圆与方程-2019年高考数学（理）之高频+含解析

解密18圆与方程

解雷高考命题分析三年高考探源考查频率

高考考点

2018新课标全国I22

从近三年高考情况来看，圆的2017新课标全国H9

标准方程的求法是命题的热2017新课标全国III10,12,★★★★

圆的方程

点，求解时，常利用配方法把20★

圆的一般方程转化为标准方2016新课标全国I10,20

程，并指出圆心坐标及半径；2016新课标全国114

直线与圆的位置关系常结合2018新课标全国H19

其他知识点进行综合考查，求2018新课标全国IH6

解时重点应用圆的几何性质，2017新课标全国I15

一般为选择题、填空题，难度2017新课标全国H9

★★★★

直线与圆、圆与圆的位置关系中等，解题时应认真体会数形2017新课标全国HI10,12,

★

结合思想，培养充分利用圆的20

简单几何性质简化运算的能2016新课标全国I10,20

力.2016新课标全国114

2016新课标全国HII6

卷对点解害

考点1圆的方程

题组■直接求圆的方程

调研1已知圆C经过A(5,1),B(l,3)两点，且圆心在x轴上，则圆C的标准方程为

【答案】(x—23+/=10

(5-a)2+l2=r2

<

【解析】设所求圆C的方程为(x-q)2+y2=J,把所给两点坐标代入方程得l(l-a)*+3-=，/,

[tz=2

解得2八，所以所求圆C的方程为(x—29+丁=10.

，=10

【名师点睛】圆心在x轴上，可设圆心坐标为(a,0),半径长为r,写出圆C的标准方程，将A,B两点坐

标代入求a,r即可得圆C的方程.

题组二利用圆的几何性质求圆的方程

调研2与直线"一｝'一4=°和圆片+£+2X-2J=°都相切的半径最小的圆的方程是

2：22

(x+l)+(y+l)=2(x-l)+(y+l)=4

2：22

c.(x-l)+(y+l)=2D(x+l)+(y+l)=4

【答案】C

【解析】圆/+F+2x-2y=。的圆心坐标为(―1,1)，半径为正,过圆心(T1)与直线x-y-4=0垂

直的直线方程为x+y=0，所求圆的圆心在此直线上，又圆心(一1,1)到直线"-J'-4=°的距离为

6=3五，则所求圆的半径为J5,设所求圆的圆心为(a,8)，且圆心在直线“一J一4=0

忑的左上方，则

\a-b-4\_.j2

近,且a+b=0,解得。=1力=一1(°=32=-3不符合题意，舍去)，故所求圆的方程

^(X-1)2+(J+1)2=2故选c.

调研3已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线/：x-2)，=0的距离为坐，且圆C被x轴分成的两

段弧长之比为3：1,则圆C的标准方程为.

【答案】(x+l):+(y+1/=2或(x—1尸+。一1尸=2

【解析】设圆C的方程为(x-aF+0—)5,则点。到x轴、丁轴的距离分别为b\,a.

^=2b-,

a=-1,fa=l,

户二区+1，

由题意可知《仁b=~\,或"=1,故圆C的标准方程为(x+l>+(y+lF=2或(x-

a2b_yfsF=2、户=2.

l)2+(),—1)-=2.

：：以运.稔！y(e.

☆技巧点拨☆

求圆的方程的两种方法

1.几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

2.代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.附：

(1)圆的标准方程：当圆心为3,b),半径为/•时、其标准方程为(X—4)2+。一力2=/,特别地，当圆心在

原点时，方程为

(2)圆的一般方程：x+y2+Dx+Ey-\-F=O,其中£>2+£2-4F>0,表示以(一冬一穹为圆心，

逅零三亚为半径的圆.

考点2直线与圆的位置关系

题组一与圆有关的对称问题

调研1若直线尸比与圆(》一2尸+y=1的两个交点关于直线2x+y+〃=0对称，则点伏，份所在的圆的方程

为

(x-i)2+(i+5)2=l(x-i)2+G'-5)2=l

A.2B.2

(x+^)2+(y-5)*=1(x+i)2+(v+5):=1

C.2D.2

【答案】A

【解析】由题意知直线产kx与直线2x+)，+b=0互相垂直，所以:又圆上两点关于直线2x+y+8=()对

n、(x-i)2+(v+5)2=i

称，故直线2x+y+b=0过圆心(2,0),所以6=—4,结合各选项可知，点(5，-4)在圆2

上，故选A.

