常微分方程的常见解法演示文稿

常微分方程的常见解法演示文稿现在是1页\一共有97页\编辑于星期日常微分方程的常见解法现在是2页\一共有97页\编辑于星期日曲线（称为积分曲线），且就是该曲线上的点处的切线斜率，特别在切线斜率解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点的切线斜率是。就是尽管我们不一定能求出方程的如果我们在区域D内每一点处，都画上一个就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程所确定的向量场。的值为斜率中心在以点的线段，我们现在是3页\一共有97页\编辑于星期日它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的从几何上看，方程的一个解就是位于每一点都与向量场在这一点的方向相切。行进的曲线，因此，求方程满足初始值的这样的一条曲线。的解，就是求通过点形象的说，解就是始终沿着向量场中的方向

向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。现在是4页\一共有97页\编辑于星期日例

在区域

内画出方程的向量场和几条积分曲线。解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘图误差较大。我们可以用Maple软件包来完成。点的向量相重合。L在每点均与向量场的向量相切。在L上任一点，L的切线与所确定的向量场在该

定理1.3L为的积分曲线的充要条件是：曲线现在是5页\一共有97页\编辑于星期日Maple指令：DEtools[phaseportrait]#画向量场及积分曲线([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),#定义微分方程x=-2..2,#指定x范围[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]],#给出3个初始值dirgrid=[17,17],#定义网格密度arrows=LINE,#定义线段类型axes=NORMAL);#定义坐标系类型在MATLAB的向量场命令为quiver(x,y,px,py)现在是6页\一共有97页\编辑于星期日回车后Maple就在条积分曲线，见下图的图形，并给出了过点的网格点上画出了向量场的三现在是7页\一共有97页\编辑于星期日所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大致图形。图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要特征。该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。二、积分曲线的图解法现在是8页\一共有97页\编辑于星期日三、一阶常微分方程的解法1线性方程2变量可分离方程3全微分方程4变量替换法5一阶隐式方程6近似解法7一阶微分方程的应用现在是9页\一共有97页\编辑于星期日初值问题的解为

初值问题

的解为

现在是10页\一共有97页\编辑于星期日Bernoulli方程求出此方程通解后,令解法:伯努利方程的标准形式:除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解。现在是11页\一共有97页\编辑于星期日例湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时.开始湖中有水400000立方米.河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时,湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时,湖泊水中盐酸的含量。解:设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑内湖泊中盐酸的变化。现在是12页\一共有97页\编辑于星期日因此有该方程有积分因子两边同乘以后,整理得现在是13页\一共有97页\编辑于星期日积分得利用初始条件得现在是14页\一共有97页\编辑于星期日当

,得

变量可分离方程的求解方程（2.2.1）两边同除以

这样对上式两边积分得到现在是15页\一共有97页\编辑于星期日齐次函数:函数称为m次齐次函数,如果齐次方程:形如的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可分离方程求解思想:求解。齐次方程现在是16页\一共有97页\编辑于星期日可化为齐次方程的方程形如的方程可化为齐次方程.其中都是常数.1.当时,此方程就是齐次方程.2.当时,并且(1)现在是17页\一共有97页\编辑于星期日此时二元方程组有惟一解引入新变量此时,方程可化为齐次方程:现在是18页\一共有97页\编辑于星期日(2)若则存在实数使得:或者有不妨是前者,则方程可变为令则现在是19页\一共有97页\编辑于星期日4.对特殊方程令则现在是20页\一共有97页\编辑于星期日例求方程

的通解。解：解方程组得令代入原方程可得到齐次方程令得现在是21页\一共有97页\编辑于星期日还原后得原方程通解为变量分离后积分现在是22页\一共有97页\编辑于星期日例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t时刻雪球的体积为

，表面积为

，球体与表面积的关系为

变量可分离方程的应用由题得现在是23页\一共有97页\编辑于星期日引入新常数再利用题中的条件得分离变量积分得方程得通解为再利用条件确定出常数C和r代入关系式得t的取值在之间。现在是24页\一共有97页\编辑于星期日中连续且有连续的一阶偏导数，则定理2.1

