的中点，

ZMG=BM,：.NMGB=NMBG=NCFG=NCGF,

：.CF=CG,

又由①知，CF=BE,：.CG=BE,

VZCGF+ZCGE=90°,

NMBG+ZGBE=90°,

：.ZCGE=ZEBG,

：./\CEGmACGB,

；.CG2=BCCE,

即B0=BCCE..............................（9分）

（2）解：（方法一）延长4E,DC交于点M如解图①），

,正方形ABCD是正方形，/.AB//CD.

:.乙N=NEAB,

又,：NCEN=NBEA,

：./\CEN^/\BEA.

CECN

••・DC左,=777，即8ECN=ABCE,

'：AB=BC,BE2=BCCE,

：.CN=BE,

.m.CNCGCF

'AB//DN,'

又；AM=MB,

：.FC=CN=BE,

不妨假设正方形边长为1.

设8E=x,则由B£；2=BCCE,得

解得x尸咛」，*=二岁（舍去），

.BE_y[5~]

•,瓦=2'

FCBEA/5-I、

；・tanNCBF=~^一—•.................（14分）

(方法二)不妨假设正方形边长为1,设BE=x,则由BE2=BCCE,得f=l-(l-x).

小一］一下一I

解得箱=,（舍去）,

及=2

小一1

即BE=2

作GN//BC交AB于点M如解图②）,

则△MNGsaMBC,

.MN_MB_1

••而—BCF

设MN=y,则GN=2y,GM=&,

2y

..GNANM

,BE-AB'即<5-1-1

2

11

解得产亚向=》

：.GM=MA^MB,此时点G在AB为径的圆上.

...△AG8是直角三角形，且乙4GB=90。.

由（1）知BE=CF

FCBE小一1

：.tanZCBF=（14分）

BC~BC~2

（方法三）过点M作BC的平行线交AE于点M如解图③），

设BM—x,则AM=x,AB—BC—lx,

由BE2=BCCE得,

AE1=2x-（2x-BE）,解得BE=（小一1）x,

CE=2x-（2x-BE）,解得BE=（小一1）x,

:.CE=2x—BE=（3一4）x,MN=3BE=*]'X,

MN//BC,：.△MNGs△CEG,

MNMGi------z------------zl

—GC，,；CM—yjBC2+BM2

.MG^5-1MGMGV5-13/5-I^5—1y[5

CG6—2小，CMCG+MG6—2小+小—16—2小+小—15—小5'

•y[5x=x,CG=y[5x-x=（y[5—l）x,

：.MG=5

.*.Z1=Z2,Z3=Z4,CF=CG,

CFV5-1

：.tanZCBF=（14分）

BC~2

图③

第23题解图

年份：2019年考向：全等相似综合证明

20、如图，点E在QXBCD内部，AF〃BE,DF〃CE。

(1)求证：4BCE且Z\ADF；

(2)设。ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求2的值。

T

【解答】解：(1)・・,四边形ABCO是平行四边形,

：.AD=BC,AD//BC,

：.ZABC+ZBAD=\80°,

9：AF//BE,

.,.ZEBA+ZBAF=180°,

:・NCBE=NDAF,

同理得

在△8CE和△ADF中，

(NCBE=ZDAF

*:\BC=AD，

UBCE=Z.ADF

：./\BCE^/\ADF(ASA)；

(2)・・•点E在口A8C£＞内部,

:.S'BEC^SnAED="ABCD,

由（1）知：XBCEOKDF、

S&BCE=SeADF，

；・S四边形AEOf'uSaADF+SAAEDMSzsBEC+SzxAEDM务ABCD,

..七48C。的面积为S,四边形AE。尸的面积为T,

23、如图，在Rt^ABC,NACB=90°,AC=BC,P为^ABC内部一点，且NAPB=/BPC=135°。

⑴求证：△PABS/\PBC；

⑵求证：PA=2PC；

2

⑶若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为hi，h2,h3,求证：hi=h2-h3.

证明：（1）在aABP中，NAPB=1350,/.ZABP+ZBAP=45°,

又•.'△ABC为等腰直角三角形，AZABC=45°,即NABP+NCPB=45。，

/.ZBAP=ZCBP,XZAPB=ZBPC=135°,/.APAB^APBC...4分

(2)方法一：由(1)知△PABs/SPBC所以2=必=空=后,

PBPCBC

于是嗜PAPB

~PB9~PC即PA=2PCo9分

方法二：VZAPB=ZBPC=135°,AZAPC=90°,VZCAP>45°,故AP>CP。

如图1,在线段AP上取点D,使AD=CP,又NCAD=NBCP,VAC=CB,

.••△ADC<△CPB,AZADC=ZCPB=135°,.•.NCDP=45。，.'.△PDC为等腰直角三角形,

CP=PD又AD=CP,PA=2PC.9分

(3)如图2,过点P作边AB,BC,CA的垂线，垂足分别为Q,R,S,

PR「p।

则PQ=hi，PR=h,PS=h3,在RtACPR中,--=tanZPCR=tanZCAP=---=—,

2CRAP2

，a=L，即h3=2h2,又由△PABSAPBC,且竺=夜，故々=JI,即hi=0h2,于是，h/42也。

力32BCh2

(以上各题其它解法正确可参照赋分)

