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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的最大值为,若存在实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.2.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为()A. B. C. D.43.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.4.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()A. B.4 C.2 D.5.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.6.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于().A. B. C. D.7.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()A. B. C. D.8.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:①在上单调递增;②③在上没有零点;④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④9.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,以(为坐标原点)为直径的圆交双曲线于两点,若直线与圆相切,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.函数的图象大致是()A. B.C. D.11.已知的展开式中的常数项为8,则实数()A.2 B.-2 C.-3 D.312.已知函数,则()A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和且,设,则的值等于_______________.14.已知等边三角形的边长为1.,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________.15.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.16.已知,如果函数有三个零点,则实数的取值范围是____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.18.(12分)已知椭圆的左焦点坐标为,,分别是椭圆的左,右顶点,是椭圆上异于,的一点,且,所在直线斜率之积为.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两条直线,分别交椭圆于,两点(异于点).当直线,的斜率之和为定值时,直线是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理.19.(12分)如图,在四棱锥中,侧面为等边三角形,且垂直于底面,,分别是的中点.(1)证明:平面平面;(2)已知点在棱上且,求直线与平面所成角的余弦值.20.(12分)已知,均为给定的大于1的自然数,设集合,.(Ⅰ)当,时,用列举法表示集合;(Ⅱ)当时,,且集合满足下列条件:①对任意,;②.证明:(ⅰ)若,则(集合为集合在集合中的补集);(ⅱ)为一个定值(不必求出此定值);(Ⅲ)设,,,其中,,若,则.21.(12分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知数列为公差为d的等差数列,,,且,,依次成等比数列,.(1)求数列的前n项和;(2)若,求数列的前n项和为.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据三角函数的两角和差公式得到,进而可以得到函数的最值,区间(m,n)长度要大于等于半个周期,最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2,存在实数,使得对任意实数总有成立,则区间(m,n)长度要大于等于半个周期,即故答案为:B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用,以及三角函数的图像的性质的应用,题目比较综合.2、D【解析】

如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.3、B【解析】

根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.4、A【解析】

由已知得,,由已知比值得,再利用双曲线的定义可用表示出,,用勾股定理得出的等式,从而得离心率.【详解】.又,可令,则.设,得,即,解得,∴,,由得,,,该双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来,从而再由勾股定理建立的关系.5、B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题6、C【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.7、B【解析】函数(为辅助角)∴函数的最大值为,最小正周期为故选B8、A【解析】

先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出,判断函数的单调性和零点情况得解.【详解】因为函数在区间内没有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上单调递减.当时,,且,所以在上只有一个零点.所以正确结论的编号②④故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、D【解析】

连接,可得,在中,由余弦定理得,结合双曲线的定义,即得解.【详解】连接,则,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根据双曲线的定义,得,所以双曲线的离心率故选:D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.10、C【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】∵,,∴函数为奇函数,∴排除选项A,B;又∵当时,,故选:C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.11、A【解析】

先求的展开式,再分类分析中用哪一项与相乘,将所有结果为常数的相加,即为展开式的常数项,从而求出的值.【详解】展开式的通项为,当取2时,常数项为,当取时,常数项为由题知,则.故选:A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题,其中对所取的项要进行分类讨论,属于基础题.12、A【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为所以.故选:.【点睛】本题考查了分段函数计算,意在考查学生的计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、7【解析】

根据题意,当时,,可得,进而得数列为等比数列,再计算可得,进而可得结论.【详解】由题意,当时,,又,解得,当时,由,所以,,即,故数列是以为首项,为公比的等比数列,故,又,,所以,.故答案为:.【点睛】本题考查了数列递推关系、函数求值,考查了推理能力与计算能力,计算得是解决本题的关键,属于中档题.14、【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解:以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,,则,,,设,,,即点的坐标为,则,,,所以故答案为:【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.15、【解析】

设正四面体的棱长为,求出底面外接圆的半径与高,代入体积公式求解.【详解】解:设正四面体的棱长为,则底面积为,底面外接圆的半径为,高为.∴正四面体的体积,圆柱的体积.则.故答案为:.【点睛】本题主要考查多面体与旋转体体积的求法,考查计算能力,属于中档题.16、【解析】

首先把零点问题转化为方程问题,等价于有三个零点,两侧开方,可得,即有三个零点,再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.【详解】若函数有三个零点,即零点有,显然,则有,可得,即有三个零点,不妨令,对于,函数单调递增,,,所以函数在区间上只有一解,对于函数,,解得,,解得,,解得,所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,,当时,,当时,,此时函数若有两个零点,则有,综上可知,若函数有三个零点,则实数的取值范围是.故答案为:【点睛】本题考查了函数零点的零点,恰当的开方,转化为函数有零点问题,注意恰有三个零点条件的应用,根据函数的最值求解参数的范围,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)函数在上单调递减,在单调递增;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过解关于导数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax,先求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调性,从而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出数列是以为首项,1为公差的等差数列,,,问题转化为证明:,通过换元法或数学归纳法进行证明即可.【详解】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞),,当时,f′(x)<2,当时,f′(x)>2,所以函数f(x)在上单调递减,在单调递增.(Ⅱ)设,则,因为x≥2,故,(ⅰ)当a≥1时,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)单调递减,而g(2)=2,所以对所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)当1<a<1时,2<1﹣a<1,若,则g′(x)>2,g(x)单调递增,而g(2)=2,所以当时,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)当a≤1时,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)单调递增,而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;综上,a的最小值为1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an•an+1,由a1=1得,an≠2,所以,数列是以为首项,1为公差的等差数列,故,,,⇔,由(Ⅱ)知a=1时,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因为,所以,故.法二:⇔下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,令x=1代入,即得,不等式成立(1)假设n=k(k∈N*,k≥1)时,不等式成立,即,则n=k+1时,,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式对任何n∈N*都成立.故.考点:1利用导数研究函数的单调性;1、利用导数研究函数的最值;3、数列的通项公式;4、数列的前项和;5、不等式的证明.18、(1)(2)直线过定点【解析】

(1),再由,解方程组即可;(2)设,,由,得,由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系,代入计算即可.【详解】(1)由题意知:,又,且解得,,∴椭圆方程为,(2)当直线的斜率存在时,设其方程为,设,,由,得.则,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直线过点当直线的斜率不存在时,设直线的方程为,,,其中,∴,由,得,所以∴当直线的斜率不存在时,直线也过定点综上所述,直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题,在处理直线与椭圆的位置关系的大题时,一般要利用根与系数的关系来求解,本题是一道中档题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)由平面几何知识可得出四边形是平行四边形,可得面,再由面面平行的判定可证得面面平行;(2)由(1)可知,两两垂直,故建立空间直角坐标系,可求得面PAB的法向量,再运用线面角的向量求法,可求得直线与平面所成角的余弦值.【详解】(1),,又,,,而、分别是、的中点,,故面,又且,故四边形是平行四边形,面,又,是面内的两条相交直线,故面面.(2)由(1)可知,两两垂直,故建系如图所示,则,,,,设是平面PAB的法向量,,令,则,,直线NE与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查空间的面面平行的判定,以及线面角的空间向量的求解方法,属于中档题.20、(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)详见解析.(ⅱ)详见解析.(Ⅲ)详见解析.【解析】

(Ⅰ)当,时,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)当时,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否则得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出为定值.(iii)由设,,,,其中,,,2,,.,可得,通过求和即可证明结论.【详解】(Ⅰ)解:当,时,,,,,..(Ⅱ)证明:(i)当时,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否则,而,与已知对任意,矛盾.因此有.(ii)..,为定值.(iii)由设,,,,其中,,,

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