运.启」.W::--日.产鬻■•€..富：：“一2

☆技巧点拨☆

1.圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称.

2.圆关于点对称：

(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；

(2)两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

3.圆关于直线对称：

（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;

（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.

尸*•后」。#：：：—•啜乜・Q•

题组二直线与圆、圆与圆的位置关系

调研2圆（x+2）+。'+2）=4与圆（x-2）+（y-l）=9的位置关系为

A.内切B.外切

C.相交D.相离

【答案】B

【解析】圆（x+2）+U+2）=4的圆心坐标为（_2,-2）,半径4=2；圆（X-2）+（＞1-1）=9的圆心

坐标为（2,1）,半径弓二3,圆心距为d=42-（-2）］+［1-（-2）］=5,彳+弓=5,即4=故

两圆外切.故选B.

调研3直线y=3x—°和圆/+二一4x+2j~2°=°的位置关系是

42

A.相交且过圆心B.相交但不过圆心

C.相离D.相切

【答案】A

【解析】将r+p-4x+2y-20=0化简为（x-2『+Q+以=25,易知圆心为（2「1）,半径r=5,

将（2「1）代入到y=中，得3x2-4x（T）—10=0,即满足直线方程，故直线与圆相交且过圆心.故

42

选A.

调研4过点（1,0）且倾斜角为3（）的直线被圆2）+F=1所截得的弦长为

A.B.1

2

C.6D.2垂）

【答案】C

【解析】由题意得，直线方程为，一?""，即"一也】'一1二°.圆心（2,0）到直线X—状）-1=°

一|2-1|」I=2y/r2-dz=2J1-（导=y/3

d

的距离为22，故所求弦长为V2.故选C.

调研5已知M是圆C：。一1尸+尸=1上的点，N是圆C!。-4）2+。-4y=8?上的点，则|M/V|的最小值为

A.4B.4^2-1

C.2^2-2D.2

【答案】D

【解析】设圆C、圆C的半径分别为R,r,...|CC|=5<R—『7,...圆C内含于圆C,则|MN|的最小值为

R-\CC'\-r=2.故选D.

调研6过点P（3,4）作圆f+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,则|AB|=

A.5—y/3B.5-V2

C2后4>/21

D.——

55

【答案】D

【解析】设乂（孙乃超（孙匕），则直线的方程为=4,直线P8的方程为刀/+/】，=4,点

（3,4）均在两直线上，故3再+4川=4,3工+4^=4,所以直线一步的方程为3x7尸I,点（0,0）到直线.好

的距离d=+则|,0=2,4-1?4日

.故选D.

25~~

调研7若过点A（4,0）的直线/与曲线（》一21+）2=1有公共点，则直线/的斜率的取值范围为

A.（一小，福）B.［一小,小］

C.（一坐,监D.［一乎,率

【答案】D

,坐^人三乎.故选D.

【解析】解法1：如图，BC=1,AC=2,：.ZBAC=3O°,：

一坐女W坐.故选D.

解法2：设直线/的方程为产Mx—4）,则由题意知，.■

解法3：过A（4,0）的直线/可设为广便y+4,代入（x—2）2+〉2=1中得：（加2+]））,2+4加）；+3=0,

由A-16/w2—12（疗+1）=4〃产—12>0得，於一或rn>\[3.

.♦./的斜率ge[—乎，o）u（o,坐],特别地，当上0时，显然有公共点，

雪，坐].故选D.

：：•运・布••运«••旗””•约

☆技巧点拨☆

解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法

（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的儿何性质寻找解题途径，减少

运算量.

（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离

的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为

圆心到圆心的距离问题.

•***•拒J。*国•噬行・母：：运•广：

题组三与圆有关的综合问题

调研8已知直线x—2j'+a=°与圆。：V+y2=2相交于A,B两点（。为坐标原点），且AAOB为

等腰直角三角形，则实数。的值为

A.瓜或-娓B.石或-石

C.V6D.V5

【答案】B

【解析】•.•直线x-2]'+a=°与圆。：f+y2=2相交于人，B两点（。为坐标原点），且A4O6为等

/J"、=1,.'.a-±#

腰直角三角形，二。到直线A5的距离为1,由点到直线的距离公式可得+2?.故选B.

