初中数学 文档：正方形精彩对对碰_第1页
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文档简介

正方形精彩对对碰正方形集矩形、菱形的特性于一身，尽显数学的对称、和谐、简洁之美．以正方形为基架而设计的考题同样也是璀璨夺目、精彩四射，请看例题．一、探索性问题例1如图1，将一张矩形纸片折叠，使落在边上，然后打开，折痕为，顶点的落点为．你认为四边形是什么特殊四边形？请说出你的理由．AADCBEFADCBADCB图1解析：解折叠问题的关键是抓住轴对称的性质：折起图形与被折图形是全等形．四边形是正方形．理由：因为四边形是矩形，所以．由于与折叠后重合，所以．所以四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．又因为，折叠后重合，．所以四边形是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．例2在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图2①．图2图2（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．解析：这是一道结论探索题，可先借助刻度尺对三种情形分别进行测量，易发现①中存在关系式：BE=DF+EF；②中存在关系式：DF=BE+EF；③中存在关系式EF=BE+DF．下面以①中关系式为例予以证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=900，．∵BE⊥PA，DF⊥PA，∴∠AEB=∠DFA=900，∴∠ABE+∠BAE=900，∠BAE+∠DAF=900．∴∠ABE=∠DAF，∴△ABE≌△DAF，∴AE=DF，BE=AF．而AF=AE+EF=DF+EF，∴BE=DF+EF．二、证明题例3如图3，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F．求证：PM=QM．分析：欲证PM=QM，可证△MEQ≌△MFP，已具备条件∠P=∠Q＝，∠QME=∠PMF，尚缺少一组对应边：PF=QE．证明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，图3∴∠QCB＝∠PCD＝30°．图3又∵BC＝CD，∠PBC＝∠QDC，∴△EBC≌△FDC，∴CE=CF．又∵CQ=CD=BC=CP，∴PF=QE． 又∵∠P=∠Q，∠QME=∠PMF，∴△MEQ≌△MFP，∴PM=QM． 图4∴△MEQ≌△MFP，∴PM=QM． 图4例4如图4，为正方形边的中点，是延长线上的一点，，且交的平分线于．（1）求证：；（2）若将上述条件中的“为边的中点”改为“为边上任意一点”，其余条件不变，则结论“”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．分析：易知，故本题的解题关键是添加适当的辅助线，构造出一个内角为与全等的三角形

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