电磁场导论之静电场

电磁场导论之静电场第1页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场22.1基本方程及其微分形式

电磁场的普遍规律——麦克斯韦方程组静态情况下，D/t=0,B/t=0时变电场和时变磁场相互联系、不可分割组成统一的电磁场电场和磁场分为两个独立的部分第2页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场3静电场基本方程的积分形式物理学——积分形式——场中大范围的特性电磁场——微分形式——每个场点上的特性第3页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场42.1.1高斯通量定理的微分形式

将闭合面S缩小，使其包围的体积V0

用哈密顿算子表示

D=

高斯通量定理的微分形式，表明静电场是有散场。物理意义——

D相当于单位体积散发的电通量，即电通量体密度

S物理上定义为电荷密度数学上定义为D的散度divD由divD=第4页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场5所以

这就是数学上的“高斯散度定理”上式把D的体积分转换为D的闭合面积分D表示单位体积散发出的电通量，即电通量体密度。

表示总体积V中散发出的电通量，

V表示穿出闭合面S的电通量S同一个量第5页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场6在直角坐标系中圆柱坐标系和球坐标系中，D的展开式见附录。应用之一：特殊情况下，已知

分布，求D分布（例2-1）

应用之二：已知电场D分布，求体电荷密度（例2-2）第6页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场7例2.1

已知半径为R的无限长圆柱体内均匀分布体电荷，介电常数为ε，试由D=求柱内外的E。解：由于的分布具有轴对称性，

因此D的分布也具有轴对称性，

D只有Dr分量，且只与r有关。柱内（rR），有体电荷分布，满足D=柱外（rR），无体电荷ρ=0，满足D=0应分两个区域分别求解D在柱坐标系下展开简化第7页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场81）在柱内（rR时）由不定积分求解得通解(rR)其中C1为积分常数，因r=0处D=0，故C1=0第8页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场92）在柱外（rR）不定积分求解得

(Rr)其中积分常数C2由分界面边界条件确定(rR)第9页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场10可见，电荷只分布在r≤2的圆柱内，圆柱外无电荷分布。例2.2

已知圆柱坐标系中r≤2时，；r>2时，，求电场中的体电荷分布。解：r≤2时：r>2时：该点有D线发出D>00D线在该点终止D<00D线仅在该点穿过D=0=0第10页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场112.1.2环路定理的微分形式将闭合环路l缩小，其围成的面积S0

环路定理的微分形式，表明静电场是无旋场。数学上定义为E的旋度rotE在面的正法线方向en上的投影分量(rotE)n

由于上式无论l为任何方位时均成立，则意味着在静电场中E的旋度本身为零。所以有

rotE=0

E=0或物理意义:E相当于围绕场点的小闭合回路所对应的单位面积上的E环量，即E环量面密度。

enrotE(rotE)nS第11页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场12由于E相当于围绕场点的小闭合回路所对应的单位面积上的E环量，即E环量面密度。

因此，表示面积S上对应的E环量

它与沿闭合回路l的环量是同一个量

所以

这就是数学上的“斯托克斯定理”上式把E

的面积分转换为E的闭合环路积分第12页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场13可根据场矢量的旋度是否总为零，判断其是否为静电场。直角坐标系中圆柱坐标系和球坐标系中的展开式见附录。例2-3

试判断真空中的下列表达式是否可能是静电场？若可能，求相应的电荷密度第13页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场14解：E1可能是静电场，其体电荷密度为E2决不可能是静电场。第14页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场152.1.3

电场量E和D的衔接条件

取两种电介质分界面上的P点为观察点，围绕P点作一个很小的矩形回路，它与分界面垂直的边长Δh→0，分界面平行的上下两个边Δl分别在分界面的两侧。

E1t=E2t

可见，分界面两侧的电场强度E的切线分量连续。由PE1E1tE2E2t12Δh→021ΔlΔl第15页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场16由于线性、各向同性电介质D=

E，由衔接条件可知得，静电场折射定律由

Δh→012D1D1nD2nD212P分界面上没有面电荷时=0包围分界面上的P点作一个很小的平扁闭合圆柱面

第16页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场17续例2.1前面已求得圆柱体内圆柱体外的通解为由于r=R处无面电荷，根据边界条件：D1n=D2n则得即因此，圆柱体外的电场第17页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场18作业2-1试判断以下的表达式是否可能为静电场？若可能，求相应的体电荷密度。

