四川省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

四川省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（每小题5分，满分150分）

1.设集合A={x|x+2=0},B={-2,2},则AcB=（）

A.{-2}B.{2}C.{-2,2}D.0

4

2.已知sina=可，并且a是第二象限的角，那么tana的值等于（）

_43.J.1

A.-3B--4C.4D.3

3.若直线11：ax+2y-8=0与12：x+2y+4=0平行，则a的值为（）

A.-2B.1或2C.1D.1或-2

4.等比数列-3,-6,...的第四项等于（）

A.-24B.-9C.-12D.24

5.已知向量㊀=（1,M）,b=（3,V3）,则a与b的夹角为（）

A.90°B.60°C.30°D.150"

6.将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之

与笔所在的直线（）

A.平行B.相交C.异面D.垂直

7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）

1

俯视图

A.21+73B.18+73C.21D.18

JU7T

8.直线2xcos。-y-3=0(6£[-丁,~])的斜率的变化范围是()

A.[乎，6]B.[1,V3]C.[1,+8)D.(-00,-V3]

9.已知m,n为异面直线，m_L平面a,n_L平面0.直线1满足l_Lm,1J_n,IQa,1邓,

则()

A.a〃B且J〃aB.a，B且11.0

C.a与B相交，且交线垂直于ID.a与0相交，且交线平行于1

10.设函数y=x3与y=弓)x-2的图象的交点为(X0,y0),则xo所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

11.如图：在三棱锥A-BCD中，PGAC,QeBD,若VA-BPQ=6，VB-CPQ=2，VQ.

PCD=8,则三棱锥A-BCD的体积VA一BCD为()

12.某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂

号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假

定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现

排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信

息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

二、填空题（每小题5分，满分20分）

13.过原点与（-3,“）的直线的倾斜角a=.

14.点A（2,6）到直线3x-4y=2的距离是.

15.已知P（-2,1）,Q（2,t）.点M为直线y+l=0上的动点.若存在以PQ为直径

的圆过点M,则实数t的取值范围为.

16.正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,在此棱柱内放入一个半径为1的小球，当

小球在棱柱内部自由运动时，则在棱柱内部小球所不能到达的空间的体积为.

三、解答题（共70分）

17.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证:

AF〃平面PEC.

18.已知A(1,1),B(2,2).动点P(2a,a),t=PA2+PB2,当实数a为何值时t取

得最小值？并求当t取最小值时点P的坐标.

19.已知aABC的三个顶点分别为A(1,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求直线AB的方程.

(2)求BC边上的中线所在直线方程.

20.已知函数f(x)=icos(2x--y~)-ycos2x,xGR.

(1)求f(x)的最小正周期.

(2)求f(x)在区间[-gTF,丁JT]上的最大值和最小值.

21.如图：AB±ffiBCD,BC=CD,ZBCD=90°.NADB=30。，E,F分别是AC,AD

的中点.

(1)求证：平面BEFJ_平面ABC

(2)作BG〃CD,求证：BG是平面BEF与平面BCD的交线.

22.在直棱柱ABC-A[B[C]中，平面A]BC,平面A]ABB],且AA】=AB=BC=2.N

为B]Ci中点.

(1)求三棱锥N-A[BC的体积.

(2)求证：AB±BC

(3)(文科做)求AC与平面A|BC所成角的大小.

(理科做)求锐二面角A-A|C-B的大小.

1

参考答案

一、单项选择题.

1.A.2.A3.C.4.A.5.C.6.D.7.A.8.B.9.D.10.B.

11.D.12.A.

二、填空题._

13.解：过原点与(-3,V3)的直线的斜率：-岑.

设直线的倾斜角为：a,

贝!]tana=-乂3,

3

可得：a=120°.

故答案为：120。.

13X2-261

14.解：点A(2,6)到直线3x-4y=2的距离----f=4,

V32+(-4)2

故答案为：4.

15.解：以PQ为直径的圆的圆心坐标为(0,今■),半径为可16+(广1)2,

•.•点M为直线y+l=0上的动点，存在以PQ为直径的圆过点M,

,1芳雪11<y>/16+(t-1)2-

.♦.tWl.

故答案为：tWl.