第23题答案图1

【技巧总结】

旋转题型：先通过观察图形确定存在旋转

一组相似的等腰三角形绕其公共顶点旋转，对应边连接端点构成的三角形全等

一组相似的非等腰三角形绕其公共点旋转，对应边连接端点构成的三角形相似

1、相似三角形的四类结构图：

(1)平行线型.

DC

C「D

——

(DE//BC)(.CD//AB}

(CD//AB)

(2)相交线型.

W

C

(3)子母型.

BCB

(4)旋转型.

AAA

B'

1、相似问题中等式证明的方法总结

过渡法（或叫代换法）

1、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，

不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件

找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后

再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代

换的线段再代换回来。

2、等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线

段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，

并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

3、等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三

点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法

确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

【典型例题】

［例I］已知四边形A8CD是菱形，AB=4,NA8c=60。，NEAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且

/EAF=60°.

（1）如图L当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系；

（2）如图2,当点E是线段CB上任意一点时（点E不与8、C重合），求证：BE=CF；

（3）如图3,当点E在线段CB的延长线上，且NEA8=15。时，求点F到BC的距离.

DDD

图

图1图23

【答案】⑴AE=EF=AF；（2）证明见解析；（3）3-6.

【解析】

(1)解：结论AE=EF=AF.

理由：如图1中，连接AC,:四边形ABC。是菱形，N8=60。，.,.AB=8C=CD=AD,N8=ND=60°,...△ABC,

△ADC是等边三角形，,ZBAC=ZDAC=60°

,:BE=EC,：.ZBAE=ZCAE=30°,AE±BC,'：ZEAF=60°,：.ZCAF=ZDAF=30°,

J.AF1.CD,：.AE=AF（菱形的高相等），AAEF是等边三角形，；.AE=EF=AF.

（2）证明：如图2中，：N8AC=NEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAE,在△8AE■和△CAF中,

"：ZBAE=ZCAF,BA=AC,NB=NACF,

.,.△BA厘△CAF,：.BE=CF.

（3）解：过点A作AG_L8c于点G,过点F作FH_L£C于点H,

：/EA8=15",NABC=60°,；.NAEB=45°,

在RTZXAG8中，VZABC=60°AB=4,：.BG=2,AG=2也

在R74AEG中，VZAEG=ZEAG^45°,；.AG=GE=2百，；.EB=EG-BG=2#>-2,

V/\AEB^AAFC,：.AE=AF,EB=CF=2y/3-2,ZAEB=ZAFC=4S°,VZEAF=60",AE=AF,:.丛AEF是等边

三角形，.*.NAEF=/AFE=60。

VZ4fB=45°,ZAEF=60",；.NCEF=NAEF-NAEB=15°,

在R〃\£FH中，NCEF=1S°,；.NEFH=75°,：NAFE=60°,

:.NAFH=NEFH-NAFE=15°,VZAFC=45°,ZCFH=ZAFC-ZAFH=30°,

在/?「△C”F中，：ZCFH=30°,CF=273-2,

.•.点F至"8C的距离为3-G.

考点：1.四边形综合题；2.探究型；3.变式探究.

【例2][2019年江苏省盐城市东台市第四联盟中考数学模拟试卷](1)操作发现：如图①，小明画了一个

等腰三角形ABC,其中AB^AC,在aABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,

分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是;

位置关系是.

(2)类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形48c换为一般的锐角三角形，其中AB>AC,

其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.

(3)深入研究：

如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,

ACE,其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明.

【解析】(1)利用SA5判断出AACD也ZsAEB,得出CD=BE,ZADC^ZABE,进而判断出/BDC+ND8H

=90°,即：/8HD=90°,最后用三角形中位线定理即可得出结论；

(2)同(1)的方法即可得出结论；

(3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.