1）球坐标系中E=（r3+4r2）er

2）直角坐标系中E=2yex+3xey2-2已知半径为R的球体中均匀分布体电荷，密度为，球内外介电常数均为0，试由高斯通量定律的微分形式D=，求：球体内外的电场强度E。R第18页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场192.2电位与电位梯度

2.2.1电位的定义静电场E=0为无旋场，可以用标量电位来描述。

物理意义——

将单位正电荷由P点移到参考点Q电场力所作的功单位V点电荷的电场第19页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场20参考点Q选在无限远处rQ时，表达式最简单分布在有限范围内的任意电荷产生的电位可由叠加原理计算

参考点原则上可以任意选择，应使其表达简式单且有意义。实际工程中，常选大地或机壳为电位参考点。理论计算时，如果电荷分布在无限长或无穷大区域，不能选无限远处为电位参考点。

第20页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场21根据电位定义例如：无限长线电荷的电场中本例中不能选取无限远处为参考点，否则lnrQ，电位表达式无意义。PrPQrQ只能选有限远处为电位参考点因此第21页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场222.2.2电位梯度先来推导：表示对源点坐标(x,y,z)求偏导其中

则

P(x,y,z)r(x’,y’,z’)第22页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场23表示对场点坐标(x,y,z)求偏导由于

得到因此第23页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场24从而得到再来推导E=故可改写为其中由于交换求导、积分次序不影响结果，因此得其中括号内为第24页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场25

E的大小——电位的最大空间变化率，

E的方向——电位减小最快的方向。直角坐标系中在圆柱坐标系和球坐标系中的展开式见附录。当已知电荷分布求电场分布时，可先求得标量电位，然后再由电位梯度求得E矢量。第25页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场26例2-4：电偶极子：一对相距很近的等量异号电荷组成的整体。其特性用电偶极距

p=ql

表示设电偶极子位于球坐标原点，电位参考点在无限远处。由叠加原理可求得电偶极子产生的电位y+qqr1r2rlxz第26页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场27两电荷相距很近

场点P离q很远由电位梯度运算,得电场强度y+qqr1r2rlxz第27页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场282.2.3电力线方程与等位面方程

为了使场形象化，通常绘制电力线图和等位面图。电力线微分方程：E

dl=0在直角座标系中Edl=（Exex+Eyey+Ezez）（

dxex+dyey+dzez）=(Eydz

Ezdy)ex+(Ezdx

Exdz)ey+(Ex

dy

Ey

dx

)ez=0E线上每一点的切线方向与该点的电场强度方向一致。因此E

dl=0可表示为上式积分求解，便得到电力线方程（E线方程）第28页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场29静电场中电位数值相同的点构成等电位面。由E=

可知：等位面与电力线处处正交（垂直）等电位面越密处，电场强度越大

（x,y,z）=k（常数）

等位面方程式中k取不同数值可得到一族等位面例：电偶极子的等位面方程（球坐标系表示）即

取不同K值，对应不同的电位，可画出r对的曲线第29页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场30电偶极子的电力线微分方程电偶极子没有E分量，故积分得

即其中积分常数c可改写为c=lnC，C取不同数值，可画出相应的电力线。则电力线方程为第30页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场31例2-5

等量异号线电荷的几何轴相距为2b。求：周围的电位和场强E。解：1）线电荷产生的电位y

xP(x,y,z）

+t（b,o)

t(b,0)rr+式中r+和r分别为场点P到正、负电荷的距离，r0+和r0-分别为参考点到正、负线电荷的距离。

第31页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场32参考点选在y轴r0+=r0-，简化为

等位线方程用直角坐标系表示为由叠加原理可得整理可得第32页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场33a1h1a2h2a2h2h3a3a4h4a4h4a3h3a2h2h1a1可见：的等位面为一族偏心圆柱面圆柱面的几何轴线在y=0平面上，与z轴平行；值不同，k值将不同，几何轴位置h和半径a随之不同。xy等位面bb第33页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场34即

等位面与线电荷的相对位置具有如下关系：h1h1a1a1a2a2h2h2a3h3h3a3a4a4h4h4xybb第34页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场352）由电位梯度或叠加原理，可求得电场强度E线的微分方程