--=7——-=1（。>0.4>0）2./—ZTV—1

调研9若双曲线/夕的渐近线与抛物线丁=炉+1相切，且被圆XUJ一截

得的弦长为、历，则a=

V5Vio

B.--

,V2

c.VsD.Vio

【答案】B

【解析】由题意可设切点为(x(),片+1),由y=2x,可得切线方程为y—(片+l)=2r<)(x-Xo),即)=〃<戌一x：

二-±=ig>o*>o)0-片+1=。

+1,..•双曲线"发的渐近线方程为尸土2*,.•.4，Xo=±i,2=2,则其中

b土三=2x。b

b

a不®

-==—=>a=--

一条渐近线方程为尸2M圆心(O,a)到直线y=2x的距离是第22故选民

调研10已知过点P(2,2的直线与圆(xT)+二=5相切，且与直线x-4+1=°平行，则

a=.

【答案】-2

【解析】因为点尸在圆(X-1)+「'=5」二，所以过力p(2,2)的直线与圆(“-1)+V2=5相切的切线为

(2-l)(x-l)+2y=5:x+2y-6=0,又该切线方程与直线x-④+1=0平行，得-。=2,。=-2一

调研11抛物线/=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A,8两点，其准线与x轴的交点为M,则过

M,A,8三点的圆的标准方程为.学-科网

【答案】(xT尸+旷=4

【解析】•••抛物线F=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于T,5两点，...不妨设八，8两点的坐标分

别为(1,2),(1,-2),又准线与x轴的交点为.Ur点的坐标为(-1,0),则过M,.4,3三点的圆的圆

心在x轴，设圆心坐标为CQ0),则C』=CM,即J(a-l)、(0-2f=a-(T),解得户1,...圆心坐

标为(1,0),半径为2.故所求圆的标准方程为(X-1F+F=4.

调研12已知点‘虫一2⑼’*°2匕若点知是圆V+J'、2X+2J=()上的动点，则△ABM面积的最小

值为.

【答案】2

2T

【解析】将圆X+K-2x+2y=°化简成标准方程，得(I)+。+1)=2,其圆心坐标为(卜1),半

径为r=应,如图，因为山一2.0),3(0,2),所以圈=2式,

要求△ABM的面积最小，即要使圆上的动点M到直线A3的距离d最小，而圆心(1,-D到直线

xv

.is：—+—=1,_?_K

一22的距离为2夜，所以&,故s角BM的最小值为

1

丁网=1x20x71=2

4m7

调研13已知圆+(J-21=2内有一动弦A3,且|A6|=2,以A3为斜边作等腰直角三角

形PAB,点P在圆外.

(1)求点尸的轨迹G的方程;

(2)从原点。作圆G的两条切线，分别交G于瓦EG,H四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S.

【答案】（1）（X—2）.+GT）.=4；（2）6.

【解析】(1)连接GAC18.

|G』=监同=0［蜴=2,△GAB为等腰直角三角形.

•.•△PA8为等腰直角三角形，.•.四边形PAGS为正方形，...|PC||=2,

...点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆,

故点P的轨迹。2的方程为-2),=七

(2)如图，作GN_L0E「点N,连接G瓦G£G°

在RtZ\OGN中，...[0G|=2屈&M=e,...阿=底

sin/G°N=-,「cxr_ono

・.2,・・・乙5。八二，u，二△OE"与△O/?G为正三角形.

..△GE\望ZkC】用r日|G£|=|GF|=2.|AE|=|一VF|=0

.S=SCG-SqgH=¥*（而+0），一¥X（&_&尸=6

2

调研14已知以点。«,一）（feR,且twO）为圆心的圆与x轴交于点。，A,与y轴交于点。，B,

其中。为坐标原点.

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y=—2x+4与圆C交于点M,N,若|°"|=|。珏，求圆。的方程.

【答案】（1）见解析；（2）（“-2）+&'-1）=5_

储=|OC『=「+士

【解析】（1）因为圆C过原点。，所以半价广

/、、，2、2、4

（x-r）+（y—）=r+—

设圆。的方程是tt；

4

令x=0,得y=0,y2=—；令y=0,得玉=0,x2=2tf

Sot8=-|a4|-|O5|=lx|i|x|2/|=4

所以2112t，即△Q4B的面积为定值4.

（2）因为|Qw|=|av|,所以。C垂直平分线段MN.

171

因为右N=-2,所以①C=5,所以7=5人解得f=2或，=一2・

当r=2时，圆心C的坐标为（2,1）,|℃|=6，

此时点C到直线y=—2x+4的距离小,圆C与直线y=—2x+4相交于两点，符合题意;

当1=一2时，圆心C的坐标为|0。|=新，

d=­p>4

此时点C到直线y=—2x+4的距离#,圆C与直线y=—2x+4不相交，

所以，=-2不符合题意，舍去.

