2023年江苏省苏州市常熟市等四地中考数学一模试卷含解析

2023年江苏省苏州市常熟市等四地中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各数中，是无理数的是(

)A.2.5 B.10 C.−16 2.据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为(

)A.4.15×104 B.0.415×104 C.3.下列计算正确的是(

)A.a+2a2=3a2 B.a104.为了解七年级学生寒假期间课外阅读情况，某校抽查了部分学生开展问卷调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，则被调查学生寒假阅读课外书数量的中位数为(

)

A.18 B.12 C.2 D.2.55.已知，CD是△ABC的角平分线，直线AE//BC，若∠ABC=62°，∠EAC=50°，则∠ADC的度数为(

)A.68°

B.81°

C.87°

D.90°6.一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则这个圆锥的底面圆半径为(

)A.1cm B.2cm C.3cm D.37.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为35.今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为(

)A.x+y=10x+35y=7 B.x+y=10358.如图，点A坐标为(−2,1)，点B坐标为(0,4)，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为(

)A.455

B.855

C.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）9.−6的相反数是______．10.若x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

．11.因式分解：ma2−2am+m=

12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD=130°，则∠C的度数是

°.

13.如图，在△ABC中，∠B=45°,AC=25.分别以点B和点C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交边AB于点E.若BE=4，则AE的长为

14.定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”.已知二次函数y=x2−4x+m的图像上有两个“等值点”，则m的取值范围为

15.甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，从乙出发开始计时，所计时间设为t秒，在跑步过程中，图1是乙跑步路程y(米)与时间t(秒)的函数图像，图2是甲、乙两人之间的距离s(米)与时间t的函数图像，则b−a=

．

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，点F落在四边形AECD内，点P是线段AE上的动点，过点P作PQ⊥AF，垂足为Q，连接PF，则PQ+PF的最小值为

．

三、解答题（本大题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题分)

计算：tan45°+|2−1|−(18.(本小题分)

解方程：2xx−3+1=619.(本小题分)

已知2a2−3a−4=0，求20.(本小题分)

2023年3月12日是第45个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“A.紫薇”、“B.黄杨”、C.柳树”、“D.樟树”图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种．

(1)小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“B.黄杨”的概率是

；

(2)小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)21.(本小题分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD，CB，使得BE=DF，连接AE，CF．

(1)求证：AE=CF；

(2)连接AC，已知∠ABE=40°，∠ACE=25°，当∠EAB=

°时，四边形AECF是菱形．22.(本小题分)

某校八年级体育活动课开设了篮球、羽毛球、乒乓球、排球、足球共5项球类体育活动.为了解学生对这5项球类体育活动的喜爱情况(每人只选一项)，学校从八年级全体学生中随机抽查部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成以下统计表和扇形统计图：

调查结果统计表项目篮球羽毛球乒乓球排球足球人数1214mn9请你根据以上信息回答问题：

(1)参加问卷调查的学生人数为

名；在统计表中，m=

，n=

；

(2)在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为

°.

(3)若该校八年级学生人数为1500人，试估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生有多少名？23.(本小题分)

如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像交于点A(1,2n)和点B(3n−6,2)，与x轴交于点C．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)连接OA，OB，在直线AC上是否存在点D，使△OCD的面积是△AOB面积的34？若存在，求出点24.(本小题分)

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交BC于E，连接AE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠BAC=∠DFE．

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若PCAP=23，AF=425.(本小题分)

某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．

(1)求A、B两种笔记本的进价；

(2)文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元.在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本.两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售.若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出m的最小值．26.(本小题分)

如图，已知二次函数y=x2−(m−1)x−m(其中m>1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l，连接AC、BC．

(1)求∠ABC的度数；

(2)设△ABC外接圆的圆心为P，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；

(3)在(2)的条件下，设抛物线的顶点为D，是否存在实数m，使CP//BD，若存在，求出m27.(本小题分)