设函数和在一个矩形区域是全微分方程的充要条件为:（2.3.3)方程为全微分方程的充要条件现在是25页\一共有97页\编辑于星期日例：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于3.全微分方程的积分解：当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.(1)线积分法:或现在是26页\一共有97页\编辑于星期日由公式(2.3.4)得:故通解为其中为任意常数所以方程为全微分方程。现在是27页\一共有97页\编辑于星期日(2)偏积分法的通解.例：求方程由于解：假设所求全微分函数为,则有求现在是28页\一共有97页\编辑于星期日而即从而即现在是29页\一共有97页\编辑于星期日例：验证方程是全微分方程，并求它满足初始条件：的解。解：所以方程为全微分方程。由于由于(3)凑微分法现在是30页\一共有97页\编辑于星期日方程的通解为：利用条件得最后得所求初值问题得解为：根据二元函数微分的经验,原方程可写为现在是31页\一共有97页\编辑于星期日四、微分方程的近似解法用一些函数去近似微分方程的解在一些点上计算方程解的近似值逐次迭代法Taylor级数法Euler折线法Runge-Kutta法现在是32页\一共有97页\编辑于星期日能得到解析解的方程：

线性方程、变量可分离的方程、全微分方程以及能通过各种方法化为这些类型的方程.绝大部分方程无法求得解析解，一些近似解法也对实际问题的解决有很大帮助，我们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解的方法。现在是33页\一共有97页\编辑于星期日对初始值问题构造迭代序列该序列一致收敛到解，故迭代一定次数后就可以作为一个近似1、逐次迭代法现在是34页\一共有97页\编辑于星期日……

解：该初值问题近似解的迭代序列如下例求初值问题的近似解现在是35页\一共有97页\编辑于星期日迭代的误差(|x|<n)现在是36页\一共有97页\编辑于星期日例：求初始值问题解的迭代序列的前三项

解：该初始值问题等价的积分方程为其迭代序列的前三项为现在是37页\一共有97页\编辑于星期日

利用Maple软件可以求出更多的项

y[0]:=1;forjfrom1to4doy[j]:=1+int(x^2+y[j-1]^2,x=0..x);enddo;现在是38页\一共有97页\编辑于星期日近似程度的显示

y[0]:=1;forjfrom1to7doy[j]:=1+int(x^2+y[j-1]^2,x=0..x):enddo:plot({y[0],y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[6],y[7]},x=-0.9..0.9);

现在是39页\一共有97页\编辑于星期日Taylor级数法

设初始值问题的解可以在的邻域内展开为收敛幂级数则就是解的一个近似值解函数在点的值及各阶导数的计算：现在是40页\一共有97页\编辑于星期日例：用Tailor级数法求初始值

问题的近似解。

解：计算解函数在x=0点的函数值和各阶导数值得所以，该初始值问题的近似解为现在是41页\一共有97页\编辑于星期日用Maple处理restart:ode1:=diff(y(x),x)-x^2-y(x)^2=0;forjfrom1to7doOrder:=j*2:dsolve({ode1,y(0)=1},y(x),type=series);sol[j]:=rhs(%):enddo:forjfrom1to7doy[j]:=sol[j];enddo;现在是42页\一共有97页\编辑于星期日运行后的结果现在是43页\一共有97页\编辑于星期日用Maple处理并用图形显示restart:ode1:=diff(y(x),x)-x^2-y(x)^2=0;forjfrom1to7doOrder:=j*2;convert(dsolve({ode1,y(0)=1},y(x),type=series),polynom):sol[j]:=rhs(%):enddo:plot({sol[1],sol[2],sol[3],sol[4],sol[5],sol[6],sol[7]},x=-1..1);现在是44页\一共有97页\编辑于星期日在区间[-1,1]

的近似情况现在是45页\一共有97页\编辑于星期日在区间[-0.5,0.5]

内的近似情况现在是46页\一共有97页\编辑于星期日设初始值问题的解在可以展开为幂级数代入初始条件方程后得展开后比较两端同次幂的系数确定待定系数法现在是47页\一共有97页\编辑于星期日例：用待定系数法求解：令由由得得于是的近似解。现在是48页\一共有97页\编辑于星期日

计算出解函数在一系列节点处的近似值,节点间距

在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。Euler折线法为步长，通常采用等距节点.现在是49页\一共有97页\编辑于星期日Euler折线法记为近似导数现在是50页\一共有97页\编辑于星期日现在是51页\一共有97页\编辑于星期日利用Taylor公式这样计算的误差是h的二阶无穷小量现在是52页\一共有97页\编辑于星期日改进的Euler折线法现在是53页\一共有97页\编辑于星期日

