正多边行与圆（解析版）

2021年八年级数学《暑假作业翎课程无忧衔接》（苏科版）

考点16正多边行与圆

【知识点梳理】

正多边形的相关概念

正多边行的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形

正多边形和圆的关系

把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心为这个正多边形的中心。

正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径为这个正多边形的半径。

正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离为这个正多边形的边心距。

中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角为这个正多边形的中心角。

诠释：

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；

（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它

十一斗力田们都不是正多边形（正方形是正多边形）.

正多边形的性质

1.正多边形只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

3.正多边形是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶

数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比

的平方.

5.任何正多边形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【新课程预习练•无忧衔接】

一、单选题

1.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在。。上任

取一点A,连接A0并延长交。。于点B,80为半径作圆孤分别交。。于C,D两点,。。并延长分交。。

于点E,F；④顺次连接BC,FA,AE,DB,得到六边形AFCBQE.连接A。，交于点G,则下列结论错误

的是.

A.AAOE的内心与外心都是点GB.NFGA=NFOA

C.点G是线段EF的三等分点D.EF=6AF

【答案】D

【分析】证明AAOE是等边三角形，EFLOA,ADLOE,可判断A；.证明/4GF=NAOF=60。，可判断8；

证明尸G=2GE,可判断C；证明可判断D

【详解】

解：如图，

在正六边形AEDBCF中，ZAOF=ZAOE=ZEOD=60°,

'：OF=OA=OE=OD,

...△AOF,△AOE,ZkE。。都是等边三角形,

：.AF=AE=OE^OF,OA=AE=ED=OD,

，四边形AEOF,四边形A。力E都是菱形，

：.AD±OE,EF1OA,

/•AAOE的内心与外心都是点G,故A正确，

YZEAF=120°,ZEAD=30°,

：.ZFAD=90°,

'：NAFE=30°,

，ZAGF=ZAOF=60°,故B正确,

NGAE=NGEA=30。，

，GA=GE,

\'FG=2AG,

：.FG=2GE,

；・点G是线段EF的三等分点，故C正确，

"：AF=AE,ZME=I2O°,

：.EF=y/3AF,故。错误，

故答案为：D.

【点睛】考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识,

解题的关键是证明四边形AEOF,四边形AOQE都是菱形.

2.阅读图中的材料，解答下面的问题：

已知是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1,如果用它的面积来近似估计的面积,

则。。的面积约是（）

我国魏晋时期著名数学家刘徽在“刻例术”中提出:

当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形而枳

可无限接近它的外接圆而枳，因此可以用正多边形

的而枳来进似估计这个圆的面积.

A.3B.3.1C.3.14D.万

【答案】A

【分析】根据圆的面枳公式得。0的面积S,先求得得圆的内接正十二边形的面积SAAB。，最后可求解本

题

【详解】

如图，构造AABO，OA=OB=\,作BC_LAO于点C.

360011

•••4405=吧-=30。，ABC=-OB=~,

1222

■■S^ABO=-OABC=-X\X-^~,

△AB。2224

•••正十二边形的面积为12x』=3,

4

故选A.

【点睛】考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键.

3.如图，正方形A8CO的边长为1,中心为点O,有一边长大小不定的正六边形EbG”〃绕点。可任意

旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形A8C。内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最

大时，AE的最小值为（）

【答案】B

【分析】

当正六边形EFG，〃的边长最大时，要使4E最小，六边形对角线E"与正方形对角线AC重合就可解决问

题.

【详解】

解：如图所示，

当团=A8时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当与正方形对角

线AC重合时，AE最小；

•••正方形ABCD的边长为1；

:.AC=yfi，

；.EH=1，

则AE的最小值为AE=叵口.

2

故选：B.

【点睛】考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正

六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE最小.

4.如图，与正五边形ABCDE的两边AE,CO相切于A,C两点，则NAOC的度数是（）

A.144°B.130°C.129°D.108°

【答案】A

【分析】根据切线的性质，可得/OAE=90。，/OC£>=90。，结合正五边形的每个内角的度数为108。，即

可求解.