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE．

(1)【尝试初探】

如图1，当点D在线段AB上运动时，AC，DE相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．

(2)【深入探究】

如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当AD=2BD时，求tan∠DHC的值．

(3)【拓展延伸】

如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点F，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，当S2=4S1答案和解析1.【答案】B

解：2.5，−16，0是有理数；

10是无理数．

故选：B．

根据无理数的定义解答即可．

2.【答案】A

解：41500=4.15×104．

故选：A．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n3.【答案】D

解：A、原式=a+3a2，不符合题意；

B、原式=a8，不符合题意；

C、原式=a6，不符合题意；

D、原式=a6，符合题意；

故选：D．

A、不能合并同类项；

B、用同底数幂的除法法则计算；

4.【答案】C

解：由条形统计图知，这组数据共13+18+6+3=40个，

其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据分别为2，2，

所以这组数据的中位数为2+22=2，

故选：C．

根据中位数的定义求解即可．

5.【答案】C

解：∵AE//BC，

∴∠ACB=∠EAC=50°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=12∠ACB=12×50°=25°．

∵∠ADC是△BCD的外角，

∴∠ADC=∠DBC+∠BCD=62°+25°=87°．

故选：C．

由AE//BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠ACB的度数，结合CD平分∠ACB，可求出∠BCD6.【答案】A

解：圆锥的底面圆的周长=120π×3180=2π(cm)，

设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，

则2πr=2π，

解得：r=1，

即这个圆锥的底面圆半径为1cm，

故选：A．

根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长=120π×3180=2π(cm)，设这个圆锥的底面圆的半径为r cm，根据圆的周长公式得出2πr=2π，再求出r即可．

本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为n°7.【答案】A

解：根据题意得：x+y=10x+35y=7，

故选：A．

根据原来的米+向桶中加的谷子=10，原来的米+桶中的谷子舂成米=7即可得出答案．

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子=10，原来的米+8.【答案】B

解：如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T．

∵点A坐标为(−2,1)，点B坐标为(0,4)，

∴AT=2，OT=1，OB=4，

∴OA=22+12=5，

∴OA=OA′=5，

∵S△OA′B′=S△OAB=12×4×2=4，

∴12OA′⋅B′H=4，

∴B′H=2×45=855，

∴点B′到x轴的距离为855，

故选：B．9.【答案】6

【解析】【分析】

本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号，据此解答即可．

【解答】

解：根据相反数的概念，得

−6的相反数是−(−6)=6．

故答案为6．

10.【答案】x≥5

解：式子x−5在实数范围内有意义，则x−5≥0，

故实数x的取值范围是：x≥5．

故答案为：x≥5．

直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．

11.【答案】m(a−1)解：ma2−2am+m

=m(a2−2a+1)

=m(a−1)2．

12.【答案】115

解：∵∠BOD=2∠A，∠BOD=130°，

∴∠A=65°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C=180°，

∴∠C=115°，

故答案为：115．

根据圆周角定理求出∠A=65°，根据圆内接四边形的对角互补求解即可．

此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形的对角互补”是解题的关键．

13.【答案】2

解：连接CE．

由作图可知MN垂直平分线段BC，

∴EB=EC=4，

∴∠B=∠ECB=45°，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

∵AC=25，

∴AE=AC2−CE2=(25)2−42=2．

故答案为：14.【答案】m<25解：由题意可得“等值点”在直线y=x上，

令x2−4x+m=x，

整理得x2−5x+m=0，

∴Δ=(−5)2−4m>0时，符合题意，

解得m<254，

故答案为：m<2515.【答案】24

解：由图2可知．乙没有出发时，甲乙相距12米，且甲先出发3秒，

∴甲的速度为123=4(米/秒)，

a秒后乙到达终点，甲、乙两人相距96米，

∴甲还需96米到达终点，

∴甲还需964=24(秒)到达终点，

∴b−a=24，

故答案为：24．

根据题意和函数图象，可以得到甲的速度，再根据函数图象中的数据，即可得到a秒时乙到达终点，甲还需964=2416.【答案】9625解：过点B作BQ′⊥AF于点Q′，交AE于P′，过F作MN⊥BC于N，交AD于M，如图：

