线性方程组的平方根解法

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线性方程组的平方根解法浅析线性方程组的平方根解法

在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。

一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义

我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b的系数矩阵A是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：

1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：

1)正定矩阵A是非奇异的

2)正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵3)正定矩阵A的主对角元素均为正数4)正定矩阵A的特征值均大于零5)正定矩阵A的行列式必为正数

定义一线性方程组Ax=b的系数矩阵A是对称正定矩阵，那么Ax=b是对称正定线性方程组。

定义二假使方阵A满足A=AT，那么A是对称阵。2.1.4平方根法和改进的平方根法

假使A是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：

定理2若A为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，则A可惟一分解为：A＝LDLT，其中L为单位下三角阵，D为对角阵。

证明由于A的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：A＝LU由于，所以可将U分解为：

u12u1n??1???uu11nn??u11??u2n????1?u22???u22?U???????????????unn??1????DU1

其中D为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A＝LDU1＝L(DU1)

由于A为对称矩阵，所以，A＝AT＝U1TDTLT＝U1T(DLT)，由A的LU分解的惟一性即得：L＝U1T，即U1＝LT，故A＝LDLT。

工程技术中的大量实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有此类特别性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应用。

定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。2对称正定矩阵的三角分解

定理(Cholesky分解)设A为n阶对称正定矩阵，则存在惟一的主对角线元素都

是正数的下三角阵L，使得：A＝LLT。

分解式A＝LLT称为正定矩阵的Cholesky分解，利用Cholesky分解来求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程组AX＝b的方法称为平方根法。设A为4阶对称正定矩阵，则由定理4知，A＝LLT，即：

?a11a12a13a14??l11000??l11l21l31l41????????a21a22a23a24??l21l2200??0l22l32l42????a?a32a33a34l31l32l330??00l33l43?31?????????a????41a42a43a44??l41l42l43l44??000l44?

将右端矩阵相乘，并令两端矩阵的元素相等，于是不难算得矩阵L的元素的计算公式为：

平方根法的计算框图见图3.4。

用平方根法求解系数矩阵对称正定的线性方程组时，计算过程是数值稳定的。

为了避免开方运算，有时直接使用对称矩阵A的LDLT分解来计算，在(3.40)中令uij?lji(j?i),根据矩阵乘法可以求出Ｌ和Ｄ的元素，然后将方程组(3.1)即

LDLTx?b转化为两个三角形方程组Ly?b，LTx?D?1y，由前一方程解出y，

代入后一方程便可解出x。

二、平方根法求解对称正定线性方程组的过程

用平方根法求解对称正定方线性程组Ax=b的步骤如下：例用平方根法求解方程组

?112??x1??5??120??x???8????2?????2023????x3????7??解设

?112??l110?120???l???21l22??2023????l31l320??l11l21?0l0?22??l33????00l31?l32??l33??右端矩阵相乘并比较等式两端。由第一列有

21?l11,1?l11l21,2?l11l31

可得l11?1,l21?1,l31?2

22比较其次列有2?l21?l22,0?l31l21?l32l22

12221求得l22?(2?l)?1，l32?(0?l31l21)l22??2

由第三列得11?l?l?l231232233，故l33?(11?l?l)?3

23112232?10L???11??2?20?0??3??由Ly?b解得y1?5,y2?3,y3?3,由LTx?y解得x1??2,x2?5,x3?1。

一般情形，设

??l11A?LLT??l21????ln1根据矩阵乘法有

ak2k?122kk??lks??lks?lkk,k?1,2,?,ns?1s?1及aklk?1ik??lisks??lislks?liklkk,i?k

s?1s?1于是有

?l?(ak?1122??kkkk??lks)?s?1???lik?(aik?k??1lislks)lkk,i?k?1,k?2,?,ns?1在上式中取k=1,2,…,n便可求出L的全部元素。

??ll??1122????l????n2?lnn?

l21?ln1?l22?l?n2????l?nn?(3.51)

三、平方根法的算法的流程图

开始输入A,bk?1lkk?(akk??lk2s)s?1k?112对i?k?1,k?2,?,n计算lik?(aik??lislks)lkks?1k?1k?