统计预计与决策复习资料

本文格式为Word版，下载可任意编辑——统计预计与决策复习资料1、德尔菲法预计产品的未来销售量

某公司研制出一种新产品，现在市场上还没有相像产品出现，因此没有历史数据可以获得。但公司需要对可能的销售量作出预计，以决定产量。于是该公司成立专家小组，并聘请业务经理、市场专家和销售人员等8位专家，预计全年可能的销售量。8位专家通过对新产品的特点、用途进行了介绍，以及人们的消费能力和消费倾向作了深入调查，提出了个人判断，经过三次反馈得到结果如下表所示。

单位：（千件）第一次判断专家编号12345678平均数最低销售量500200400750100300250260345最可能最高销销售量售量7504506009002005003003005009006008001500350750400500725最低销售量600300500600220300250350390其次次判断最可能最高销销售量售量7505007007504005004004005509006508001500500750500600775最低销售量550400500550350320400370430第三次判断最可能最高销销售量售量7505007006105206205304105809006708001250620750600610775分析过程和预计结果（1）在预计时，最终一次判断是综合前几次的反馈做出的，因此一般取后一次判断为依据。则假使依照8位专家第三次的平均值计算，则预计这个新产品的平均销售量为：

430?580?775?595（千件）

3（2）将最可能销售量、最低销售量和最高销售量分别按0.50、0.20和0.30的概率加权平均，则预计平均销售量为：

580?0.5?430?0.2?775?0.3?600.5（千件）

（3）用中位数计算，可将第三次判断按预计值高低排列如下：最低销售量：320350370400430500550最可能销售量：410500520530600610700750最高销售量：6006106206707508009001250中间项的计算公式为

n?1(n?项数)2最低销售量的中位数为第四项，即400。

最可能销售量的中位数为第四、第五项的平均数，即565。最高销售量的中位数为第四、第五项的平均数，即710。

将可最能销售量、最低销三售量和最高销售量分别按0.50、0.20和0.30的概率加权平均，则预计平均销售量为

565?0.5?400?0.2?710?0.3?655.5（千件）

需要说明的是，假使数据分布的偏态较大，一般使用中位数，以免受个别偏大或偏小的判断值得影响；假使数据分布的偏态比较小，一般使用平均数，以便考虑到每个判断值的影响。

2、主观概率法预计房产需求量

某地产公司预计某区2023年的房产需求量，选取了10位调查人员进行主观概率法预计，要求预计误差不超过?67套。调查汇总数据如下表所示。累计概率被调查人0.010编号（1）12345678910平均数21111978204421562200186721562000208922220.125（2）21442100210021672211198922002056210022440.250（3）21562133213321782222200022222067211122440.375（4）22002156214421892244204422892100212222780.500（5）22222200224422002278211123112133213323000.625（6）22442222226722112311213323562167214423220.750（7）22672267228922222333215624002200215623560.875（8）22782278231122332356217824332222216723670.990（9）2311250024442244240022002489227821782444房产需求量（套）2082.32131.12146.62176.62213.22237.72264.62282.32348.8分析过程与预计结果（1）综合考虑每一个调查人的预计，在每个累计概率上取平均值，得到在此累计概率下的预计需求量。由上表可以得出该地产公司对2023年需求量预计最低可到2083套，小于这个数值的可能性只有1%。

（2）该集团公司2023年的房产最高需求可到2349套，大于这个数值的可能性只有1%。（3）可以用2213套作为2023年该集团公司对该区房产需求量的预计值。这是最大值与最小值之间的中间值。其累计概率为50%，是需求量期望值的估计数。（4）取预计误差为67套，则预计区间为：（2213-67）~（2213+67），即商品销售额的预计值在2146套~2280套之间。

（5）当预计需求量在2146套和2280套之间，在第（3）栏到第（8）栏的范围之内，其发生概率相当于0.875-0.250=0.625。也就是说，需求量在2146套~2280套之间的可能性为62.5%。

