2021年秋季高三数学（文）开学摸底考试卷03（解析版）

高考复习资料1/12021年秋季高三数学（文)开学摸底考试卷03班级___________姓名___________分数____________（考试时间：120分钟试卷满分:150分)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，,则A．,3， B．,2，3， C． D．【答案】B【解析】集合，2,3，4,5，6，7，8，，，，2，3,．故选B．2．设复数满足,则A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因为，所以，故．故选B．3．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间,150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为A．650 B．660 C．680 D．700【答案】A【解析】由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在，分的频率为,所以学生初赛成绩大于90分的频率为，则该校获得复赛资格的人数为．故选A．4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是,,A．2040年 B．2045年 C．2030年 D．2050年【答案】A【解析】令,则，两边取对数得，即,过去20年或21年，表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是2040年或2041年．故选A．5．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的焦距为A．4 B．6 C． D．8【答案】B【解析】直线与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线与渐近线平行，由可知,过点，两条平行线间的距离为，，解得,,双曲线的焦距为6．故选B．6．三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示,则三棱锥的左视图为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，则观察可知其左视图为．故选A．7．设,，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】，解得,，，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，，等号不能同时成立，解得,则实数的取值范围，．故选A．8．一艘海警船从港口出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行,30分钟后到达处，这时候接到从处发出的一求救信号，已知在的北偏东，港口的东偏南处,那么，两点的距离是海里A． B． C．20 D．【答案】B【解析】如图所示，由题意知,，，，所以；在中，由正弦定理可得；所以、两点的距离是海里．故选B．9．A．2 B． C．1 D．【答案】C【解析】．故选C．10．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为，四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为．故选B．11．已知三棱锥满足：，是边长为2的等边三角形．其外接球的球心满足：，则该三棱锥的体积为A． B． C． D．1【答案】C【解析】因为，是边长为2的等边三角形，所以过点作面于点,是的外心,因为，所以是的外心，则与重合，在中，,，，所以,所以，则该三棱锥的体积为．故选C．12．已知为奇函数，且，当,1］时，，则A． B．2 C． D．9【答案】A【解析】因为为奇函数，所以的图像关于对称，即，因为,所以函数的图像关于对称,，，即，故函数的周期，因为当，时，,则（1)．故选A．二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分．13．设函数．若的图象关于原点对称,则曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】由题函数．的图象关于原点对称，知为奇函数,可得，．，（1）．所以切线方程为．故答案为：．14．已知向量,，．若，则．【答案】【解析】因为向量,，,由,则，解得．故答案为:．15．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】设，则，，，．，在中,由余弦定理得,，,化简可得，而，故，，，，，△是等腰直角三角形，，椭圆的离心率，故答案为:．16．设函数，若，,则的最小值为．【答案】【解析】函数，其中,，因为，，所以为函数的最值，则有，故，所以，故，所以,，故，当且仅当，即时取等号,所以的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列满足，．（1)求证数列为等差数列；（2）设,求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；(2）。【解析】（1）数列满足，．整理得，故（常数)，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．（2）由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．所以,故所以，则:．18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查,结果显示,多达的华人受访者担心接种疫苗后会有副作用．为了了解接种某种疫苗后是否会引起疲乏症状，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如表：无疲乏症状有疲乏症状总计未接种疫苗10025接种疫苗75总计150200（1)求列联表中的数据，，，的值，并确定能否有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关;（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状,采用分层抽样的方法抽出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．附：，．0。1500.1000。0500。0250.0102.0722.7063。8415。0246.635【答案】(1）有；(2）。【解析】（1）由题意得，，，，，所以,故有的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关．（2）从接种疫苗的75人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出6人,其中有疲乏症状的有人，记为,；无疲乏症状的有人，记为，,,，则从这6人中随机抽取2人的情况有，，，，,，，，,，，，，，,共15种，这2人中恰有1人有疲乏症状的情况有,，，，，，，，共8种．故所求概率．19．如图,在三棱柱中，，,．（1)证明:平面平面；（2）求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）。【解析】（1）证明：取的中点，连接，，，，,，,，，，即,又，、平面,平面，平面,平面平面，平面平面，平面平面．（2）解:由（1）知,平面，三棱柱的高为，而，，,四棱锥的体积．20．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．（Ⅰ)求椭圆的方程．（Ⅱ）若直线交轴于点，且,，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．【答案】（1)；（2).【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则有,解得，所以椭圆的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,由条件得直线的斜率必存在，设方程为，又,设,，，，则由,解得，所以，因为，则有，，,所以,同理可得，所以，即是定值．21．已知是自然对数的底数，函数，其中．（1）当时，若，求的单调区间；（2)若在上恰有三个零点,求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2).【解析】（1）当时,令，则,当时，，在上单调递减；当时，在上单调递增．（1）．在上单调递增．（2），的零点，令，可得，设，，令,得，且，当时，，单调递增且,；当时，，单调递减且；当时,，单调递增且，作图的大致图象，如图所示，由图象可知,当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，的取值范围是．(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点,动点满足．（1）求动点的轨迹的参数方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求．【答案】（1）为参数）;（2)2。【解析】（1）设，，，由，得①，又的上，为参数），②将②代入①得为参数），即为的参数方程．（2）解法一：的参数方程化为普通方程为，对应的极坐标方程为，的参数方程化为普通方程为,对应的极坐标方程为，当时，，．解法二：的参数方程化为普通方程为,的参数方程化为普通方程为，又射线化为普通方程为，联立与射线方程解得点直角坐标为，联立与射线方程解得点直角坐标为．．23．已知关于的不等