利用计算机编程给出步长和初始值循环计算各点上函数的近似值显示结果例求初始值问题的数值解具体实现现在是54页\一共有97页\编辑于星期日printlev1:=0:h:=0.1:x[0]:=0:y[0]:=0.5:z[0]:=0.5:f1:=(x,y)->1+(y-x)^2;f2:=(x,y)->2*(x-y)+2*(y-x)*(1+(y-x)^2);fornfrom0to9dox[n+1]:=h*(n+1);y[n+1]:=y[n]+h*f1(x[n],y[n]);z[n+1]:=z[n]+h*f1(x[n],z[n])+h^2*f2(x[n],z[n])/2;u[n+1]:=x[n+1]+1/(2-x[n+1]);print(x[n+1],y[n+1],z[n+1],u[n+1]);od:可以改变步长和增加分点来观察计算精度的变化情况现在是55页\一共有97页\编辑于星期日现在是56页\一共有97页\编辑于星期日对于常微分方程的边值问题的解即----------(1)

Runge-Kutta(龙格-库塔)法Runge-Kutta方法的导出有上使用微分中值定理,在区间现在是57页\一共有97页\编辑于星期日----------(2)引入记号的近似值K。就可得到相应的----------(3)Runge-Kutta方法即(3)式只要使用适当的方法求出y(x)上平均斜率在区间K可以认为是在区间上的平均斜率。现在是58页\一共有97页\编辑于星期日低阶Runge-Kutta方法如下图即则(4)式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法由于----(4)现在是59页\一共有97页\编辑于星期日(由(4)式)令则(3)式化为现在是60页\一共有97页\编辑于星期日-----------(5)称为二阶Runge-Kutta法现在是61页\一共有97页\编辑于星期日高阶Runge-Kutta方法未知现在是62页\一共有97页\编辑于星期日令令)(2111--nnxyKx预测处的斜率如果以现在是63页\一共有97页\编辑于星期日取则-----------(6)(6)式称为三阶Runge-Kutta方法现在是64页\一共有97页\编辑于星期日还可构造四阶(经典)Runge-Kutta方法四阶(经典)Runge=Kutta方法有4阶精度现在是65页\一共有97页\编辑于星期日例求初始值问题的数值解

利用四阶Runge=Kutta方法计算机编程给出步长和初始值循环计算各点上函数的近似值显示结果现在是66页\一共有97页\编辑于星期日printlev1:=0:h:=0.1:x[0]:=0:y[0]:=0.5:f:=(x,y)->1+(y-x)^2;fornfrom1to10dox[n]:=h*n;k1:=f(x[n-1],y[n-1]);k2:=f(x[n-1]+h/2,y[n-1]+k1*h/2);k3:=f(x[n-1]+h/2,y[n-1]+k2*h/2);k4:=f(x[n-1]+h,y[n-1]+k3*h);y[n]:=y[n-1]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;u[n]:=x[n]+1/(2-x[n]);print(x[n],y[n],u[n]);od:现在是67页\一共有97页\编辑于星期日运行结果现在是68页\一共有97页\编辑于星期日适应范围与变化率有关的各种实际问题应用三步曲

(1)建模即根据实际问题建立起适当的微分方程，给出其定解条件.(2)求解求出所建立的微分方程的解

(3)翻译用所得结果来解释一些现象，或对问题的解决提出建议或方法现在是69页\一共有97页\编辑于星期日建议:模型要详略得当

在用微分方程解决实际问题的过程中一定要意识到实际问题是十分复杂的，微分方程只能是在一定程度上对问题的一种近似描述，只要结果的误差在一定范围内即可.任何模型都不可能把影响问题的所有因素都反映在微分方程中，或者要求所得结果十分精确.一个好的微分方程模型是在实际问题的精确性和数学处理的可能性之间的一个平衡.现在是70页\一共有97页\编辑于星期日