16.解：在正四棱柱的8个顶点处的单位立方体空间内，

小球不能到达的空间为：8(1--^-x4xnxi3)=8-2H,

833

除此之外，在以正四棱柱的棱为一条棱的4个四棱柱空间内，

小球不能到达的空间共为4X[2X2X1-(―XnX12X1)]=16-n.

4

其他空间小球均能到达.

故小球不能到达的空间体积为：8-2n+16-n=24-1二.

33

故答案为：24-号

三、解答题

17.证明：取PC的中点M,连结FM,EM.

VF,M是PD,PC的中点，

.,.FMJL—CD,

~2

'：四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点,

.♦.AEJL^CD,

—2

...四边形AEMF是平行四边形，

.,.AF/7EM,

又AFQ平面PEC,EMU平面PEC,

.♦.AF〃平面PEC.

18.解：PA2=(2a-1)2+(a-1)2=5a2-6a+2,PB2=(2a-2)2+(a-2)2=5a2-12a+4,

.,.t=PA2+PB2=10a2-18a+6,

•••当a=-端时,t取得最小值.

此时P点坐标为(孑，

510

19.解：(1)kAB-y^=-［，

1-52

二直线AB的方程为:y-O=-y(x-5),

化为：x+2y-5=0.

(2)线段BC的中点D(等，等)，

即D(4,2),

kAD=0.

••.BC边上的中线所在直线方程为：y=2.

20.解：(1)函数f(x)=-^cos(2x---^cos2x=-^-cos2x»-^+^-sin2x»^^---^cos2x

q^sin2x-L:OS2X」-(W^sin2x-L:OS2X)=-^-sin(2x-

4422226

故函数f(x)的周期为等

冗冗11八冗5兀冗i

（2）在区I可[-f,上，2x---G[r----,,

J40oo

故当2x-===时，函数f（x）取得最大值为返；

634

JTTT1

当2x-4=-时，函数f（x）取得最小值--i-.

022

综上可得，f（X）在区间子]上的最大值为斗，最小值为

21.证明：（1）VE,F分别是AC,AD的中点，；.AE=EC,AF=FD；

，EF〃CD

又：AB，面BCD,AAB±CD,

AB1CD,BClCDlCD1平面ABC]“

一=CD,平面ABC,,?„=EF〃平面ABC

ABCIBC=BJEFCDJ

EF//平面ABC]=平面BEF,平面ABC

EFU平面ACD

得证

解：（2）连接GD,作AB的平行线，连接AM,MD（如图所示），延长EF交MD于N.

VE,F分别是AC,AD的中点,；.AE=EC,AF=FD；BG〃

CD/7AM

.,.EF/7CD,FN〃AM.N必为MD的中点，

；EN〃BG,EN=BG.；.BGNE是平行四边形.

同理：BGCD是平行四边形.

二平面BGDCn平面BGEN=BG

.♦.作BG〃CD,BG是平面BEF与平面BCD的交线.证毕.

22.解：（1）连结AB],2直棱柱ABC-AiBiCi，AB=AA]=BC,

四边形ABB]Ai，BB[C]C是正方形，

...AB」A[B,BC±BB],

又平面A]BC_L平面AiABBp平面A]BCc平面A]ABB1=A]B,

；.AB|_L平面A]BC,又BCU平面BB[C]C,

/.AB|±BC,又BB[U平面ABB,,AB]U平面ABB[A],BBlnABpBi，

，BCJ_平面ABB(A],

111?4

，VN-A】BC=Vfi1-A1BC=VC-ABB=^-SAX—X2X2=7r.

111115iAAiDiDA0BBL5

(2)由(1)得BCJ_平面ABBiA1,又ABU平面ABB]Ai，

ABCIAB.

(3)(文科)设AB]CAiB=O,连结CO,

由(1)可得AB]J_平面A]BC,

...ZACO为AC与平面A,BC所成角.

；AB=BC=AAi=2,

.•.AO^AB广'历AC=2b,

.♦.sin/ACO&J,

AC2

AZACO=30°,即AC与平面A]BC所成角为30。.

(理科)以B为原点，以BC,BB],BA为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz,

则B(0,0,0),A(0,0,2),C(2,0,0),A,(0,2,2),B,(0,2,0).

・•.

...A[C=(2,-2,-2),AC=(2,0，-2),A