为积分求解需要，改写为积分求解得其中K=lnc为积分常数，最后的电力线方程第35页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场36圆心在x=0平面上，与z轴距离为y=C/2可见：线电荷的电力线是一族圆；圆周与z=0平面平行，过电轴，并被分为上下两段，均由+发出，在终止，与等位面正交；若令c=2bctgC，则圆的方程可写为对应不同C值，可以画出相应的电力线。电力线方程第36页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场37xyh1h1a1a1a2a2h2h2a3h3h3a3a4a4h4h4线电荷的等电位线与电力线等位面方程电力线方程第37页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场38作业2-4已知电位=8x+5y2+10(V)，求：场点（0，0，0）和（1，1，1）的电位与场强数值

2-6已知同轴电缆外导体的半径为R2=2cm，电介质的击穿场强为200k/cm。内导体的半径R1为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压值。第38页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场392.3静电场的边值问题2.3.1泊松方程与拉普拉斯方程D=(E)=E+E=E+()=没有电荷的场域=0

拉普拉斯方程

D=EE=E=0均匀介质=0=2泊松方程

得第39页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场40在直角坐标系中在圆柱坐标系和球坐标系中，2的展开式见附录。

当场域中的电介质不是完全均匀的，但能分成几个均匀的电介质子区域时，可按各个均匀的子区域分别写出泊松方程或拉普拉斯方程求解；然后利用不同介质分界面上的衔接条件，来确定相应的积分常数。第40页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场412.3.2边值问题的定解条件——场域边界、自然边界、介质分界面衔接条件1）场域（导体）的边界条件

第一类：已知场域边界面S上的电位值，称之为狄里赫利问题

第二类：已知场域边界面S上的电位法向导数值，称之为聂以曼问题

第三类：已知部分场域边界S1上的电位值和另一部分边界S2上的电位法向导数值，称之为混合问题

第41页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场422）自然边界条件

当电荷分布在有限区域，场域延伸到无限远处时，

0。称为自然边界条件。3）

介质分界面上的衔接条件与E1t=E2t等效与D2nD1n=等效第42页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场432.3.3 边值问题的不定积分法

理论计算方法直接求解法:不定积分法分离变量法格林函数法间接求解法:

电轴法镜象法复位函数法保角变换法数值计算法：有限差分法有限元法矩量法模拟电荷法不定积分法——只适用于电位仅与一个坐标变量有关，泊松方程可简化为一个二阶常微分方程，通过不定积分得到通解，确定积分常数，得到满足电位和场强的分布函数表达式。第43页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场44解：只与r有关，与无关、与z无关。

例2-6

同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，电压为U，试由拉普拉斯方程2=0，求介质中的E分布。介质中无电荷分布，满足2=0，在圆柱坐标系下展开简化为不定积分求解得通解为U第44页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场45由场域边界的电位值确定积分常数C1和C2，设外导体r=R2处为电位参考点，内导体r=R1处电位为U，则联立求解得

第45页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场46因而同轴电缆介质中U第46页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场47解：空间电荷分布以x=0平面左右对称，与y、z无关；因此和E的分布也具有对称性,且只与x关。在直角坐标系下展开，泊松方程简化为例2-7已知自由空间中，体电荷密度为由泊松方程求电位及场强E。0xr0(x)(x>0)(x<0)第47页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场481）当x>0时通过一次不定积分，得

再次不定积分，得通解设分界面x=0处为电位参考点，则第48页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场49由于ρ对称于分界面x=0，x=0处，E=0即则因而

(x<0)2）由于x=0平面左右两侧的电荷分布对称,由对称性，同理可得x0区域的电位解(x>0)第49页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场50两个区域中场强解可合并为3）电场强度可通过电位梯度运算得到两个区域中场强解可合并为第50页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场512.3.4静电场的唯一性定理

静电场问题通常难以通过泊松方程或拉普拉斯方程求解，须采用其他方法求解。

静电场的唯一性定理：在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的解，是给定静电场的唯一正确解。注意：应同时满足以下三个条件1）多区域时，应分别满足各自场域的微分方程2）在场域的边界面上，应满足给定的边界条件3）不同介质分界面上，应符合分界面衔接条件第51页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场52解：判断依据——唯一性定理：既满足泊松方程,又满足边值

d0=U0例2-8

试判断以下表达式哪个是图示问题的正确解？x0derU0第52页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场532是正确解3也是正确解?4也不是解1绝不是解x0derU思考：为何两个正确解？E=

唯一第53页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场54例2-9

同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2，中间为两种介质，介电常数分别为1和2，分界面过直径，电压为U。试说明两种介质中的E相同。