∵BC=6，点E是边BC的中点，

∴BE=12BC=3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=90°，

∵△ABE沿AE翻折得△AFE，

∴∠AFE=∠ABE=90°，EF=BE=3，AF=AB=4，PB=PF，

∴∠FAM=90°−∠AFM=∠EFN，

∵∠AMF=∠FNE=90°，

∴△AFM∽△FEN，

∴AMFN=MFEN=AFEF=43，

∴AM=43FN，MF=43EN，

设FN=3m，EN=3n，则AM=4m，MF=4n，

∵MN=AB=4，AM=BN，

∴3m+4n=43+3n=4m，

解得m=2425n=725，

∴AM=4m=9625，

∵PQ+PF=PQ+PB，

∴当B，P，Q共线时，PQ+PB最小，即PQ+PF最小，此时Q与Q′重合，P与P′重合，PQ+PF最小值为BQ′的长度，

∵∠BAQ′=90°−∠MAF=∠AFM，∠BQ′A=∠FMA=90°，AB=AF=4，

∴△BAQ′≌△AFM(AAS)，

∴BQ′=AM=9625，

∴PQ+PF最小值为BQ′的长度9625，

故答案为：9625．

过点B作BQ′⊥AF于点Q′，交AE于P′，过F作MN⊥BC于N，交AD于M，证明△AFM∽△FEN，得AMFN=MFEN=AFEF=43，设FN=3m，EN=3n，可得3m+4n=417.【答案】解：tan45°+|2−1|−(12)−1

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．

本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：2xx−3+1=63−x，

方程两边都乘x−3，得2x+x−3=−6，

解得：x=−1，

检验：当x=−1时，x−3≠0，

所以x=−1是分式方程的解，

【解析】方程两边都乘x−3得出2x+x−3=−6，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

19.【答案】解：∵2a2−3a−4=0，

∴2a2−3a=4，

∴(a−1)2+12(a−3)

=a2【解析】根据完全平方公式解答即可．

本题考查了完全平方公式，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键．

20.【答案】14解：(1)∵有“A.紫薇”、“B.黄杨”、C.柳树”、“D.樟树”图案的4张卡片，

∴小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“B.黄杨”的概率是14．

故答案为：14．

(2)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的结果有4种，

∴两人取出的卡片图案相同的概率为416=14．

(1)直接利用概率公式计算即可．

21.【答案】10

【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∵BE=DF，

∴AF=CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE=CF；

(2)解：当∠EAB=10°时，四边形AECF是菱形．

∵∠ABE=40°，∠ACE=25°，

∴∠BAC=40°−25°=15°，

∵∠EAB=10°，

∴∠EAC=25°，

∴∠EAC=∠ACE，

∴AE=CE，

∴四边形AECF是菱形．

故答案为：10．

(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，求得AF=CE，推出四边形AECF是平行四边形，得到AE=CF；