【详解】

解：,:AE、CQ切（DO于点A、C,

/.ZOAE=90°,ZOCD=90°,

二正五边形ABCDE的每个内角的度数为：（5—2）X18O：=]08。,

5

/.ZAOC=540°-90°-90°-108°-108°=144°,

故选：A.

【点睛】考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的

关键.

5.如图，点A,B,。在。。上，若BC,AB，AC分别是。。内接正三角形.正方形，正"边形的一

边，则/=()

A.9B.10C.12D.15

【答案】C

360°

【分析】分别连接08、OA.OC根据正多边形的中心角=——，可分别求得N80C、NAO8的度数，从

n

_360°

而可得NAOC的度数，再根据正多边形的中心角=——,可求得边数〃.

n

【详解】

分别连接08、04、OC,如图所示

,/是O。内接正三角形的一边

.•.N8OC3=6^0°-=120°

3

同理，可得：NAOB=90。

，NAOC=N8OC-NAOB=30。

：AC是。。正〃边形的•边

.•工30。

n

n=\2

故选：C.

【点睛】考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=卫3602°,掌握这一知识是解决本题的关键.

n

6.如图，点A,B,C,D,E,F,G,H为Q0的八等分点，AD与BH的交点为/.若。0的半径为“+2夜，

则印的长等于（）

【答案】B

【分析】如图，连接A3、。〃，作_LAD于M,ONJ_BH丁N,在IH上截取一点K，使得ON=NK,

连接0K.首先证明NW=ZKOH=22.5°，推出OK=KN=0a，在RtZxON”中，/+（”+夜”尸=4+2夜,

求出。即可解决问题;

【详解】

解：如图，连接AB.OH.作OM_LAD于"，ON工BH千N,在IH上截取一点K，使得ON=NK,

连接OK.

H

•••点A，B，C,D,E，F，G,”为0。的八等分点,

\NA=?345?,ZW=22.5°,

.­.ZA/B=90°,

ZM1N=Z.OM1=ZONI=90°,

..•四边形OMW是矩形，

AD=BH，

：.AD=BH,

：.OM=ON,

四边形OM/N是正方形，设QM=a,

\-ON=NK,

;.NOKN=45°,

Z.OKN=ZH+NKOH,

...4=40〃=22.5。，

OK=KN=41a，

在中，a?+（°+缶）2=4+20，

\a=1,（负根舍去）

:.1H=（2+叵）a=2+6.

故选:B.

【点睛】考查正多边形与圆、解直角三角形、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

7.如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AR的中点，PC,PO分别与BE交于点M，N,

则S△PKM-Syen的值为（）.

【答案】D

【分析】设正六边形的边长为。，MN是△PCD的中位线，求出和△尸8的面积即可.

【详解】

解：设正六边形的边长为小连接AC交BETH点，如下图所示:

正六边形六边均相等，且每个内角为120。，

...△A8C为30°,30°,120°等腰三角形，

：.BE±AC,且AC=2A"=2?回岛，且息，

222

VAF//CD,P为AF上一点,,

SDPCD=SMCD-gCD?ACg仓必Ga=与6,

MN为4PC。的中位线，

MN=-CD=-a,

22

由正六边形的对称性可知：BE=2BH+CD=2?-aa=2a,

2

13

ABM=EN=(BE-MN)?2(2a--a)?2-a,

.c_1DR/OAU1AlP6a_3百2

•,二一BM.AH-LJ'J-a--------------a，

0PBM224216

・S-S=药22

,•-^DPCD-ih./T°'

故选：D.

【点睛】考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关

键是熟练掌握基本知识，属于常考题型.

8.如图，点。为正六边形对角线ED上一点，SAATO=8,SMD0=2,则S正六边形的值

是（）

A.20B.30

C.40D.随点。位置而变化

【答案】B

【分析】

连接AC、A。、CF,4。与CF交于点M,可知M是正六边形ABCDEF的中心,根据矩形的性质求出S^AFM=5,

再求出正六边形面积即可.

