状态波函数和薛定谔方程

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其次章状态波函数和薛定谔方程

本章引入描述量子体系状态的波函数，给出波函数的几率波解释和态的叠加原理两个量子力学的基本假设，在此基础上建立非相对论量子力学的基本方程——薛定谔(Schr?dinger)方程，并通过几个具体实例介绍定态薛定谔方程的解法。

§2.1波函数的几率波解释

1.波函数

由第一章的探讨可知，微观粒子的波粒二象性是对粒子运动的一种统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量?来描述，称为波函数。它是位置(x,y,z)和时间t的复值函数，表示为?或?(x,y,z,t)。微观体系的状态总可以用一个波函数?(r,t)来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且?(r,t)和C?(r,t)（C为比例常数）描写同一量子状态。引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一。

2.波函数的几率波解释

在历史上，人们对波函数的解释曾有过不同的看法。有人认为波是由它所描写的粒子组成的；也有人认为粒子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包。除以上两种观点外，还有其它一些不同的看法。但是，这些看法都与试验事实相矛盾，而被物理学家们普遍接受的解释是玻恩(Born)提出的统计解释，即几率波解释。为了说明玻恩的解释，我们首先来考察电子的双缝衍射试验。在电子的双缝衍射试验中，电子枪发射强电子束时，荧光屏上马上显示出明暗相间的双缝衍射条纹，这是电子的波动性的表现。当电子枪发射弱电子束时，屏上接收的只是一个一个的亮点（电子），这表达了电子的微粒性。若对弱电子束的衍射作长时间的曝光，则得到的衍射花招与强电子束的衍射花招完全一致。试验说明，在出现亮条纹的地方，亮点较密集，电子投射的数目较多，即电子投射几率较大；而在比较暗的地方，达到的电子数目较少，即电子投射的几率较小。电子在衍射试验中所透露的波动性质，可看成是大量电子在同一个试验中的统计结果，也可以认为是单个电子在屡屡一致试验中显示的统计结果。因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点。

据此，德国物理学家玻恩在1924年提出了波函数的统计解释：空间某点波函数绝对值

2的平方乘以该点附近的小体积元d??dxdydz,即|ψ(r,t)|d?表示在t时刻在r点附近d?小体积元内找到粒子的几率。

这表示，描写粒子的波是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。波函数的统计解释是波函数的一个重要性质。在经典物理中，一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的便利，实际上只有实部才有物理意义。在量子力学中，波函数一般必需用复数表示，有物理意义的既不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方|ψ(r,t)|，它表示粒子在空间r点附近单位体积内出现的几率称为几率密度，寻常用w(r,t)表示，而ψ叫几率振幅，或几率幅。

2练习1：

设粒子波函数为?(x,y,z)，求在x~x?dx范围内发现粒子的几率。解：由波函数的统计解释可知:

|?|2d?代表在x?x?dx,y?y?dy,z?z?dz范围内发现粒子的几率，

则在x?x?dx范围内不管y，z取何值的几率为

(??|?|2dydz)dx.

练习2：

设在球坐标中，粒子波函数为?(r,?,?)

求：（1）在球壳（r,r?dr）中找到粒子的几率，

（2）在（?,?）方向的立体角d?中找到粒子的几率。

解：在球坐标中，体积元的形式为

d??r2drsin?d?d?，

（1）在球壳（r,r?dr）中发现粒子的几率为

2??[??0??0??|?(r,?,?)|2sin?d?d?]r2dr.

（2）在（?,?）方向的立体角中找到粒子的几率为

?[?|?(r,?,?)|2r2dr]d?,

0其中d??sin?d?d?.

3.波函数的归一化

22量子力学第一基本假设告诉我们，|C?|与|?|描写同一微观状态，这是由于C?和

2|?|2表示的几率分布是一样的。譬如粒子出现在空间r1与r2两点的相对概率可表示成：|C?(r1,t)|2|?(r1,t)|2。这说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布。这与经?|C?(r2,t)|2|?(r2,t)|2典波（声波、光波等）完全不一样，经典波的振幅增加一倍，则其波动能量增加为原来的四倍，为两种完全不同的态。

既然|?（r,t)|d?表示t时刻，r点附近d?体积元发现粒子的几率，而非相对论下，

2实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，则对一个粒子而言，它在整个空间出现的几率为1，数学上表示为：|?（r,t)|2d??1.（1）

??这称为波函数的归一化条件，满足上式的波函数?（r,t)称为归一化的波函数。

为便利引入符号??,???

