勾股定理学案

学习目标了解历史勾股定理最早来源于我国公元前一世纪的《周髀算经》，其智慧之华光璀灿夺目。如今我们学习勾股定理，应该从它的来龙去脉，具体运用做起。经历多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展合力推理能力，体会数形结合思想。了解用面积法证明直角三角形勾股定理。在探索勾股定理的过程中，掌握直角三角形三边之间的数量关系。（阅读课本63—65页）探索勾股定理1•等腰直角三角形：/\/\/C\/A\/\/B/\/C\/图1-1AA/BU■2（图中每个小方格代表一个单位面积）（1） 观察图1-1，正方形A中含有 （图中每个小方格代表一个单位面积）个小方格，即A的面积是 个单位面积。正方形B的面积是 个单位面积。正方形C的面积是 个单位面积。（2） 在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？SA= ,SB= ,SC= 。（3） 结合计算结果你能发现图中SA,SBSC之间有什么关系吗？关系： 结论：2•—般直角三角形：思考:在左图中，任选一图，求正方形A，B，C的面思考:积各是多少？sa,sb，SC还有上述关系吗？SA= ,SB= ,SC= 。关系： （图中每个小方格代表一个单位面积）结论：（图中每个小方格代表一个单位面积）（1） 在上述两组图中你是如何用直角三角形的边长表示正方形的面积的?（2） 你发现直角三角形三边长度之间存在什么关系？归纳猜想1.观察所得到的各组数据，你有什么发现？Sp，SQ,与Sr的关系？ 2•猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系?PP得出勾股定理： 3•赵爽弦图证明勾股定理阅读课本65、66页结合图形完成以下过程：学习勾股定理不仅要会用a学习勾股定理不仅要会用a2+b2=c2，还要清楚以下变形的作用：a2=c2一b2,b2=c2一a2,c=\a2+b2a=yc2一b2,b=7c2一a2?•巩固练习填空题 在RtAABC,ZC=90°,TOC\o"1-5"\h\z⑴如果a=7,c=25，则b= 。⑵如果ZA=30°,a=4,则b= 。⑶如果ZA=45°,a=3,则c=—⑷如果c=10,a-b=2，则b= 。⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。⑹如果b=8,a：c=3:5,则c= 。布置作业1.查阅有关勾股定理的历史资料,明确勾、股、弦三者的关系，关注验证勾股定理的方法。2.习题18.1 第1、2、7题。

学习目标会用勾股定理进行简单的计算。能运用勾股定理表示对应无理数的点。树立数形结合的思想、分类讨论思想。能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题。课前梳理1.如果直角三角形的两直角边长为a,b,斜边为c,那么a2+b2= ,用语言叙述TOC\o"1-5"\h\z为 。在平面直角坐标系中，已知A（-5,12）,则点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到原点的距离为 。勾股定理的前提是 三角形，已知直角三角形中两条长，求第三边长，要弄清哪条边是直角边，哪条边是斜边，不能确定时，要 。学习探究若a、b、c分别是△ABC的ZA、ZB、ZC所对的边，则下列说法正确的是（ ）A.A.—定有a2+b2=c2成立B-若厶ABC是直角三角形，则a2+b2=c2C.若za=90。，则a2+b2=c2 D.若厶c=90。，则a2+b2=c22.在Rt^ABC中，zc=90。，TOC\o"1-5"\h\z如果a=3，b=4，则c= ；如果a=6，b=8，则c= ；如果a=5，b=12，则c= ；（4）如果a=15，b=20，则c= .如图，三个正方形中的两个的面积S]=25,S2=144,贝I」第三个正方形的面积S3= 你能用什么方法解决课本_66页探究1的问题？你能在数轴上画出表示＜13的点吗？（认真阅读课本68页，领会作图原理和方法）巩固训练⑵已知a=1,c=2,求bo⑷已知a：b=1⑵已知a=1,c=2,求bo⑷已知a：b=1:2,c=5,求a。⑴已知a=b=5，求c。⑶已知c=17,b=8,求a。⑸已知b=15，ZA=30°，求a，c。已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。学练提升TOC\o"1-5"\h\z若线段a、b、c组成直角三角形，则它们的比可能是（ ）2:3:4 B. 3:4:6 C. 5:12:13 D. 4:6:7RtAABC斜边AB=10,AC:BC=3:4,则这个直角三角形的面积为（ ）A.6 B. 8 C. 12 D. 24直角三角形中，斜边长为5米，周长为12米，则它的面积为（ ）A.12米2 B.6米2 C.8米2 D.9米2一个矩形的抽屉长为24cm，宽为7cm，在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是在Rt^ABC中，ZC=90。，BC=12cm,S^ABC=30cm2,则AB= .等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为