Ue1R1e2R21中满足21=02中满足22=0解：1内外边界电位差为U2内外边界电位差为U且分界面两侧场强切线分量E1t=E2t因此，根据唯一性定理，可知E1=E2第54页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场55作业R

202-10图示长直圆柱体半径为R，表面电位为U，其中均匀分布体电荷密度为

，介电常数为20，试由泊松方程求圆柱体内的电位和场强。

第55页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场562.4镜像法与电轴法2.4.1导电平面镜像接地导电平面存在感应电荷合成场强E不再具有球对称性无限大接地导电平面上方有一个点电荷q，既无法由高斯通量定理求解，也无法由拉普拉斯方程求解。q2=0=0E=0–––––––第56页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场57对照q在无限大空间产生的电场：根据唯一性定理，可以判定这两个问题的上半空间电场解答是相同的。等效点电荷–q代替面电荷镜像电荷大小——–q位置——–h

q

q=02=0E1hhq2=0=0E=0–––––––h第57页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场58上半空间的电位和场强可由叠加原理得到

q

q=02=0E1hh第58页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场59

解：地面和墙壁均为零等位面，场域中除点电荷所在位置之外，其它场点均满足拉普拉斯方程。

aabbba

-qq-q2=0=0=0IIIIIIIVqba例2-10

求图示地面和墙壁附近的点电荷q所受的电场力。2=0baq=0=0第59页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场60一般来说，若两导电平面夹角为，可用镜象法求解此时镜象电荷数目为个，且都在求解区外。否则，镜像电荷必会落在求解区之内，不能用镜像法求解。qq

q

q第60页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场612.4.2介质平面镜象分界面存在极化电荷，影响两侧的电场分布。（1）1中，除q所在位置外，满21=0；（2）2中，处处满足22=0；

1

2（a）qh（3）分界面上，满足衔接条件1=2边值问题––––P–––第61页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场62111qq/r1r2h

h22q//hr2对于分界面上的P点，r1=r2=r=rP，由衔接条件1=2确定镜像电荷联立求解，得第62页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场63镜像法小结实质——等效电荷代替不均匀面电荷依据——静电场解答的“唯一性定理”关键——确定等效电荷的大小和位置注意——镜像电荷必须在求解区之外计算——多个点（线）电荷电场叠加第63页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场642.4.3球面镜象除q位置外，满足2=0无限远处（r）=0

1.点电荷q在接地导体球外导体球接地，球面R=0球面存在不均匀面电荷确定镜像电荷球面电位

d

q

R

R等位面方程r1r2q2

q

R

db即得第64页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场652.点电荷q在不接地导体球外除q所处位置外，空间中满足2=0；电荷分布在有限范围内,无限远处（r∞），0；q"qbdq'RRdq导体球面等电位，但R0；导体球面上有等量异号感应电荷；负感应电荷——用q’代替，正感应电荷和原有电荷——用q''代替。镜像电荷第65页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场66q//的大小分三种情况讨论1）若球面原来带电Q

，由q=q'+q"=Q

2）若球面原来不带电3）若已知球面电位

Rq"qbdq'R得由得第66页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场67例2-12

半径R=0.1m的不接地导体球原先带电量Q=10-6库仑，离球心距离d=0.2m处有一点电荷q=10–5C，求点电荷q受力。dqRQ由库仑定律可求得点电荷之间的作用力F=F+F=20+13.5=6.5牛顿思考:本例中点电荷q与导体球电荷Q带同号为何相吸？解：先确定镜像电荷的大小和位置

qq/q//bd第67页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场68例2-11

无限大接地导板上有一凸起的半球体，正上方有一点电荷q。求：半球体上的最大场强。qhR3）由叠加原理计算A点的最大场强2）撤去平面，用镜像电荷–q和–q代替平面上的感应电荷

–q/–qdb解：1）撤去半球面，用镜像电荷q代替球面上的感应电荷q/bqdA第68页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场692.4.4电轴法adxa

电气和通信工程中常遇到两根长直、平行、圆柱导体的电场边值问题（1）两根圆柱导体外的空间，处处满足2=0；（2）两根圆柱导体表面分别为等电位面；（3）两根圆柱导体表面分别有等量异号电荷。xybbaahh(x,y)r1r2例2-5曾讨论过，线电荷的等位面是一族偏心园，且有以下关系第69页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场70电轴法解题步骤daax1）将两个圆柱面撤去，导体表面电荷用等效电轴代替，aa2）设坐标系原点在电轴中间hhbby3）根据圆柱导体的半径a和位置h，确定电轴位置4）由叠加原理计算两平行圆柱导体外的电位(x,y)r1r2第70页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场71例2-13