3、某时装公司设计了一种新式女时装，聘请了三位最终经验的时装销售人员来参与试销和时装表演活动，预计结果如下：

甲：最高销售量是80万件，概率0.3；最可能销售量是70万件，概率0.5

最高销售量是60万件，概率0.2

乙：最高销售量是75万件，概率0.2；最可能销售量是64万件，概率0.6

最高销售量是55万件，概率0.2

丙：最高销售量是85万件，概率0.1；最可能销售量是70万件，概率0.7

最高销售量是60万件，概率0.2运用销售人员预计法预计销量。解：由题目数据建立如下表格：推销员甲各种销售量估计（万件）最高销售量最可能销售量最低销售量807060概率0.30.50.2期望值（万件）243512?乙总期望值最高销售量最可能销售量最低销售量7564558570601.00.20.60.21.00.10.70.21.0711538.41164.48.5491269.5?丙总期望值最高销售量最可能销售量最低销售量?总期望值（1）对上述三个销售人员最高、最可能以及最低销售量分别取期望。

（2）分别对三个销售人员的最高、最可能以及最低销售量的期望值加总，求得个人销售量预期的总期望值。

（3）对三人的总期望值去平均数

71?64.4?69.5?68.3(万件)

3最终以68.3万件为下一年的销售量预计。

4、运用差分法确定以下数据适合的模型类型：时序（t)12345678910689.38717.14747.29776.29806.75834.93863.21892.98921.5950.77解：对时序数据进行一次差分处理时序（t)12345678910ytyt?－27.7630.152930.4628.1828.2829.7728.5229.27689.38717.14747.29776.29806.75834.93863.21892.98921.5950.77从以上的时序数据一阶差分yt?可以看出，序列在一阶差分后基本平稳，yt?在28左右波动。符合一次线性模型的差分特性。因此该时序数据适合用一次线性模型拟合。

5、以下是某个时间序列数据，请确定适合的阶数，并用自适应法计算最优的自回归系数。时间t123时间序列1.462.31.53时间t8910时间序列4.243.423.75时间t151617时间序列6.556.836.434567P=20.630.47解：（1）P=2

1.932.522.863.53111213143.044.745.876.61819207.337.689.94（2）?1?0.63，?2?0.47

a)判断以下时间序列?yt?是否为宽平稳，为什么？

①yt?x，其中x~N?0,1?；

2②yt??t?2?t?1，其中??t?~WN0,?；2③yt?yt?1?0.5yt?2??t，其中??t?~WN0,?；

2④yt??tcos?ct???t?1sin?ct?，其中??t?~WN0,?，c为一非零常数；

??????⑤?yt?独立同分布，听从柯西分布；

答：①宽平稳；②宽平稳；③宽平稳；④不平稳；⑤不平稳；6、已知如下表的时间序列，“+〞表示经济扩张，“—〞表示经济收缩。要求：（1）求出各序列的扩散指数。（2）画出扩散指数曲线图。（3）标出景气扩张的峰点和谷点。（4）景气循环的周期长度是多少？t1++—+—2++++—3+—+—+4—++——5—+———6+——+—7+——++8+++++9++—++10—+—++11———+—12+——+—Y1Y2Y3Y4Y5解：

（1）60%，80%，60%，40%，40%，60%，100%，80%，60%，20%，40%（4）6

7、设参考序列为Y0??170,174,197,216.4,235.8?

被比较序列为Y1??195.4,189.9,187.2,205,222.7?，Y2??308,310,295,346,367?试求关联度。

15答：?1???01?k??0.5552

5k?115?2???02?k??0.6201

5k?1?2??1，所以Y2和Y0的关联程度大于Y1和Y0的关联程度。

案例六、

8、国民经济各部门关联度分析。工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：工业：X1??45.8,43.4,42.3,41.9?农业：X2?(39.1,41.6,43.9,44.9)运输业：X3??3.4,3.3,3.5,3.5?商业：X4??6.7,6.8,5.4,4.7?

参考序列分别为X1,X2，被比较序列为X3,X4，分析过程与结果

（1）以X1为参考序列求关联度。

第一步：初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。因此：

???1,0.9475,0.9235,0.9138?，X2???1,1.063,1.1227,1.1483?X1???1,.097,1.0294,1.0294?，X4???1,1.0149,0.805,0.7?X3其次步：求序列差?2??0,0.1155,0.1992,0.2335?