有一段时间,美国原子能委员会(现为核管理委员会)是这样处理浓缩放射性废物的,他们把这些废物装入密封性能很好的圆桶中,然后扔到水深300英尺的海里。这种做法是否会造成放射性污染,很自然地引起了生态学家及社会各界的关注。原子能委员会一再保证,圆桶非常坚固,决不会破漏,这种做法是绝对安全的。然而一些工程师们却对此表示怀疑,他们认为圆桶在和海底相撞时有可能发生破裂。而原子能委员会有专家们则仍然坚持自己的看法。于是,双方展开了一场笔墨官司。究竟谁的意见正确呢?看来只能让事实说话了。问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞,圆桶和海底碰撞时的速度有多大?放射性废物的处理现在是71页\一共有97页\编辑于星期日

大量破坏性实验,发现圆桶在40英尺／秒的冲撞下会发生破裂,剩下的问题就是计算圆桶沉入300英尺深的海底时,其末速度究竟有多大了。美国原子能委员会使用的是55加仑的圆桶,装满放射性废物时的圆桶重量为W＝527.436磅,而在海水中受到的浮力B＝470.327磅。此外,下沉时圆桶还要受到海水的阻力,阻力D＝Ｃv,其中C为常数。工程师们做了大量实验,测得C＝0.08。现在,取一个垂直向下的坐标,并以海平面为坐标原点(ｙ＝0)。于是,根据牛顿第二定律建立圆桶下沉时应满足方程

质量·加速度=重力-浮力-摩擦阻力

现在是72页\一共有97页\编辑于星期日模型及其解oymgBD现在是73页\一共有97页\编辑于星期日困难：无法知道下沉到海底的时间现在是74页\一共有97页\编辑于星期日积分和代入初始条件得：最后再用数值计算可以得到水深300时的速度大小。现在是75页\一共有97页\编辑于星期日

借助数值方法求出v(300)的近似值。计算结果表明,

v(300)≈45.1英尺／秒＞40英尺／秒。

工程师们的猜测是正确的,他们打赢了这场官司。现在,美国原子能委员会已改变了他们处理放射性废物的方法,并明确规定禁止将放射性废物抛入海中。

现在是76页\一共有97页\编辑于星期日

一横截面积为常数A,高为H的水池内盛满了水,由池底一横截面积为B的小孔放水.求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间.例：水的流出时间现在是77页\一共有97页\编辑于星期日

：有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.例解：由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度值得进一步探讨的问题:不同的形状现在是78页\一共有97页\编辑于星期日设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:现在是79页\一共有97页\编辑于星期日即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为现在是80页\一共有97页\编辑于星期日值得进一步探讨的问题:漏斗型的容器

由于水的张力的原因，每次水都无法全部留尽，总会剩一小部分在容器中。如何才能让水尽可能少的留在容器中？我们知道，水与容器接触的面积越大，留在容器中的水就越多先讨论一下漏斗的模型。y

现在是81页\一共有97页\编辑于星期日容器的位置

可否将容器倾斜，使上部的面积大于下部的面积，使水流的速度更快？倾斜角度？现在是82页\一共有97页\编辑于星期日容器的运动状态

容器的运动状态对流水的速度是肯定会造成影响的，考虑极限的状态，如果容器以大于等于当地重力加速度的加速度竖直向下运动，那么，容器里的水就不会流出。容器以不同的方式运动时对水的流出时间有多少影响？有没有一种运动状态能加快水流的速度呢？现在是83页\一共有97页\编辑于星期日涡流的影响

涡流对水流的速度是有一定影响的。拿一个水桶反复做这样的试验：首先将桶装满水，记录水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，让水自然从桶破了的孔中流出，测量流出的时间，然后反复从同一高度作相同的试验，最后求出水自然流尽所需时间的平均值；然后从同一高度作相同的试验，不同的是用一根棍子绕同一方向在水中搅动，使其产生涡流，然后重复上面的步骤。最后发现通过两种方法测得的水流尽所需时间的平均值有较大的差距，于是猜想有无涡流或许对水流的速度也是有一定影响的。现在是84页\一共有97页\编辑于星期日五、高阶常系数齐次线性方程

（3.3.5）(其中为常数)为n阶常系数齐次线性方程.现在是85页\一共有97页\编辑于星期日的根。方程（）称为方程（）的特征方程，它的根称为方程（）的特征根.（3.3.7）1.特征根为单根

设是（3.3.7）的n个不相同根，则对应方程（）有n个解（3.3.8）现在是86页\一共有97