综上，可得所求圆C的方程为(“一口+(5-11=5.

调研15在直角坐标系中，已知定圆+厂=36,动圆N过点尸0,0)且与圆M相切，记

动圆圆心N的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设AP是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为8(异于点P),若直线分别交x轴于点

S,T,证明：|0期0刀为定值.

22

【答案】(I)L+工=1;⑵详见解析.

98

2.

【解析】⑴因为点尸(1,0)在""X+U+)'=36内,

所以圆N内切于圆M,则+=6>|皿|,

由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a=6,c=l,则才=94*=8,

22

所以动圆圆心N的轨迹方程为二+工-=1.

98

⑵设产区J。)，'(再jJS(Xs⑼1(均⑼，则8(X1,_y),

由题意知则演一毛，直线AP的方程为】‘一川二七3、一再1,

令"0,得>1->0,同理m'0Ji+J'o,

MOT\=|H/M一再比*用+二'H一再？'9I

于是-y<>y\+>by\,

,\\X2y2玲=8(1-a),)i=8(1-妥

又尸(%,%)和A(%,y)在椭圆《•+与=1上，故99.

9o

yf-Jo1=次毛2-毛)2-再,=8^*(1_^_)-8xf(l-^-)=&毛’-$2)

则999

\0SH0TH一再?''1=1一再一）i=9

火-I'o_（^2-xf）

所以9故|。5限刀为定值.

强佻集训

（

1.（广东省肇庆市实验中学2019届高三第四次月考）已知圆x2+y2-2x+2y-2=0的圆心为C,则圆心C

到直线3x-4y-3=0的距离等于

【答案】C

【解析】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y+1）2=4,可得圆心坐标为（1,-1）,则圆心到直线

|3+4-3|4

3x-4y-3=0的距离4=y+42-=5.故选C.

2.（福建省漳州市2018-2019学年高三第一次质检）直线"=》+3被圆（*+1）2+尸=4所截的弦长为

A.1B.2

C.MD.2或

【答案】D

万

【解析】直线方程可化为x-y+3=o,圆心到直线的距离为<i2+i2，由垂径定理可得半弦

长为\’22-（嫡）2=、2,所以截直线所得弦长为2”,故选D.

3.（山东省济宁市2018-2019学年上学期期末质检）圆4：/+（/-1）2=1与圆。2：（*+4产+（丫-1）2=4的

公切线的条数为

A.4B.3

C.2D.1

【答案】A

[解析】•,GQI="（0+4）2+（1-1）2=4,L=l,七=2,「1+勺=1+2=3....[0©>厂1+小所以

圆G与圆C2相离，有4条公切线.故选A.

4.（四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考）已知两点”（见0）.8（-40）（«>0）,若曲线

,+旷2-2币*-2丫+3=0上存在点「，使得〃1PB=9O。，则正实数a的取值范围为

A.（0,3]B.[1.2]

C.[2,3]D.[1,3]

【答案】D

【解析】因为乙4PB=90。，所以点P在圆，+y2=a2上，又点P还在圆（X-1产+（y-1尸=1上，故

|a-l|<2<a+l,解不等式可得14aS3,故正实数。的取值范围为口，3],故选D.

n

5.（广东省东莞市2019届高三上学期期末调研）过点（0,1）且倾斜角为§的直线/交圆/+'2-6丫=0于4

B两点，则弦AB的长为

A.回B.2g

C.2MD.4M

【答案】D

n

【解析】过点（0，1）且倾斜角为§的直线/为y-\=,即/x-y+1=0,•:圆

/+y2-6y=o即x2+（y_3）2=9,.•.圆心（0,3）,半径-3,圆心到宜线/：\?*7+1=°的距离

|_3+1|_____

d=2=1,.•.直线被圆截得的弦长/=2/亍=4衣.故选D.

6.（安徽省黄山市2019届高三第一次质检）直线2x-y-/=0与y轴的交点为P,点P把圆（x++/=36

的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于

A.2B.3

C.4D.5

【答案】A

【解析】令x=0代入2x-y-\G=0可得P（0,-后,圆心坐标为（-1,0）,则P与圆心的距离为

^1+3=2,半径为6,可知较长一段为8,较短一段4,则较长一段比上较短一段的值等于2.故选A.

