材料力学 (7)的教案

材料力学(7)的教案第1页/共90页第６章

圆轴扭转提要扭转外力偶如何计算？受扭轴横截面上有何内力？该内力正负如何规定？受扭轴横截面上有何应力？该应力公式如何建立？第2页/共89页第2页/共90页§６.1扭转的概念和实例扭转工程实例自行车，中轴受扭转第3页/共89页第3页/共90页传动轴扭转工程实例第4页/共89页第4页/共90页扭转工程实例第5页/共89页第5页/共90页第6页/共89页第6页/共90页受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线的力偶变形特点：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动第7页/共89页第7页/共90页受力特点受扭转构件的受力特点——在垂直于杆轴的两平面内分别作用两个等值，反向的力偶。mm第8页/共89页第8页/共90页

轴以扭转变形为主的杆件

------称为轴本章主要讨论等直圆轴的强度刚度计算第9页/共89页第9页/共90页外力偶矩的计算扭矩和扭矩图（一）外加力偶矩与功率和转速的关系Me

=9549P(kW)

n(r/min)

(N.m)Me

=7024P(HP)

n(r/min)

(N.m)第10页/共89页第10页/共90页外力偶矩扭矩系数9549：青年节5499系数7024：1k字节10247第11页/共89页第11页/共90页外力偶矩扭矩二）受扭轴的内力----扭矩和扭矩图mmnnT截面法求----横截面内力TT----扭矩-第12页/共89页第12页/共90页扭转内力T一扭矩

（Torque)x取左段分析：=0:T=M同理取右段分析可得：=M第13页/共89页第13页/共90页扭矩的正负号规则

同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号扭矩的正负号规定：右手螺旋法则-——

T

矢量与截面外法线方向相同T为正T第14页/共89页第14页/共90页符号规定：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截面外法线方向一致时，T为正；反之为负第15页/共89页第15页/共90页扭矩图横截面扭矩T沿杆轴变化规律的图象——扭矩图T第16页/共89页第16页/共90页二扭矩图第17页/共89页第17页/共90页50201515N.mN.mN.mN.mTx2143Nm.2015Nm.Nm.30第18页/共89页第18页/共90页第19页/共89页第19页/共90页第20页/共89页第20页/共90页第21页/共89页第21页/共90页例3.1

传动轴主动轮A的输入功率NA＝50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB＝NC＝15马力，ND＝20马力，转速n＝300r/min。画扭矩图。第22页/共89页第22页/共90页例6.1解用截面法求出内力mA=1170N·mmB=mC=351N·mmD=468N·mT1=-mB=-351NmT2=-mB-mc=-702NmT3=mD=468Nm第23页/共89页第23页/共90页例6.1解画出内力图T1=-351N·mT2=-702N·mTT3=468N·m第24页/共89页第24页/共90页例6.1解－改变齿轮放置位置把主动轮A置于右端，最大扭矩增长67％T3=-mB–mC-mD=-mA=–1170NmT33第25页/共89页第25页/共90页薄壁圆筒扭转时的切应力§6.2圆轴扭转时的应力与强度计算第26页/共89页第26页/共90页薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。第27页/共89页第27页/共90页2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。第28页/共89页第28页/共90页acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.与的关系：微小矩形单元体如图所示：第29页/共89页第29页/共90页薄壁圆筒剪应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。第30页/共89页第30页/共90页二、切应力互等定理：上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz第31页/共89页第31页/共90页三、切应变剪切胡克定律：

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。第32页/共89页第32页/共90页T=Me

剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。第33页/共89页第33页/共90页

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。第34页/共89页第34页/共90页圆轴在扭转时的应力和变形1试验观察与假设（Theexperimentalobservationsandhypotheses)第35页/共89页第35页/共90页

圆轴扭转时变形特征试验观察第36页/共89页第36页/共90页加载前画横向圆周线及纵向线试验观察第37页/共89页第37页/共90页TT

加载后现象：第38页/共89页第38页/共90页TT

1、各纵向线倾斜同角度2、各圆周线大小形状间距不变

圆轴扭转时的应力变形特征第39页/共89页第39页/共90页t´ABCDABCDt

圆轴扭转时的应力变形特征第40页/共89页第40页/共90页圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径保持为直线；且相邻两截面间距离不变。第41页/共89页第41页/共90页圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发生刚性转动。平面假设第42页/共89页第42页/共90页变形协调方程