?3??0,0.0225,0.1059,0.1146?，?4??0,0.0674,0.1185,0.2148?第三步：求两极差

M?maxmax?i?k??0.2335，m?minmin?i?k??0第四步：计算关联系数取ρ=0.5，有：?1i?k??0.11675,i?2,3,4

?i?k??0.11675从而：?12?1??1，?12?2??0.503，?12?3??0.3695，?12?4??0.3333，

?13?1??1，?13?2??0.8384，?13?3??0.5244，?13?4??0.504，

?14?1??1，?14?2??0.634，?14?3??0.4963，?14?4??0.352第五步：求关联度

?12141414???12?k??0.551，?13???13?k??0.717，?14???14?k??0.6214k?14k?14k?1计算结果说明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。（2）以X2为参考序列求关联度。第一步：初始化，同上。

其次步：求序列差?1??0,0.1155,0.1992,0.2335?，

?3??0,0.093,0.0933,0.1189?，?4??0,0.0481,0.3177,0.4483?，

第三步：求两极差

M?maxmax?i?k??0.4483，m?minmin?i?k??0第四步：计算关联系数取ρ=0.5，有：?2i?k??0.22415,i?1,3,4

?i?k??0.22415从而：?21?1??1，?21?2??0.66，?21?3??0.53，?21?4??0.489，

?23?1??1，?23?2??0.706，?23?3??0.706，?23?4??0.653，

?24?1??1，?24?2??0.823，?24?3??0.415，?24?4??0.333第五步：求关联度

?21141414???12?k??0.670，?23???13?k??0.766，?24???14?k??0.643

4k?14k?14k?1计算结果说明，运输业和农业的关联程度大于工业、商业和农业的关联程度。

9、某厂准备生产一种新的电子仪器。可采用晶体管分立元件电路，也可采用集成电路。采用分立元件电路有经验，确定成功，可获利25万元。采用集成电路没有经验，试制成功的概率为0.4。若试制成功可获利250万元，若失败，则亏损100万元。

（1）以期望损益值为标准进行决策。（2）对先验概率进行敏感性分析。

（3）规定最大收益时效用为1，亏损最大时效用为0.决策者认为稳得25万元与其次方案期望值100万元相当。要求用效用概率决策法进行决策，并与（1）的决策结果比较。答：（1）第一方案，即采用分立元件电路,确定收益为25万元，其次方案，即采用集成电路，期望收益为

250*0.4-100*0.6=40万元显然最优方案为其次方案。

（2）计算其次方案的期望收益时，用到先验概率。设采用集成电路成功的概率为p,根据

方案的期望收益相等求出临界概率。由250*

p-100*（1-p）=25得到p=0.357.故只要采

用集成电路成功的概率大于0.357，决策结果都不变，都得到其次方案为最优方案

（3）用效用概率决策法。显然，第一方案稳得25万元的效用值与其次方案期望值为100万元的效用相等。由（1）知道，其次方案期望值为40万元，故其效用值要小于第一方案的效用值。因此，根据效用期望标准，应当是第一方案最优。这与（1）结果相反。

10、要购买一台机器，希望它的功率大，自重轻，价格低。但是对三种指标重视程度不同，重视自重的程度为重视功率的三倍，重视价格的程度为重视功率的程度的两倍。有设备甲和设备乙两种选择，对应指标值见下表。综合考虑三种指标应选中择哪一种设备？