(2)根据三角形外角的性质得到∠BAC=40°−25°=15°，求得∠EAC=25°，根据菱形的判定定理即可得到结论．

本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．

22.【答案】50

11

4

79.2

解：(1)参加问卷调查的学生人数为：9÷18%=50(名)；

故n=50×8%=4(名)；

m=50−12−14−4−9=11．

故答案为：50；11；4；

(2)在扇形统计图中，“乒乓球”部分对应的圆心角的度数为360×1150=79.2°．

故答案为：79.2；

(3)1500×1450=420(名)，

答：估计该校八年级学生喜欢“羽毛球”的学生大约有420名．

(1)由足球人数及其所占百分比可得问卷调查的学生人数；用问卷调查的学生人数乘8%可得n的值；进而底层m的值；

(2)用360°乘“乒乓球”人数所占比例可得；

(3)利用样本估计总体即可，即用1500乘样本中喜欢“羽毛球”的学生所占比例可得答案．

23.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像交于点A(1,2n)和点B(3n−6,2)，

∴1⋅2n=2(3n−6)，

解得n=3，

∴点A坐标为(1,6)，点B坐标为(3,2)，

∴m=1×6=6，

将点A(1,6)和点B(3,2)代入一次函数y=kx+b，

得k+b=63k+b=2，

解得k=−2b=8，

∴一次函数表达式为y=−2x+8，反比例函数表达式为y=6x；

(2)∵一次函数y=−2x+8的图像与x轴交于点C，

当y=−2x+8=0时，x=4，

∴点C坐标为(4,0)，

∴OC=4，

∴S△AOB=S△AOC−S△BOC

=12×4×6−12×4×2

=8，

∵△OCD的面积是△AOB面积的34，

∴△OCD的面积为34×8=6，

设D点纵坐标为t，

∴12×4|t|=6，

解得t=3或t=−3，【解析】(1)先根据点A和点B在反比例函数y=mx的图像上，可得1⋅2n=2(3n−6)，求出n的值，可得点A和点B坐标，再待定系数法求一次函数表达式和反比例函数表达式即可；

(2)先求出C点坐标，根据S△AOB=S△AOC−S△BOC求出△AOB的面积，设D点纵坐标为t，根据24.【答案】(1)证明：∵∠DCB=∠DFE，∠BAC=∠DFE，

∴∠DCB=∠BAC，

∵∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°，

∴∠DCB+∠B=90°，

∴∠CDB=180°−(∠DCB+∠B)=90°，

∴直径CD⊥AB，

∴AB是⊙O的切线；

(2)解：连接DE，

∵CD是圆的直径，

∴∠CED=90°，

∵∠ACE+∠DEC=90°+90°=180°，

∴AC//DE，

∴PCPD=PAPE，

∴PCPA=PDPE=23，

∵∠PCE=∠PFD，∠CPE=∠FPD，

∴△FPD∽△CPE，

∴PFPC【解析】(1)由圆周角定理，直角三角形的性质推出∠DCB+∠B=90°，即可证明CD⊥AB，因此AB是⊙O的切线；

(2)由平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质推出PFPC=PDPE=23得到25.【答案】解：(1)设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，

由题意得：x+3=y150x+300y=6300，

解得：x=12y=15．

答：A种笔记本的进价是12元，B种笔记本的进价是15元；

(2)设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本(100−a)本，由题意得：

12a+15(100−a)≤1380，

解得a≥40，

依题意有：20m+25m+(a−m)×20×0.7+(100−a−m)×25×0.8−12a−15(100−a)≥600，

解得：m≥3a+10011，

∵m为整数，

∴m【解析】(1)设A种笔记本的进价是x元，B种笔记本的进价是y元，由题意：A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元；现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；

(2)设文具店第二次购进A种笔记本a本，则B种笔记本(100−a)本，根据投入的资金不超过1380元可求a的范围；再根据两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，列出不等式可求出m的最小值．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

26.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2−(m−1)x−m(其中m>1)，令x=0，则y=−m，

∴C点坐标为(0,−m)，

令y=0，则x2−(m−1)x−m=0，

解得：x1=−1，x2=m，

∵m>1，点A在点B的左侧，

∴B点坐标为：(m,0)，

∴OB=OC=m，

∵∠BOC=90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°；

(2)如图1，连接PA，PC，

∵△ABC外接圆的圆心为P，

∴PA=PB=PC，

∴点P在对称轴直线l上，

∵抛物线的对称轴为：x=−−(m−1)2=m−12，

设点P坐标为：(m−12,n)，

∵PA=PC，

∴PA2=PC2，

∴(m−12+1)2+n2=(n+m)2+(m−12)2，

解得：n=−m+12，

∴P点的坐标为：(m−12,−m+12)；

(3)不存在实数m，使CP//BD.理由如下：

∵P点的坐标为：(m−12,−m+12)，

∴当x=m−12时，y=x【解析】(1)首先求出点A、B的坐标