圆轴扭转时横截面上的切应力()=ddx第43页/共89页第43页/共90页2扭转切应力静力关系（1）第44页/共89页第44页/共90页物理关系与应力分布＝G＝G

ddx

圆轴扭转时横截面上的剪应力T第45页/共89页第45页/共90页静力关系（1）（2）变形几何关系物理关系（3）由（2）代入（3）：（4）由（4）代入（1）：令（5）第46页/共89页第46页/共90页由（5）代入（4）：第47页/共89页第47页/共90页剪应力公式ddx＝TGIpIp=A2dAGIp—抗扭刚度Ip—截面的极惯性矩

圆轴扭转时横截面上的剪应力＝G

ddx第48页/共89页第48页/共90页最大切应力圆轴扭转时横截面上的最大切应力当＝max时，＝maxmax=TWtWt=maxIpWt抗扭截面系数

圆轴扭转时横截面上的切应力第49页/共89页第49页/共90页横截面上沿水平直径剪应力大小的分布规律第50页/共89页第50页/共90页（1）实心圆轴Wt3Ip和Wt的计算(Calculationofpolarmomengtsofinertiaandsectionmoduliundertorsion)第51页/共89页第51页/共90页(2)空心圆轴Wt第52页/共89页第52页/共90页Wt=D

316(1-4)截面的极惯性矩与扭转截面系数Ip＝d432Wt=d316Ip＝D

432(1-4)=d/D对于实心圆截面对于圆环截面

圆轴扭转时横截面上的切应力第53页/共89页第53页/共90页5扭转的强度条件（Strengthconditionintorsion)第54页/共89页第54页/共90页WtWtWt第55页/共89页第55页/共90页例3.2汽车传动轴为无缝钢管，D＝90mm，t=2.5mm，材料为45钢。TMAX＝1.5kN·m。[t]=60MPa，校核轴的强度。第56页/共89页第56页/共90页例3.2解结论：安全D＝90mm，t=2.5mm，TMAX＝1.5kN·m。[t]=60MPa，校核轴的强度。第57页/共89页第57页/共90页4扭转角（Theangleoftwist)第58页/共89页第58页/共90页1

微段变形

=ddxTGIpd=dxTGIpGIp—抗扭刚度TT第59页/共89页第59页/共90页2整体变形-等直圆杆AB＝

TlGIp微段变形累加的结果第60页/共89页第60页/共90页第61页/共89页第61页/共90页或第62页/共89页第62页/共90页6扭转的刚度条件（Rigidityconditionintorsion)第63页/共89页第63页/共90页第64页/共89页第64页/共90页第65页/共89页第65页/共90页Wt第66页/共89页第66页/共90页m例题阶梯圆轴AB两端固定（如图所示），受外l1=1m,l2=1.5m,材料的G=80GPa,[]=60MPa，力偶矩m=4.5作用，若d1=70mm,d2=55mm,[]=1.50/m,试进行强度和刚度校核。

ACBd1d2l1l2第67页/共89页第67页/共90页解:(1)受力分析如图所示列轴的静力平衡方程mA+mB–

m=0(2)变形几何关系

mmAmBACB(3)物理关系代入几何关系第68页/共89页第68页/共90页（4）与平衡方程联立解得支反力矩为（5）强度校核分段计算最大剪应力（6）刚度校核分段计算单位长度扭转角轴的单位长度扭转角最大值故该轴满足强度刚度条件第69页/共89页第69页/共90页再见第70页/共89页第70页/共90页第四节圆轴在扭转时的应力和变形续第71页/共89页第71页/共90页题3.15四分之一截面上内力系合力的大小、方向、作用点。T第72页/共89页第72页/共90页题3.16内力如何平衡?第73页/共89页第73页/共90页第74页/共89页第74页/共90页例题例题一已知：N＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,

空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。

圆轴扭转时横截面上的剪应力第75页/共89页第75页/共90页例题解：N

T=9549n7.5=9549100=716.2N.mmax=Wt116TT=d13=40MPa=0.045m=45mmd1=16716.2401063

圆轴扭转时横截面上的剪应力例题一第76页/共89页第76页/共90页例题例题一max==40MPaWt2T16T=D23(1-

4)=0.045m=45mmD2=16716.2(1-0.5

4)40106d2=0.5D2=23mmA1A2=d12D22(1-

2)=1.28

圆轴扭转时横截面上的剪应力3第77页/共89页第77页/共90页例题例题二已知：N1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;

d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大剪应力。

圆轴扭转时横截面上的剪应力第78页/共89页第78页/共90页例题例题二N1=14kW,N2=N3=N1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/min

圆轴扭转时横截面上的剪应力N1N3N2第79页/共89页第79页/共90页例题例题二T1=1114N.mT2=557N.mT3=185.7N.m

圆轴扭转时横截面上的剪应力N

T=9549n1114Nm557NmT1T3T2第80页/共89页第80页/共90页例题例题二max(C)=