目标方案一方案二

（设备甲）（设备乙）

功率（千瓦）120150

自重（公斤）750600价格（元）70008000如用优劣系数法决策，结果如何？并分析利用优劣系数法是否适合？

答：用多目标决策的优劣系数法决策。由题，三种目标的权重分别为1、3、2。对目标与方案指标值标准化得到

目标方案一（设备甲）方案二（设备乙）

功率（千瓦）1100

自重（公斤）1100价格（元）1001

方案一只有价格一项优于方案2，价格权数为2，故方案1对于方案二的优系数为11、决策方法的选择问题——产品开发目标方案的选择

某汽车股份有限公司根据2000年重型汽车和中型汽车需求量预计，制定了以下三个车身开发目标方案。

(1)全面引进技术，进口设备。

(2)全部依靠自己的力量，改造生产线，实现决策目标。(3)自行改造为主，技术引进为辅。分析和决策过程

该厂首先对三个方案进行了定性分析，并认为：(1)采用第一方案的优点是技术先进，可以生产多品种的优质产品并提高生产能力，但缺点是外汇耗资大且不利于本厂产品的发展；(2)采用其次方案的优点是费用少，但缺点是周期长，受技术条件限制，开发后的产品不易达到国际先进水平；(3)采用第三方案的优点是关键技术和设备可达到世界上20世纪90年代水平，周期短，投资不多，而且，本厂有强大的技术后方，设计、制造、安装力量都较强，可以承受自行改造为主的任务，但缺点是生产能力没有第一方案大。

定量分析是定性分析的深化，是决策过程中不可缺少的环节。进行了定性分析后，还要进行如下的定量分析。

根据该股份公司的有关资料。得到了如表1所示的损益矩阵表。

表1某股份公司损益矩阵表单位：万元

方案选择过程如下：

(1)依照“好中求好〞决策方法，最高利润为44040万元，它所对应的方案为d1，即全面引进，对应的自然状态是高需求。但根据当前国家政策和国民经济发展形势，近3年内车身产品销路不会出现最高需求峰值。另外，全面引进需要4600万美元外汇，该厂不具备这种条件。因此，该决策问题不能依照“好中求好〞决策方法来进行决策。

(2)依照“坏中求好〞决策方法，34500万元是决策目标值，它所对应的方案为d2，即全部自制，对应的自然状态是低需求。但是，我国汽车工业的发展是乐观的，低需求出现的可能性很小。同时，采用全部自制方案将造成生产能力无潜力，产品质量很难达到国际先进水平，难以打人国际市场。因此，也不可依照“坏中求好〞决策方法来进行决策。

(3)根据预计资料以及汽车工业发展前景和该股份公司客观条件，该公司认为：决策因素中既有乐观的一面，也有悲观的一面，且乐观因素大于悲观因素。因此，依照?系数决策方法来进行决策。经分析，取乐观系数为?＝0.7，则1一?＝1一0.7＝0.3。其计算过程和结果如下：

f(d1)?0.7?[max(44040,37592,31300)]?0.3?[min(44040,37592,31300)]

?0.7?44040?0.3?31300?40218(万元)

f(d2)?0.7?[max(36450,35450,34500)]?0.3?[min(36450,35450,34500)]

?0.7?36450?0.3?34500?35865(万元)

f(d3)?0.7?[max(43840,40592,34300)]?0.3?[min(43840,40592,34300)]

?0.7?43840?0.3?34300?40978(万元)

这些利润值中的最大者为：

f(d*)=max(40218,35865,40978)=40978=f(d3)

计算结果说明，方案d3，即引进与改造相结合方案为最正确方案。

(4)由于?系数法中?的取值带有一定的主观性，因此，决定再用“最小的最大悔恨值〞决策方法对所选方案进行验证。

其计算过程和计算结果如下：

maxLi1?max(44040,36450,43840)?44040，

i?1,2,3maxLi2?max(37592,35450,40592)?40592，

i?1,2,3maxLi3?max(31300,34500,34300)?34500

i?1,2,3所以各方案的最大悔恨值为：

G(d1)?max(44040?44040,40592?37592,34500?31300)?max(0,3000,3200)?3200G(d2)?max(44040?36450,40592?35450,34500?34500)?max(7590,5142,0)?7590G(d3)?max(44040?43840,40592?40592,34500?34300)?max(200,0,200)?200最优方案按下式决定：

i?1,2,3

minG(di)?min(3200,7590,200)?200?G(d3)

计算结果说明．按“最小的最大悔恨值〞决策方法，其最小值200万元所对应的是方案d3，因此，引进与改造相结合的方案为最正确方案。这个结论同用?系数决策方法所得出的结论一致。