【详解】

解：连接AC、AD,CF,AD与CF交于点M,可知M是正六边形ABC"户的中心，

•••多边形A6CDEE是正六边形，

：.AB=BC,NB=NBAF=120°,

ZBAC=30°,

：.ZMC=90°,

同理，ZDCA=ZFDC=ZDFA=90°,

，四边形ACDF是矩形,

S正六边形ABCOEF=655=3（）,

故选:B.

【点睛】考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解.

9.尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容.小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为r的。。

六等分，依次得到A8,C,。,2b六个分点；②分别以点为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点G；

③连结0G.则0G的长是（）

C.V2rD.#1r

【答案】C

【分析】

如图（见解析），先根据六等分点可得AO是OO的直竹，ZC4£>=30°.再根据圆周角定理、勾股定理可

得AC=6r，从而可得AG=DG=AC=Gr，然后根据等腰三角形的三线合一可得

OA^-AD^r,OGLAD,最后在中，利用勾股定理即可得.

2

【详解】

解：如图，连接A£>,AC,CRAG,OG,

•••AB,C,D,E,F是QO的六等分点，

.•.AD是OO的直径，NC4D=30°，

由圆周角定理得：NACD=90°,

在RfAACZ）中，=岛,

2

•••分别以点A,。为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点G，

AG=£>G=AC=技，

乂•••点。是A。的中点，

:.OA=-AD=r,OG1AD（等腰三角形的二线合一）,

2

在R〃AOG中，OG=NAG2—O代=B，

故选：c.

【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

10.如图所示，AABC为。。的内接三角形，A8=2,NC=30°,则©0的内接正方形的面积（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】

先连接BO,并延长交。。于点D,再连接AD,根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得NADB=30。，而

BD是直径，那么易知AADB是直角三角形，再利用直角三角形中30。的角所对的边等于斜边的一半，那么

可求BD,进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用

勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积.

【详解】

解：连接BO,并延长交。。于点D,再连接AD,如图，

ZACB=30°,

.,.ZBDA=30°,

VBD是直径,

.../BAD=90°,

在RtAADB中，BD=2AB9,

.,.（DO的半径是2,

：G）O的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，

正方形的边长=,2?+2?=2夜，

；・S正方形二20x2正=8.

故选：C.

【点睛】考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形.

11.如图，AB，AC分别为。。的内接正三角形和内接正四边形的一边,若3c恰好是同圆的一个内接

正〃边形的一边，则”的值为（）

O

A

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】连接OB,OC,OA,根据圆内接正三角形，正方形可求出AAOB,NAOC的度数，进而可求NBOC

的度数，利用NBOC=336一0°,即可求得答案.

n

【详解】

如图：连接OB,OC,OA,

D

••・AABE为圆内接正三角形

4。8=^36~0°=120。

3

四边形ACDF为圆内接正方形

360°

：.ZAOC=——=90°

4

ZBOC=ZAOB-ZAOC=\20°-90°=30°

360°

若以BC为边的圆内接正〃边形，则有NBOC=——=30°

n

"=12

故选：C.

【点睛】考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于3型60°-（九为正多边

n

形的边数）是解题关键.

12.如图，正五边形ABCDE内接于O。，点尸为OE上一点（点P与点。，点E不重合），连接PC,PD,

DGA.PC,垂足为G,则NPDG等于（）

A.72°B.54°C.36°D.64°

【答案】B

【分析】

根据正五边形AB8E内接于0O,可得NCOD,再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得NCPD，

再根据三角形内角和定理即可得ZPDG.

【详解】

解：•••正五边形ABCDE内接于QO,

：NCP。与NCOD所对的弧相同

/.ZCPD=-ZCOD=36°

2

ZPDG=180°-90°一36°=54°

故选:B.

