第三章 试验的方差分析

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1第三章试验的方差分析

3.1基本术语1、指标：试验中需要考核的参数称为指标，如产品的产量，材料的强度等。从数量上看，指标可以是单一指标，也可以是多指标；从性质上指标可分为定性指标和定量指标。2、因素：可能对指标产生影响的参数称为因素。因素分为可控因素和不可控因素。试验设计探讨的因素一般是可控因素。

3、水平：因素的所处的状态或内容称为水平。水平可以是数量性的，如反应温度；也可是属性的，如催化剂种类，原材料产地等。4、方差分析：方差分析是分析试验因素对指标影响是否显著的一种方法。

3.2单因素试验的方差分析

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3.2单因素试验的方差分析3.2.1一个具体的例子为了考察温度对某种产品收得率的影响，选取了五种不同的温度，在同一温度下各作三次试验(单位：%)试验次数1260℃909265℃979370℃969675℃848380℃8486

3影响？

88

92

93

88

82

试问：在60-80℃范围内试验，温度对产品收得率有无显著

3.2单因素试验的方差分析首先，我们对表中的数据进行如下的计算：

3

试验次数123组平均值yi总平均值y

60℃90928890

65℃97939294

70℃9696939589.6

75℃84838885

80℃84868284

可以看出，表中全部15个数据是参差不齐的，它们围绕总平均值y

产生波动，这个波动是什么原因造成的呢？首先简单想到的是温度取了5个不同的水平，事实上5个水平下的数据平均值y1、2、…y5y之间确实存在差异，它们围绕总平均值

y

产生波动。

3.2单因素试验的方差分析

4

另外，每个水平下的三个数据虽然其试验条件一致，但它们之间仍

然有差异，它们围绕组平均值yi

产生波动，这个波动显然是由于原

材料、设备工具、操作方法、测试技术等微小变化的偶然因素造成。我们将全部数据的总波动称为总离差平方和(或总变动平方和，用SST表示),它可以分解成为两部分：因素变动平方和(或组间离

差平方和，用SSA表示),误差变动平方和(或组内离差平方和，用SSe表示)。

SST(9089.6)2(9289.6)2(8289.6)2353.6SSA3(9089.6)2(9489.6)2(8489.6)2303.6

3.2单因素试验的方差分析

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SSe=(9090)2(9290)2(8890)2(9794)2(9394)2(8684)2(8284)250.0从上面的计算可以看出：TSSASSe,SS是一种必然呢？后面我们可以证明这是一种必然。这是一种偶然还

SST、SSA、SSe是若干项的平方和，其大小与参与求和的项数有关。为了消除参与求和项数的影响，我们定义自由度如

下：总自由度：fTnm01,

nm0试验总数据个数。

因素(组间)自由度：因n1,n为因素的水平数。f误差(组内)自由度：fen(m01),m0试验重复数。

3.2单因素试验的方差分析显然，

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fTf因fe

我们用上述离差平方和除以对应的自由度得到均方差：

V因SS因/f因，V因称为组间均方差或因素平均变动。

VeSSe/fe下的F函数：F因

,Ve称为组内均方差或误差平均变动。

我们将因素平均变动和误差平均变动进行比较，为此构造如因素平均变动V因误差平均变动Ve

F值的大小，可以来判断因素水平对指标的影响。F值接近1时，说明因素水平的改变对指标的影响和试验误差的影响差不多，即水

平改变对指标的影响在误差范围内，也就是说因素水平间无显著差

3.2单因素试验的方差分析

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F值越大，说明因素水平改变对指标的影响超过了试验误差造成的影响，即条件误差相对试验误差大得多。现在问题的关键就是F值大到多少可以认为试验结果的差异主要由因素水平的改变引起，小到多少可以认