最终，该股份公司决定采用引进与改造相结合的方案。12、某一家蔬菜商店承受本区居民点的蔬菜供应。每天凌晨由附近农村将新鲜蔬菜运到商店，然后再零售给顾客。近来该店以每500克0.80元的价格每天向农村进货20卡车蔬菜(每卡车2000千克)，以每500克1．05元的价格零售出去。某些时候，当天可将20卡车40000千克菜全部售完，但多数状况下却有剩余。由于这类蔬菜无留放处理的价值，当天未售完须全部扔掉，于是每剩500克菜就损失0.80元，该店经理设想是否每天向农村少进一些货，他关心的是获取最大利润值的问题。他根据近期各分店的销售记录，计算出该地区蔬菜需求量子均每天为37650千克，标准差为9600千克。现请使用决策分析方法决定每天应向农村购进多少千克蔬菜。分析和决策过程

根据概率论的中心极限定理，实际问题中的大量随机变量，只要它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成．而其中每一个别的因素在总的影响中所起的作用都很微小，则这种随机变量就近似于听从正态分布。上述居民区每天的蔬菜需求量x，是大量的个别居民每天需求量的总和，故其必近似听从正态分布，且概率密度为：

式中，?为数学期望，也是本例中每日平均蔬菜需求量，这里?＝37650千克；?为均方差，也是本例中每日平均需求量的标准差，这里?＝9600千克。

设k为最正确决策，即该商店每天向农村购进的蔬菜克数为k。现根据该商店进货价格和零售价格计算出边际利润值a和边际损失值b：

将以上值及f(x)的正态函数带入公式，可得：

即：

这里的0.7619就是前面所提到的转折概率[P＝0.80／(0.25+0.80)=0.7619]。图1表示了这种需求量的正态分布曲线。

图1需求量的正态分布曲线

令x??t??，当x=k时，t?k???，故上述定积分可以转化为标准正态函数积分：

查标准正态分布表可得：

即该商店每天应向农村进30844千克蔬菜。在这个数字下，商店所获利润最大。显然，这一数字同该地区每天蔬菜需求平均值37650千克相差6816千克，假使凭经验和直觉，进货量似乎应当等于市场需求的平均值，这样必然导致利润值的显著下降。13、序贯分析在生产计划制定中的应用

某厂计划对某童车问题进行一次多阶段的调查。第一阶段是着手调查，下一阶段是对问题作进一步的更严格的考察。假定该厂考虑分两个阶段来调查研究，第一阶段的可靠性为

70％，其次阶段的可靠性为80％。研究部门认为，两个阶段的调查研究都不会有不确定的结果；只存在两种可能的调查结果，即不管Q1或Q2总有一个出现。调查结果的可靠性可用表1中所列的条件概率来表示。

表1童车问题调查结果的条件概率

研究部门估计调查一(第一阶段)的费用为0.7万元，调查二(其次阶段)由于是在调查一的基础上进行的，其费用仅为0.5万元。自然状态Q1和Q2的概率分别为0.60和0.40。管理部门要在以下决策方案中做出决断：

m0：根本不进行调查。

m1：只进行第一阶段的调查，其可靠性为70％(30％不可靠)，调查费用为0.7万元。

m2：两个阶段调查都进行，其次阶段的可靠性为80％（20％不可靠），调查费用为

0.5万元。

这一问题可以编制概率表，它与预后验分析表很相像，其中包括相应的联合概率、边际概率和条件概率。表2的左边表示调查一的有关概率。例如，z1和Q1的联合概率是按以下方式求得的：P(Q1)P(z1Q1)?0.60?0.70?0.42

表2童车问题的预后验序贯分析概率

表2中右边表示调查二的有关概率。对调查二进行概率计算中得到的条件概率就成为先验概率。

表2中右半部分左上角的表列值0.62是这样求得的：

P(Q1z1)P(z1Q1)?0.78?0.80?0.62

P(Q1z1)是由调查一得出的条件概率，而P(z1Q1)表示调查有80％的可靠性。这两

个概率可以直接相乘，由于假定它们是独立的，即假定调查的可靠性和由第一阶段得到的修正先验概率没有交互的影响。又如，表中最右边一栏其次行的表列值0.49是这样求得的：