【点睛】考查了圆内接正多边形的性质及同弧所时的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出CD所对

的圆心角.

二、填空题

13.如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a.下

面我们来探究纸盒底面半径的最小值:

图①图②

（I）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间:

.（填①或②）

（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是.（用含。的代数式

表示）

【答案】图①Vi09a

【分析】（1）图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比

较大小即可，

（2）要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；

【详解】

（1）•.•一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为2〃

，小三角形的高=，（2。）2-、=6a

S正六边形=6S小三角形=6xgx岛x2。=6岛2,

图①由10个正六边形构成

S=10x66/=60岛2,

图②由10个正六边形和4个正三角形构成

S=10S正六边形+4S小三角形=10x6Goi+4xV3a2=（A^a1

,.160G/v64岛2

...图①更节省空间

故答案为：①

（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图

以中点O为圆心，0A长为半径纸盒底面半径最小，过。点作由（1）可知，08=3x26。=6石。

在RtAAOB中，AB-a,OB-66a

0A=yjAB2+OB2=Va2+108a2=V109«

纸盒底面最小半彳仝是JMBa

故答案为：＞/109«

【点睛】考查「平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意

图.

14.如图，四边形ABC。为。。的内接正四边形，AAE/7为0。的内接正三角形，若。口恰好是同圆的一

个内接正〃边形的一边，则〃的值为.

BD

O

【答案】12

【分析】连接。A、OB、0C,如图，利用正多边形与圆，分别计算。。的内接正四边形与内接正三角形的

360°

中心角得至|JNAOD=90°,ZAOF=\20°,则/£>0尸=30。，然后计算----即可得到〃的值.

30°

【详解】

解：连接04、OD、OF,如图,

VAD,AF分别为。。的内接正四边形与内接正三角形的一边,

3600360°

ZAOD=-------=90°,ZAOF=--------=120°,

43

Z.ZDOF=ZAOF-ZAOD^30°,

即。尸恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.

故选：C.

【点睛】考查了正多边形与圆：把一个圆分成"（〃是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边

形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念.

15.如图，正六边形ABCDE尸中，AB=1，连接AO,则AO的长为

【答案】2

【分析】如图，连接月C,根据正六边形的性质可得NABC=N8CO=120。，ZADC=60°,AB=BC=CD,根据

等腰三角形的性质可得N2C4=30。，即可求出/AC£)=90。，可得/C4£>=30。，根据含30。角的直角三角形的

性质即可得答案.

【详解】

如图，连接AC,

六边形ABCDEF是正六边形，

AZABC=ZBC£>=120°,ZADC=60°,AB=BC=CD,

：./8C4=/BAC=30。，

ZACD^ZBCD-ZBCA=90°,

：.ZCAD=30°,

•.,A8=C£>=1,

：.AD=2CD=2,

故答案为：2

A

【点睛】考查正多边形与圆、等腰三角形的性质及含30。角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关

键.

16.如图，A,B,C,。为一个正多边形的相邻四个顶点，点。为正多边形的中心，若NA0B=18°,则

从该正多边形的一个顶点出发共有条对角线.

【答案】7

【分析】连接OA、根据圆周角定理得到NAQB=2NA£)B=36°,即可得出该图形是正几边形，即

可得出从一个顶点出发对角线的数量.

【详解】

解：连接OA、OB,

点A、B、C、。在以。为圆心，OA为半径的同•个圆上，

根据圆周角定理，ZAOB=2ZADB=36°,

360°

二〃=——=10，即该多边形为正十边形，

36°

从一个定点出发，除去自身与相邻的两个点，共可作10—3=7条对角线,

故答案为：7.

【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理；知道正多边形与圆的位置特点解决本题的关键.