解：(1)连接BE,8相交于H,

♦.'△ABD和都是等腰直角三角形，：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=90°

：.ZCAD^ZBAE,：./\ACD^/\AEB(SAS),：.CD=BE,ZADC^ZABE,

：.ZBDC+ZDBH^ZBDC+ZABD+ZABE^ZBDC+ZABD+ZADC^ZADB+ZABD=90a,

：.ZBHD=90°,：.CD1BE,

•.•点M,G分别是BD,8c的中点，MG或mD,同理：NGJL^BE,

：.MG=NG,MGA.NG,故答案为：MG=NG,MG_LNG；

（2）连接CD,8E相交于点H,

同（1）的方法得，MG=NG,MG1A/G；

（3）连接EB,DC,延长线相交于H,

同（1）的方法得，MG=NG,

同（1）的方法得，"BE四"DC,AZAEB=ZACD,

：.ZCEH+ZECH=ZAEH-Z>AEC+1800-ZACD-ZACE=ZACD-45°+180°-ZACD-45°=90°,

：.ZDHE=90°,

同（1）的方法得，MG_LNG,.•.△MGN是等腰直角三角形.

[例3][2019年江苏省徐州市铜山区中考数学二模试卷]我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角

形”.例如图1,图2,图3中，AF,BE是△A8C的中线，AFA.BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均

为“中垂三角形”.设8c=a,AC=b,A8=c.

特例探索

（1）①如图1,当NABE=45。，c=2圾时，a=,b=；

②如图2,当NA8E=30°,c=4时，求a和b的值.

归纳证明

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的

关系式.

（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：

在边长为3的菱形ABCD中，。为对角线AC,BD的交点，E,F分别为线段A。，D。的中点，连接8E,

CF并延长交于点M,BM,CM分别交A。于点G,H,如图4所示，求/WG2+M"2的值.

【解析】(1)在图1中，P8=A8sin45°=2=PA,即可求解；同理可得：b=2®.

(2)PB=ABcosa=ccosa,PA=csina,PF=—P4=—csina,PE=Lsina,则。2+板=(2AE)2+(2BF)

222

即可求解;

o111

(3)证明:MG=—ME=—MB,MH=—MC,则“62+乂"2=土(M82+MC2),即可求解.

3339

解：如图1、2、3、4,连接EF,则EF是△A8C的中位线,

嘴普噂春包

(1)在图1中，P8=48sin450=2=PA,

由①得：PF=1,b=2BF=2yJp^~^pp^=2y/^=a；

②同理可得：b=2祈；

(2)关系为：a2+b2=5c2,

证明：如图3,设：Z£/4B=a,

则：PB=ABcosa=ccosarPA=csinaf

由①得：PF=-^PA=Resina,PE=-^€sina,

则。2+打2=(2AE)2+(28F)2=C2X5[(sina)2+(cosa)2]=5c2；

(3)'：AE=OE=—EC,AG//BC,

3

M

：.AG=—BC^—AD,则EF=—BC=—AD,

3322

同理HG=L。，:.GH=—AD,，G”=

33

VGH//BC,EF//BC,

91

/.HG//EF,：.MG^—ME=—MB,

33

同理：MH=—MC,

3

则/WG2+MH2=JL(MB2+MC2)=—X5XBC2=5.

99

【例4][2020年安徽省志诚教育中考数学二模试卷]如图a,在正方形四或中，£、尸分别为边被用的

中点，连接4尺应交于点£

(1)求证：AFVDE-,

(2)如图6,连接能，BD,劭交心于点〃

①求证：Gm=GA・GD；

②若46=10,求三角形颂的面积.

【解析】证明：(1);正方形A8CZ),E、尸分别为边A8、8c的中点,

：.AD=BC=DC=AB,AE=BE=^AB,BF=CF=^BC,

：.AE=BF,

•在△ADE和中,

'AB=AD

<ZDAE=ZABF=90°

AE=BF

:•△ADEQXBNF(SAS)

・・・NBAF=NADE,

・.,ZBAF+ZDAF=90°

••,NADE+ND4/=90°=NAGD,

：.AF±DE;

(2)①如图4过点、B作BN工AF于N,

'/NBAF=NAOE,ZAGD=NANB=9C,AB=AD,

：.AABN^AADG(AAS)

:.AG=BN,DG=GN,

a：ZAGE=ZANB=90°,

：.EG//BN,

.AE=AG

,且AE=B旦

**BE=GN

:,AG=GN,

:,AN=2AG=DG,

■:BG2=BM+GM=AG?+AG2,

ABG2=2AG2=2AG-AG=GA-DG;

②・.・48=IO,

；・AE=BF=5,

DE=22

・•・VAD+AE=7100+25=5娓,

V—XADXAE=—XDEXAG,

22

***^G=2^5，

GN=BN=2娓,

:,AN=DG=4娓,

,."GE//BN,

:.△DGHs^BNH,

.DG_GH_W5_：

「丽而―2低一，

：.GH=2HN,且GH+HN=GN=2娓,

3_

；•SAGHB=£XGHXBN=£XX2旄=学.

2233

【对应练习】

1.如图1,4ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，AB=AC,四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、

AF上，此时BD=CF,BD_