P(Q2z2)P(z2Q2)?0.61?0.80?0.49

当计算出相应的联合概率、边际概率和条件概率以后，就可以把问题列入决策树图中。图1描述了以标准的预后验分析形式表示的m0和m1这两个备择方案。

图1童车问题预后验决策树

根据已知信息，就会选择策略m1而不选择策略m0，由于m1的收益（在扣除调查费用0.7万元）与m0的收益分别为4.40万元和3.60万元，前者大于后者。

m0就从可供选择的策略中删去了。图2描述了决策的序贯分析部分。由于m1优于m0，

图2童车问题序贯决策树

图2中有两类分支：一类代表m2，即两个调查阶段都进行；另一类代表m1，即在第一阶段后就终止搜集信息的决策。可以看出，决策树对决策者有很大的帮助。例如，假使由调查一得出结果z1，它说明有利的市场状况，则决策者就应当终止搜集信息，选择行动方案d1，决策序列m1－d1就是最正确选择。但是，假使由调查一得出结果z2，表示不利的市场状况．就应采用策略m2，由于它具有更大的期望收益值。假使在调查一得出z2后．由调查二得出z1的结果，就选择方案d1(采用新产品)。但是，假使调查二依旧得出z2，那么决策者应选择方案d2(不采用新产品)。这描述了决策论中一种不多见的状况，即计算了搜集信息的实际价值或费用。

14、某录像机厂建设问题有如下损益值表:

决策方案建设大型工厂建设中型工厂建设小型工厂自然状态销路好S1200150100销路差S2-202060要求：

（1）按“好中求好〞决策方法选择一决策方案。（2）按“坏中求好〞决策方法选择一决策方案。（3）按?系数决策方法选择一决策方案。

（4）按“最小的最大悔恨值〞决策方法选择一决策方案。答：这是一个不确定型决策问题。（1）按“好中求好〞决策方法决策。

首先求每一方案在各自然状态下的最大收益值：

f(d1)?max(200,?20)?200，f(d2)?max(150,20)?150，f(d3)?max(100,60)?100

在各最大收益中再选取最大，最大值为200，对应的为第一方案，因此“好中求好〞决策方法结果是第一方案为最优方案。（2）按“坏中求好〞决策方法决策。

首先求每一方案在各自然状态下的最小收益值：

f(d1)?min(200,?20)??20，f(d2)?min(150,20)?20，f(d3)?min(100,60)?60

在各最小收益中选取最大，最大值为60，对应的为第三方案，因此“坏中求好〞决策方法结果是第三方案为最优方案。（3）按?系数决策方法决策。

f(d1)??max(200,?20)?(1??)min(200,?20)?220??20f(d2)??max(150,20)?(1??)min(150,20)?130??20f(d3)??max(100,60)?(1??)min(100,60)?40??60

4。94若其次方案有最大收益，由f(d2)?f(d1)，f(d2)?f(d3)，可得??。

94若第三方案有最大收益，由f(d3)?f(d1)，f(d3)?f(d2)，可得??。

9444由此得出结论：??时，第一方案为最优方案；??时，第三方案为最优方案；??999若第一方案有最大收益，由f(d1)?f(d2)，f(d1)?f(d3)，可得??时，三个方案有一致的收益。

（4）按“最小的最大悔恨值〞决策方法决策。两种自然状态下的最大收益值分别为：

max(200,150,100)?200，max(?20,20,60)?60

各方案的最大悔恨值分别为：

G(d1)?max(200?200,60?20)?80，G(d2)?max(200?150,60?20)?50，G(d3)?max(200?100,60?60)?100

取最小的最大悔恨值，得到50，对应的为其次方案。因此“最小的最大悔恨值〞决策方法结果是其次方案为最优方案。一、贝叶斯决策概述（一）概念和步骤

贝叶斯决策：根据各种事件发生的先验概率进行决策一般具有较大的风险。减少这种风险的方法是通过科学试验、调查、统计分析等方法获得较为确凿的情报信息，以修正先验概率。利用贝叶斯定理求得后验概率，据以进行决策的方法，称为贝叶斯决策方法。

贝叶斯决策的步骤：

1、进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补充资料可能得到的结果和如何决定最优对策。

2、搜集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和规律概率，对历史概率要加以检验，辨明其是否适合计算后验概率。

3、用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计算边际概率,用贝叶斯定理计算后验概率。

4、用后验概率进行决策分析。（二）贝叶斯定理

两事件的乘法法则：P(A1B)?边际概率：假使事件