半径分别为R1和R2的两长直圆柱导线几何轴间距为d，分别带等量异号电荷，求导线外的电位分布及A、B两点的场强。

解：标明等效电轴的位置，取其中间为坐标原点由联立求解得求等效电轴到原点的距离BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2

h2h1d则圆柱导体外电位分布为第71页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场72由E=或叠加原理求得场强对于图示A点

为正值,对于图示B点

为负值,yB=0

BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2

h2h1d第72页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场732-15

两种电介质分界面附近有一点电荷q=1C，距离分界面h=2cm。求：

1）点电荷q所受的力

2）图示A点的电位

3）图示B点的电场强度E

4）穿过分界面进入2中的电通量A1cm2cmq

B1r=12r=2.52cm

作业2-17

不接地导体球半径R=0.1m，原先不带电。距离球心0.2m处有一点电荷q=106库仑，周围为空气。求：

1）球心的电位值（0）；

2）球面的电位值（R）；

3）点电荷q

所受的力f

dqR第73页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场742.5多导体系统的部分电容

2.5.1两导体间的电容单位：F

电容的大小只与两导体的形状、尺寸、相对位置及导体间的介质性质有关，而与是否带电及电量大小无关。孤立导体的电容——

看为另一导体在无限远处电容计算假设qE假设U第74页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场75解：设等效电轴到坐标原点距离为b。

由电轴法可确定两导线间电压一般来说

ha，bh，传输线向单位长度的电容可简化为+hbhb例2-14

求：传输线单位长度的电容。第75页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场762.5.2多导体系统的部分电容静电独立系统：

（n+1）个导体构成的静电独立系统q=0

q1

11#q2

2

2#q3

3

3#0#

电场分布只与系统内各带电体的形状、尺寸、相互位置及电介质性质有关，而与系统外带电体无关；

所有电位移D线全部从系统内带电体发出，全部终止于系统内带电体。第76页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场771）各带电体电位与各导体电荷之间的关系称为电位系数：下标相同的ii称为自有电位系数；下标不同的ij称为互有电位系数。只与各导体自身的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；

所有电位系数都是正值；

自有电位系数ii大于与它有关的互有电位系数ij互有电位系数具有互易性ij=ji第77页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场78例2-16

图示地面附近有两个半径为R1的带电小球，电量分别为q1和q2，可看为集中在球心上。选地面为0号参考导体，求：该系统的电位系数。

q1q1

q2

q2h2h2Ddh1h1解：考虑到地面感应电荷的影响，应看作是由三个导体组成的静电独立系统。将地面影响用镜像电荷代替，则有

令q10，q2=0，可得则令q20，q1=0，可得

则令q20，q1=0，可得则其中第78页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场792）各带电体的电荷与各导体电位的函数关系式称为静电感应系数:下标相同的ii称为自有感应系数，下标不同的ij（ij）称为互有感应系数。

只与导体的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；

自有感应系数ii都是正值；互有感应系数ij都是负值；

自有感应系数ii大于与它有关的互有感应系数的绝对值ij

。

互有感应系数具有互易性ij=ji

第79页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场803）各导体与其它导体之间的电压Ukj分析实际问题时，常将中的电位改写为各导体之间的电压Ukj来表示。

例如

因此，方程组改写为

C

称为部分电容:主对角线元素Cii称为自有部分电容，非对角线元素Cij（ij）称为互有部分电容。

第80页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场81C只与导体的几何形状、尺寸、相互位置及介质的介电常数有关；部分电容具有以下性质：

n+1个导体的独立系统，共有n（n+1）/2个部分电容。自有部分电容代表各导体与0号导体之间的部分电容；互有部分电容代表非参考导体之间的部分电容。

三相电缆与外壳组成四导体系统，共有６个部分电容。AC10C20C30C12C23C31BC

所有部分电容都是正值；

互有部分电容具有互易性Cij=Cji第81页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场82+V2#3#G1=2=31#q11你能根据方程组设计测量部分电容的实验方法吗？q1j21#3#2#-V+3=01=0G第82页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场83等效电容的概念——从两个导体看进去的入端等效电容