—个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？课后作业填空题TOC\o"1-5"\h\z⑴在RtAABC,ZC=90°,a=8,b=15，则c= 。(2)在Rt^ABC,ZB=90°,a=3,b=4，则c= 。⑶在Rt^ABC,ZC=90°,c=10,a：b=3：4,则a= b= ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。b= ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为 。⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为. ，面积为 。已知：如右图，在AABC中，ZC=60°,AB=4J3,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积CD B如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？CD BCC（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）.其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.19.已知：如图，四边形ABCD中，AD〃BC,AD丄DC,AB丄AC,ZB=60°,CD=1cm，求BC的长。

学习目标1、 理解掌握勾股定理的逆定理，并能证明勾股定理的逆定理。2、 经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性。3、 掌握勾股定理的逆定理，会判断一个三角形是否为直角三角形，并会应用它解决实际问题。4、 理解勾股定理的逆定理的推导.（阅读课本73页一74页）课前梳理满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数。常用的勾股数有 ;. ;. 等。—个命题成立，它的逆命题 成立，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为， 。学习探究1•分别以下列每组数为边长作出三角形，观察一下所画三角形的形状以及各组数据之间有什么关系.（1）3，4，5 （2）6,8，10 （3）5，12，132•得出结论：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是 如何证明这一命题的正确性？（阅读课本74页）勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。注意区分：勾股定理：题设是 ；结论是 0勾股定理逆定理：题设 ；结论是 0因此可以认为：勾股定理是直角三角形白 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形白 定理。巩固训练3•下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是（）TOC\o"1-5"\h\zA• a=1.5， b=2， c=3 B•a=7，b=24， c=25 C. a=6， b=8， c=10 D. a=3， b=4， c=54•下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.8，15，17 B.7，24，25 C•6，8，10 D•9，12，135•分别以下列每组数为一个三角形的三边的长：①6，8，10；②5，12，13.③8，15，17；④7，8，9，其中能构成直角三角形的有（ ）•A•4组 B.3组 C.2组 D.1组6•如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A•1倍 B.2倍 C.3倍D•4倍7.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为 学练提升B自读书本74页例1,完成下面题目：B8.如图1-3-1，在四边形ABCD中，AC丄DC，'ADC的面积为30cm2,DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求'ABC的面积.（提示：分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理，不要弄错了两个定理的条件和结论。例如a2+b2=c2,.・.72+242=252,.・.AABC是直角三角形。这样表达是错的！）