7.（广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试）已知点M是抛物线y2=2%上的动点，以点M为圆心的圆

被y轴截得的弦长为8,则该圆被x轴截得的弦长的最小值为

A.10B.473

C.8D.2715

【答案】D

【解析】设圆心M(9,a),而产=®1，圆M的方程为(x_9)'+6'-a/=9+16,当)，=0

22

时，得产_立叮+M_16=0,+x2=a,xtx2=a-16,

4222

A\xt-x:|=J(±+2)2-4、必=va-4a4-64=y/(a-2)4-60>v'60=2V石.故选D.

8.(湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研)已知两点力(-1，0),B(l,0)以及圆C：

(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足加•曲=0,则r的取值范围是

A.[3,6]B.[3,5]

C.[4,5]D.[4,6]

【答案】D

【解析】♦・.〃•丽=°,二点P在以火-1，0),B(l,0)两点为直径的圆上，该圆方程为一+/=1,又

点P在圆。上，•••两圆有公共点.两圆的圆心距d=<3+4?=5,.•.|r-l|45Sr+l,解得4Wr46,故

选D.

9.(福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检)若直线，=》+巾与曲线丁=71T?有且只有一个公共点,

则实数m的取值范围为

A.(-1.1”｛-拘B.1-*,V2)

C.1-1.DU｛嫄｝D.(1.V2]

【答案】C

【解析】卜=、，仁三表示半圆，如图所示，

•••直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,

,1利

d=■一；7——=1

①，解得m=&，m=-衣(舍去);

②代入(-1,0)可得0=-l+m,m=1,代入(i,o)可得0=1+m,m=-1

综上，结合图象可得-14巾<1或相=艰，故选c.

10.（天津市七校2019届高三上学期期中联考）两圆/+丫2+4*-4丫=0和*2+、2+〃-8=0相交于“，N

两点，则线段MN的长为

A.4

C,

【答案】C

【解析】•••两圆为，+J+4X-4尸0①，x2+y2+2x-8=0②，①-②可得x-2），+4=0,...两圆的公共弦所

在直线的方程是x-2y+4=0,；/+/+4."4）=0的圆心坐标为（-2,2）,半径为2斓，.•.圆心到公共

|-2-4+4|2„I2「212f-

G&=eV52（2、⑵2-（方平产=-A/5

弦的距离为冷V1+2Z、，.•.公共弦长=755.故选c.

11.（安徽省安庆市2019届高三上学期期末考试）直线1是圆，+y2=4在（-平，1）处的切线，点P是圆

x2-4x+y2=。上的动点，则点P到直线1的距离的最小值等于

A.1B.隹

C.&D.2

【答案】C

1

1

【解析】圆一+/=4在（-居1）处的切线，的斜率为-中=/,所以切线方程为y-l=G（x+G）,方程

2x^+4

L97d=——反,-二«3+2

为、=其+4,圆（》-2）2+产=4的圆心”（2,0）到直线/的距离为<3+1,所以点P到

直线1的距离最小值等于d-R圆=依，故选C.

12.（北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试）在平面直角坐标系xOy中，过4（4,4）,8（4,0）,C（0.4）

三点的圆被十轴截得的弦长为

A.4B.4衣

C.2D.2M

【答案】A

【解析】根据题意，设过/、B、C的圆为圆其方程为4户63广尸=0,又由/(4,4),B(4,

32+4。+4E+F=0

0"C(0,4),则有16+4D+F=0，解得D=-4,5=-4,尸=0,即圆”的方程为x-y-

16+4E+F=0

-4x-4i-=0,令)，=0可得x、4x=0,解得xi=0,x：=4,即圆与x轴的交点的坐标为(0,0),(4,

0),则圆被x轴截得的弦长为4.故选A.

13.(山东省济南市2019届高三上学期期末考试)过圆C：/+y2-3=0内一点P(2,1)作直线则直线

I被圆C所截得的最短弦长为.

【答案】2*

【解析】圆方程可化为(x-1)2+y2=4,.•.圆心C(1,0),半径-2,=当截得的

弦长最短时，CPU,即P为弦的中点，.•.最短弦长为入口=2\2

14.(湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考)已知圆CH"-。)？+y?=1与圆C/2+V-6x+S=0

外切，则。的值为.

【答案】0或6

【解析】圆小(x-aV+y2=l的圆心为(a，0),半径为I,圆G：/+V-6X+5=°的圆心为⑶。)，

半径为2,两圆外切，所以I。-3|=3,.•.a=(),6,故a的值为。或6.