为试验结果的差异主要由试验误差引起，这就需要一个标准，这个标准由F表查出F临界值。见书P203-207附录4。在F表上，横行f1代表F值中分子的自由度，

竖行f2代表F值中分母的自由度，相交处的数值即为F临界值。查表时应当注意的选取。检验结果如下：FAF0.01(fA,fe)F0.05(fA,fe)FAF0.01(fA,fe)FAF0.05(fA,fe)

高度显著显著不显著

***

3.2单因素试验的方差分析

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3.2.2单因素试验方差分析的一般步骤设因素A有n个水平，每个水平重复试验m0次，水平Ai的第j次试验值为yij(i=1,2,…n;j=1,2,…m0),则可将数据以下表形式表达：

yiji

j

1jm0y11y1jy1m0

Tiyijj1

m0

Riyj1

m0

2ij

1yijm0

yj1

m0

ij

1in

yi1yijyim0

yn1ynjynm0

T1TiTn

R1Ri

y1

yi

Rn

ynyT/(nm0)

i1

n

T

R

3.2单因素试验的方差分析

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1、偏差平方和的分解：根据定义有：

SST(yijy)2i1j1nm0

n

m0

SSe(yijyi)2i1j1nm0

SS因(yiy)2i1j1

现证明n

SSTSSeSS因m0nm02i1j1

SST(yijy)(yijyiyiy)2i1j1

3.2单因素试验的方差分析nm0nm0n

10m0

(yijyi)2(yiy)22(yijyi)(yiy)i1j1i1j1i1j1

SSeSS因+2(yijyi)(yiy)i1j1

n

m0

(yijyi)(yiy)i1j

1nm0m0(yiy)(yijyi)i1j1j1

n

m0

(yiy)(m0yim0yi)0i1

n

SSTSSeSS因

3.2单因素试验的方差分析

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为了计算便利，对各偏差平方和进行简化推导，得到各自的简化计算方法：

令

T2Pnm0nm0

,

1n2Q(Ti)m0i1

,则

T22SSTyijRPnm0i1j11nm0T2SS因(yij)2QPj1m0i1nm0

1nm02SSeyij(yij)2RQj1m0i1i1j1n

m0

3.2单因素试验的方差分析

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我们以上面的例子为例继续计算：

fTnm0153114

fAn1514fefTfA14410或

fen(m01)5(31)10SSA303.6VA75.9fA4SSe50.0Ve5.0fe10

3.2单因素试验的方差分析

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VA75.9FA15.2Ve5.0

从F分布表中查取临界值

F0.05(4,10)3.48,F0.01(4,10)5.99由于FAF0.01(4,10)5.99所以因素A高度显著。

3.2单因素试验的方差分析

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假使每个水平上的试验次数mi(i=1,2,…n)不一致，以N代表总的试验次数，则可用以下式子计算：T22SSTyijNi1j1nmi

mi(yij)2nT2j1SS因miNi1mi(yij)2nminj12SSeyijmii1j1i1

3.3双因素试验的方差分析

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具体例子可见书上P33例3-2。

例3-2

用火焰原子吸收光谱测定矿石中的铋，研究酸

度对吸光度的影响。得到如下表所示的结果。试由表中的数据评价酸度对吸光度的影响。不同酸度时的吸光度试验次数123400.1400.1410.1441%0.1520.1500.1560.1542%0.1600.1580.1630.1613%0.1750.1734%0.1800.1840.1820.186

3.3双因素试验的方差分析

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解：

Nmi3442417i1

n

Tyij2.759ij

2yij0.451457i1j1

n

mi

mi2(y)nijj1m0.451393i1i

3.3双因素试验的方差分析nmi

17

T22.75922SSTyij0.4514570.003688N17i1j1mi2(y)nijT22.7592j1SS因0.4513930.003624miN17i1

SSeSSTSSA0.000064

3.3双因素试验的方差分析

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fTN116fAn1514fefTfA16412SSA0.003624VA0.000906fA4SSe0.000064Ve0.00000533fe12VA0.000906FA169.98F0.01(4,12)5.41Ve0.00000533

因此，酸度对