三、解答题

17.（阅读理解）如图1,NBOC为等边AABC的中心角，将NBOC绕点。逆时针旋转一个角度

a（00<«<120°）,N8OC的两边与三角形的边BCAC分别交于点设等边AABC的面积为S,

通过证明可得AOBM乌AOCN,则S四边形OMCN=S«OMC+S-OCN=ZoMC+MUM~^OBC=•

（类比探究）如图2,NBOC为正方形ABCD的中心角，将NBOC绕点。逆时针旋转一个角度

<z（00<a<90°）,ZBOC的两边与正方形的边BC,C。分别交于点M,N.若正方形A5CO的面积为S,

请用含S的式子表示四边形OMCN的面积（写出具体探究过程）.

（拓展应用）如图3,ZBOC为正六边形A3COEE的中心角，将ZBOC绕点O逆时针旋转一个角度

a（0°<a<60°）,NBOC的两边与正六边形的边BC,CO分别交于点M,N.若四边形OMQV面积为,

请直接写出正六边形ABCDEF的面积.

【答案“类比探究】四边形。MCN的面积=；S.【拓展应用】

【分析】

类比探究：通过证明可得AOBA/丝AOCN，则

S四边形0MCW=S.OMC+S-OCN=S-OMC+SQBM=^AOfiC=[S正方形,

拓展应用：通过证明可得AOBM且AOQV，则

S四边形OMCN=S^OMC+SgCN=S«OMC+S-OBM=SijOBC=/KitHfiABCDEF'

【详解】

解：类比探究：如图2,；N8OC为正方形A8CD的中心角，

OB=OC,ZOBM=ZOCN=45°,

■.•NBOC绕点O逆时针旋转一个角度a(0°<a<90°),ZBOC的两边与正方形的边3C,CZ>分别交于点

M,N

：.NBOM=NCON,

.♦.△BOM丝△CON,

,•S四边形OMCN=SQMC+SQC.N=S&OMC+S.OBM=SdOBC=WS正方形ABC。"

拓展应用：如图3,•.•NBOC为正六边形ABCDEF的中心角,

OB=OC,ZOBM=ZOCV=60°,

,/NBOC绕点。逆时针旋转一个角度a(0°<a<90°),ZBOC的两边与正方形的边BC,C£>分别交于点

M,N

E

：.NBOM=/CON,

：.4B0M沿丛CON,

+

•"S四边形OMCN=SQMC+SdQCN=SdOMCMBM=MBC=不S六边形ABCDEF'

•••四边形OMCN面积为逐，

/.正六边形ABCDEF的面积为676.

【点睛】考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转

的性质，正多边形的性质是解题的关键.

18.如图，六边形ABCDE尸是0。的内接正六边形.

(1)求证：在六边形ABC0EF中，过顶点4的三条对角线四等分NB4R.

(2)设0。的面积为六边形A8CQEF的面积为S2,求蒙的值.

【答案】（1）见解析；（2）受史

9

【分析】

（1）连接4E,AD,AC,根据等弧所对的圆周角相等即可证明；

（2）过点。作。GLOE于G,连接。E,设圆。的半径为r,求出。G,用^OED的面积乘以6得到S,,

再求出S-即可计算5k的值.

【详解】

解：（1）连接AE,AD,AC,

:六边形ABCDEF是。。的内接正六边形，

:.EF=EACD=BC,

：.ZFAE=ZEAD=ZDAC=ZCAB,

即过顶点A的三条对角线四等分NBAF；

一

（2）过点。作。于G,连接0E,

设圆0的半径为r,

：.EF=BC=ED=r,AD=2r,

在正六边形ABCDEF^,

ZOED=ZODE=60°f

：.NEOG=30。,

EG=­r,

2

•*,°G=JOE。-EG。~-y-r,

...正六边形A5CDE/的面积=6x』xrx@r=述产,

222

圆O的面积=万厂2,

2&兀

9

【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线.

19.如图，已知。。，点A在圆上，请以A为一顶点作圆内接正方形A3CD.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见详解

【分析】先作直径AC,再过。点作AC的垂线交。。于从D,则四边形A8CQ为正方形.

【详解】

解：如图，正方形4BCD为所作.

【点睛】考查了作图——