15.(甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考)在直角坐标系X。7中，抛物线"：尸=2口加＞0)与

圆C：/+丫2-2\/句=0相交于两点，且两点间的距离为水，则抛物线M的焦点到其准线的距离为

此

【答案】H

【解析】圆。C:x2+(y-\，g)2=3,原点。是抛物线和圆的公共点，设另一个公共点为民因为|。8|=#,

n

一Z.OCB=—

故(0「7+£8「7=6=|。8『7，又CO=CB=、H,故AOCB为等腰直角三角形，2.因

=0更

C(0,V3),r=v3(故B(&，病,代入抛物线方程得P一万.故抛物线M的焦点到其准线的距离为2.

16.(江苏省苏州市2019届高三上学期期末调研)在平面直角坐标系xOy中，过点A(l,3),8(4,6),且圆

心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为.

【答案】(x-5)2+(y-2)2=17

【解析】根据题意，圆经过点4(1.3),8(4.6),则圆心在线段AB的垂直平分线上，又由点

4(1.3),8(4,6),则线段AB的垂直平分线方程为2x+2y-14=0,则有■二,解得

即圆心为(5,2),圆的半径/=(5-1尸+(2-3)2=17，故圆的方程为(x-5)z+(y-2尸=17.

17.(江苏省镇江市2019届高三上学期期末考试)已知圆。：x2+y2=l，圆M：(x-a)2+(y-2)2=2,若

圆M上存在点P,过点P作圆。的两条切线，切点为4,B,使得PA1PB,则实数a的取值范围为

【答案】[-2,2]

【解析】由题可得：“圆M上存在点P,过点P作圆。的两条切线，切点为4B,使得尸41P中等价于“圆

M上存在点P,使得仍。|=#"，因为点P在圆M：(x-a)z+(y-2)z=2>所以

7a2+22-^<\PO\<7a2+22+yj2,即必4-04亚4必不+点，解得-2WaW2,故实数

a的取值范围为[-2,2].

18.(北京市大兴区2018~2019学年第一学期期末检测)直线l：y=kx+k与圆乙(*_1)2+产=1交于4B两

点，当A4BC的面积最大时，k的值为.

【答案】士，

【解析】根据题意，直线/：y=fcv+k与圆C：(x-1)2+y2=1交于A,8两点，设圆心C到直线的距离

为d,圆C：(x-1)2+y2=1的圆心C(1,0),半径r=1；则ZUBC的面积

222

S=|xJx2xS1-4/=Jdx(1-d).分析可得当/=；,即d=3时，△A8C的面积最大；此时有

|2川\2J7

d==v，解得&=±上.

19.(江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中考试)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点

4(0,-8),且与圆/+y2-6%-6y=0相切于原点，则圆。的方程为.

【答案】x2+y2+8.v+8.v=0

【解析】已知圆配方得(x-3)2+(y-3)2=18，圆心为(3,3),半径为3#.由于两个圆相切于原点，

而两圆相切，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y=x上.由于圆过点(0.0),(0.-8),所以圆心乂

在直线y=-4上，丫=/口丁=-4联立，求得圆心坐标为(-4,-4),(-4,-4)到原定的距离为4#,故

圆的方程为(x+4)2+(y+4)2=32,即/+yz+8x+8y=0.

20.(广东省茂名市2019届高三第一次综合测试)已知。(0,0),4(-2,2),点M是圆(*-3产+(y-1放=2

上的动点，则A04M面积的最大值为.

【答案】6

【解析】如图，由题设，得圆心C（3,1）,半径「=必，。4=\22+22=2\2,直线。4的方程为x+y=O,

则A04M边。4上的高h就是点M到直线04的距离，圆心C（3,1）到直线04的距离为d="*”=2、2,可

<2

得圆（x-39+（y-I）?=2上的点M到直线。4的距离的最大值为儿皿=d+r=3、2,故A。4M面积的最

X

大值S=OAhmax=；x入2x3V2=6.

21.（山东省新泰市第一中学2019届高三上学期第..次质检）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为圆

M:/+y2-4x=0的圆心，直线［与抛物线C的准线和丁轴分别交于点P,Q,且P,Q的纵坐标分别为3t-；,

2t（teK.t*0）.

（I）求抛物线c的方程；

（2）求证：直线附亘与圆M相切.

【答案】（1）y?=8x;（2）见解析.

【解析】（1）圆心为（2,0）,半径为2,设抛物线C的方程为尸=2/（0>0）,

因为焦点为圆M：/+/-仅=。的圆心，所以p=4,因此抛物线C的方程为y2=8x.

（2）由题意可知，P（-2.3C-）,Q（0,2t）,

2t-（3t__1

则直线PQ方程为，2,