则归一化条件可简写为：??,???1或??|???1。

由于?与C?描写同一量子状态，所以描写同一量子状态的波函数形式不是唯一的，一般状况下，我们都是选取归一化了的波函数来探讨问题，对不是归一化的波函数??c?，寻常需要把波函数归一化，即要求C?满足下面条件：|C?|2d??1,（3）

?????d?，（2）

*?式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分。由（3）式有

1|C|2?|?|2d?.

??（4）

i?C称为归一化常数，其解具有不确定性，可以是正负实数，也可是复数。如考虑一个常数ei?i?i?2（?为实常数），由于|e|?1，则C?Ce，e称为相因子。由此可见，归一化后的

22波函数可以含有一任意相因子，依旧不是完全确定的，为了便利，一般规定归一化常数C取正实数，不探讨相因子（??0），这样归一化的波函数不会有相因子的不确定性。

例假设粒子在一维空间中运动，已知描写它的波函数为

1i??2x2??t22?(x,t)?Ae式中?和?为已知常数，A为任意常数。

求：（1）归一化波函数；

（2）粒子坐标的几率密度分布；（3）粒子在何处出现的几率最大。解：（1）在一维空间中，归一化条件为

，

???(x,t)dx?1，

2于是有

1?A2????e??2x2dx?2A2???xe?dx022?2|A|2所以

?a，

A?(a12a?)，

12归一化的波函数为?(x,t)?(?)e1i??2x2??t22。

（2）粒子坐标的几率密度分布为

w(x)?|?(x,t)|2?(3)根据求最大值的条件，令

a?e?ax.

22dw(x)?0，dx则有

?2a2x可得

a?e?ax?0，

22x?0，

即在x?0处粒子出现的几率最大。

并不是所有的波函数都可以按（1）式或（3）式进行归一化。这种归一化条件要求波函数绝对值平方在整个空间是可以积分的，假使这个积分是发散的，则不能使用上述归一化条件。关于这类波函数如何归一化，以后遇到再介绍。

4.自由粒子运动的波函数——平面波

自由粒子不受外场的作用，其能量E和动量P均不随时间变化。由德布罗意关系知道，与自由粒子相联系的德布罗意波，它的频率和波长都不变，数学上称为平面波。

角频率为?，波长为?，沿x轴正向传播的平面波可表示为：

y?Acos(kx??t)，（5）

式中k?2??。有时为了数学上的便利，也用复数形式表示：

i(kx??t)y?Ae，（6）

（6）式中有物理意义的是其实部。在量子力学中波函数一般取复数形式，所以描写一维自由粒子的平面波波函数取为：

?(x,t)?Aei(kx??t).（7）

将德布罗意关系k?p,??E代入（7）式，得到具有确定动量px的一维平面波波函数：

i(pxx?Et)?px(x,t)?Aei，（8）

将（8）式推广至三维状况，具有确定动量p的自由粒子波函数为?p(r,t)?Ae(p.r?Et)，（9）

在某一时刻，如t?0，具有确定动量p的平面波函数表示为

i?p(r)?Ae

p?r.（10）

§2.2态的叠加原理

微观粒子的量子状态用波函数来描述，这与经典力学的描述方法完全不同。在经典力学

中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值，并且一旦给定某一时刻粒子的坐标和动量，不但可确定该时刻粒子的状态，而且可以确定以后任何时刻粒子的状态。而在量子力学中，粒子的力学量如坐标、动量等一般可以有大量可能值，这些可能值各自以一定的几率出现。量子力学与经典力学的这种区别来源于微观粒子的波粒二象性，这种性质由波函数的统计解释来表现，还可通过态叠加原理表现出来。

1.态的叠加原理

若体系具有一系列不同的可能状态?1,,?2,…,?n,…,则这些不同的可能状态的线性叠加态??c1?1?c2?2??cn?n???cn?n(cn为复常数),也是该体系的一个可能

n的状态。

态叠加原理是量子力学的一个基本假设，无法从更基本的概念把它推导出来，它的正确性由试验来验证。

2.量子力学对态叠加原理的解释

设体系有两个可能的状态?1和?2。当在?1状态下，无论何时测量体系的某物理量

G(如能量)时,都有一个确定值g1；当在?2状态下，无论何时测量某物理量G，都有一个

确定值g2。根据态叠加原理，??c1?1?c2?2也是体系可能的状态，那么在Ψ态下测量力学