可通过Y变换和串并联化简得到,一般来说C10=C20=C30，C12=C23=C31；

Y变换时C=CY/3；Y变换时CY=3CCABC10C20C30C12C13C23CABAC10C20C30C12C23C31BCCAB第83页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场842.5.3静电屏蔽

C121#2#部分电容使导体之间会相互影响

当用不接地导体将某导体包围0#C20C10对于三导体组成的静电独立系统若外导体带电，仅在0#导体外表面感应电荷q0=–q2，不会在内部产生电场，因此对内导体实现静电屏蔽。若内导体带电，则在0#导体内外分别产生q0，内外电场都会受到影响，外导体的电位U20和电荷q2都会改变，不会产生屏蔽效果。

当用接地导体将某导体包围虽然q1使0#导体内表面产生感应电荷–q0，但外表面没有+q0，不会改变外导体的电位U20和电荷q2，从而对内外导体均实现屏蔽。第84页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场85作业0

hR2-20

半径为R的长直圆柱形导体离地面高度为h，求以下两种情况时单位长度导线与大地之间的电容C0。1）考虑大地的影响(需用电轴法)；2）忽略大地的影响（孤立导体）。2-21同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2

，绝缘材料的介电常数为30

。求：单位长度的电容C0。UR2R1第85页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场862.6电场能量和电场力

静电场中储存着能量，它在电场建立过程中，由外源做功转化而来。2.6.1外源做功转化为电场储能

对于线性介质，使电荷达到最后的分布需要做的功是一定的，与实现这一分布的方式和过程无关。充电方式之一：假设所有电荷密度都按同一比例m增加。充电开始时m=0，各处都没有电荷，(0)=0；充电终了时m=1，各处都达到电荷密度最终值；在充电过程中0m1，各处都按同一比例增加(t)=m第86页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场87因此,将q移至电场内，外源作功为由于/

=m

表示某一时刻移动单位电荷所作的功充电全过程，外源作功转化的静电场能量为考虑到可能存在面电荷，则电场能量积分公式为A='q=(m)(mdV)任一瞬时，电荷密度增量mm第87页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场88注意：正确理解公式中各项的含义表示体电荷单独产生的电能？

表示面电荷单独产生的电能？

表示储存在体积V中的电能？

表示储存在面积S上的电能？

导体系统的储能由于电荷只分布在导体表面，每个导体表面是等位面第88页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场89例2-18

双线传输线导体半径均为R，几何轴间距为2h，电压为U，求：单位长度储存的电场能量。

R2hxRU解：双线传输线电场蔓延至无界场域由因此，单位长度储能为

第89页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场902.6.2电场能量分布及其密度=D=D

nE=

互相抵消空腔内表面S1导体外表面S1r∞时积分为零V'n导体S'1因此电场储能第90页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场91对于线性、各向同性介质由此，既可求整个场域中的能量，也可求得局部场域中的静电能量。可见，电场能量是分布在场域中每个场点上的静电能量体密度单位：J/m3例2-17

已知半径为R的球形空间均匀分布体电荷密度ρ。求电场中的静电能量。0R0解法一：由电荷积分公式计算

（rR时）

第91页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场92球外：球内外电场总储能：解法二：由电场积分公式计算球内：可见，两种解法结果相同，但后者可计算局部场域储能0R0第92页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场932.6.3点电荷系统的互有能量E=E1+E2++En

假设点电荷q1、q2、qn单独存在时产生的场强分别为E1、E2En

，则合成场强自有能量——将许多元电荷dq从无限远处移来，压缩成点电荷qj需要做的功；互有能量——由于电荷之间相互作用引起，随电荷间相互移近或离远而改变。利用求解点电荷系统的能量时，其中k应不含自身产生的电位第93页，共103页，2023年，2月20日，星期一*第二章静电场942.6.4虚位移法求电场力虚位移法——基于虚功原理求电场力的方法。1）广义坐标和广义力广义坐标——确定系统中各导体的形状、尺寸和相互位置的一组独立几何量。广义力——企图改变某一广义坐标的力。

力与能量具有密切联系。广义力的物理含义与所选用的广义坐标有关，两者的乘积应等于功（能）。

广义坐标广义力乘积长度L（m）一般的力（N）F·dl=dA（N·m）面积S（m2）表面张力（N/m）T·ds=dA（N·m）体积V