10•若三角形三条边的长分别为7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度.如图1-3-2，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路最低造价是多少?12.如图1-3-3，在四边形ABCD中，ZB=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13,求四边形ABCD的面积.C_ 图1-3-313.如图1-3-4所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD丄DC,CAB=13m，BC=12m，求这块地的面积.图1-3-2B课后作业图1-3-2BB,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.14•如图1-3-5,AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.15•初春时分，两组同学到郊外平坦的田野中采集植物标本，分手后，他们向不同的方向前进，第一组的速度是30米/分，第二组的速度是40米/分，半小时后两组同学同时停下来，而此时两组同学相距1500米.两组同学行走的方向是否成直角？如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？学习目标进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。课前梳理TOC\o"1-5"\h\z若下列各组数是三角形的三边，则不能组成直角三角形的一组是（ ）A. 2,3, 4B.3,4, 5C. 6,8, 10D. 5,12, 13把直角三角形的两直角边同时扩大到原来4倍，则斜边扩大到原来（ ）A. 1倍 B.2倍 C. 3倍 D. 4倍满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 （ ）A.b2=c2-a2 B.a：b：c=3：4：5C.ZC=ZA-ZB ——D.ZA：ZB:ZC=12：13：15在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）A.5,6,7 B.1,4,9 C.5,12,13 D.5,11,12学习探究自读P75例2：（1）了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR= PQ= QR=30；⑷因为242+182=32,PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知ZQPR= ；（5）ZPRS=ZQPR-ZQPS=45°。小结：“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”练习一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长 ， ， 。⑶根据勾股定理的逆定理，由 + = ，知三角形为直角三角形。动手试试用一张矩形的纸卷成一个圆柱，按照图1-4-2的位置在圆柱上标出A,B两点，从A到B自己尝试画几条路线，结合展开图观察一下哪条路线最短？依据是什么？怎样求这条最短路线的长？巩固训练TOC\o"1-5"\h\z5•有六根细木棒，它们的长度分别为2,4,6,8,10,12（单位：cm）,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为（ ）A. 2, 4, 8 B. 4,8,10 C. 6,8,10 D. 8, 10, 12若等腰三角形腰长为10cm，底边长为12cm，那么它的面积为（）A.48cm2 B.36cm2 C.24cm2 D.12cm2 8cm底边为16cm，底边上的高为6cm的等腰三角形的腰长为（）A.8cm B.9cm C.10cm D.13cm图1-4-1如图1-4-1，一个圆桶儿，底面半径为3cm，高为8cm,贝I」桶内能容下的最长的木棒为（ ）A.10cm20cmA.10cm20cm40cm45cm如图1-4-2，—圆柱高8cm，底面半径为^cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是 cm.学练提升图1-4-4放学后，小丽和小红从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小丽和小红行走的速度都是40米/分,小丽用15分钟到家，小红用20分钟到家，求小丽和小红家的距离.图1-4-4如图1-4-4是一个长方体，求图中阴影部分的面积.课后作业一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它绕树盘升的路线总是沿着短路线螺旋前进.如果一棵树的周长为6厘米，葛藤绕树一圈升高8厘米，那么它爬行一圈的路程是多少厘米？《勾股定理》复习学案(第一课时)《勾股定理》复习学案(第一课时)［基础知识梳理］在本章中，、我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定是以及它的应用.其知识结构如下：/一定理的应mA——I勾股;定理/一定理的应mA——I勾股;定理勾股定理的逆定理直角三角形1.勾股定理：直角三角形两直角边的 和等于 的平方.就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有： •这就是勾股定理.勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”.通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形—之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.勾股定理的作用：已知直角三角形的两边，求第三边•(一定要注意找准斜边、直角边)要熟悉公式的变形：a2=c2一b2,b2=c2一a2,c=\a2+b2a=\'c2一b2,b=\'c2一a2?•(2)在数轴上作出表示"n(n为正整数)的点勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为 •”这一命题是勾股定理的逆定理.定理的证明采用了构造法•利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边，若a2+b2=c2，则三角形是直角三角形；若a2+b2〉c2，则三角形是锐角三角形；若a2+b2<c2，则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.［典型例题分析］例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?思路与技巧这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长.但题中未指明已知的两条边是 还是 ，因此要分两种情况讨论.例2如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长？

图19-HEB（例四）图19-HEB（例四）思路与技巧搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的A1B、A2B，但它们都不是最长的,根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点,另一个端点在A点时最长，此时可以把线段AB放在RtAABC中，其中BC为底面直径.例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为^29.思路与技巧"29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为■29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为的直角三角形的斜边长为丁29.1CFCD例4如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且4 .求证：AAEF是直角三角形.方法指导：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证 即可.例5如图，在四边形ABCD中，ZC=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求证：AD丄BD. B方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题.例6已知：如图△ABC中，AB=AC=10,BC=16，点D在BC上,DA丄CA于A.求:BD的长. （例7）方法指导：可设BD长为xcm,然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知厶ABC为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程.例7：一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 .

《勾股定理》复习学案（第二课时）《勾股定理》复习学案（第二课时）勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几占.八、、•一、要注意正确使用勾股定理例1在RtAABC中，ZB=RtZ,a=l,b八3，求c0二、要注意定理存在的条件例2在边长为整数的厶ABC中，AB〉AC，如果AC=4,BC=3，求AB的长。三、正逆合用，要注意原定理与逆定理的区别例3在厶AB