空间问题解答

空间问题解答第1页，共27页，2023年，2月20日，星期一§6.1按位移求解空间问题

按位移求解空间问题，是取位移分量为基本未函数。

将几何方程代入物理方程得：(6-1)第2页，共27页，2023年，2月20日，星期一将式(6-1)代入空间问题平衡微分方程得§6.1按应力求解空间问题XYZ(6-2)对于轴对称问题，同样可以得到：(6-3)第3页，共27页，2023年，2月20日，星期一§6.2半空间体受重力及均布压力由于对称，任一铅直面均为对称面，则：由此知基本微分方程6-2前两式自动满足，第三式成为：问题描述：设一半空间体，容重为p=ρg，在水平边界上受均布压力q，如右图所示，体力分量为X=0，Y=0，Z=ρg。(a)第4页，共27页，2023年，2月20日，星期一整理上式并积分得：(b)将上式代入6-1得：(c)由边界条件可得ρgA=q,则：又有位移边界条件：由此解出B代入得：§6.2半空间体受重力和均布压力第5页，共27页，2023年，2月20日，星期一§6.3半空间体受法向集中力问题描述：

设有半空间体，体力不计，在水平面上受法向集中力P。由于是轴对称问题，则平衡方程简化成如下形式：应力边界条件为：由应力边界条件转化来的平衡方程为：第6页，共27页，2023年，2月20日，星期一解上面平衡方程和边界条件得：由此得水平边界上任一点的沉降为：特征：(1)R无穷大时，各应力分量均趋近为0，R趋近为0时，各应力分量为无穷大(2)水平截面上的应力与弹性常数无关。(3)水平截面的全应力均指向作用点。§6.3半空间体受集中力作用第7页，共27页，2023年，2月20日，星期一6.4按应力求解空间问题按照应力求解问题，是取应力分量为基本未知函数。对几何方程求2次导可得：以上为一组相容方程，同样的方法可以得到另外一组相容方程：第8页，共27页，2023年，2月20日，星期一将物理方程代入上述相容方程得：§6.4按应力求解空间问题第9页，共27页，2023年，2月20日，星期一将平衡方程简化上式得：§6.4按应力求解空间问题第10页，共27页，2023年，2月20日，星期一同时得到：§6.4按应力求解空间问题满足上述两个相容方程，并满足平衡方程即可求解空间问题的应力解。第11页，共27页，2023年，2月20日，星期一§6.5等截面直杆的扭转柱体扭转横截面翘曲自由扭转——翘曲不受限制约束扭转——翘曲受到限制弹性力学讨论自由扭转第12页，共27页，2023年，2月20日，星期一柱体自由扭转计算模型自由扭转假设1.刚截面假设2.翘曲假设位移解法基本方程§6.5等截面直杆扭转单位长度相对扭转角

调和方程第13页，共27页，2023年，2月20日，星期一柱体扭转边界条件侧面边界条件翘曲函数表达端面边界条件困难端面边界条件T=GDj§6.5等截面直杆扭转第14页，共27页，2023年，2月20日，星期一柱体扭转应力解法扭转应力函数y(x,y)——普朗特（Prandtl）扭转应力函数

§6.5等截面直杆扭转yc=const

边界条件侧面端面单连域取为0第15页，共27页，2023年，2月20日，星期一§6.6薄膜比拟德国力学家普朗特（Prandtl）

基本思想：作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布

薄膜比拟第16页，共27页，2023年，2月20日，星期一薄膜边界垂度

Z=0

薄膜垂度微分方程薄膜所围的体积调整薄膜的高度，使2V=T，则 Z=y

薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式yc=0

§6.6薄膜比拟第17页，共27页，2023年，2月20日，星期一

薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布薄膜的等高线

§6.6薄膜比拟切应力方向沿薄膜等高线切线切应力与等高线法线方向导数成正比切应力与等高线相切切应力线

ts第18页，共27页，2023年，2月20日，星期一§6.7椭圆截面杆件扭转椭圆截面杆件扭转应力函数第19页，共27页，2023年，2月20日，星期一最大切应力横截面翘曲§6.7椭圆截面杆件扭转应力第20页，共27页，2023年，2月20日，星期一§6.8矩形截面杆件扭转矩形截面杆件扭转应力函数构造困难应力解法基本方程为泊松方程任何泊松方程，只要找到它的一个特解，都可以化成拉普拉斯方程。第21页，共27页，2023年，2月20日，星期一协调方程

特解

协调方程侧面边界条件§6.8矩形截面杆件第22页，共27页，2023年，2月20日，星期一协调方程侧面边界条件设§6.8矩形截面杆件第23页，共27页，2023年，2月20日，星期一根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以协调方程的特解线性迭加就是方程通解

根据边界条件所以§6.8矩形截面杆件第24页，共27页，2023年，2月20日，星期一根据边界条件则两边同时乘以并在（-b，b）区间积分，可得应力函数§6.8矩形截面杆件第25页，共27页，