湘教版 八年级下册 数学全册教案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——湘教版八年级下册数学全册教案2023年春湘教版八年级下册数学全册教案

直角三角形的性质

教学目标

知识与技能：1理解并把握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理

2能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。

过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—探讨—交流—讲评〞的学习过程，

提高分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与

数学思维与交流活动。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与应用。

教学难点：“操作—探究—探讨—交流—讲评〞得出直角三角形斜边上的中线性

质定理。

教学过程

一、教学引入

1、三角形的内角和是多少度。学生回复。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。

3、等腰三角形有哪些性质？二、探究新知

1、探究直角三角形判定定理：

⑴观测小黑板上的三角形，从?A+?B的度数，能说明什么？——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵探讨：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？2、探究直角三角形性质定理：

⑴学生画出直角三角形ABC斜边的中线CD。

⑵测量并探讨斜边上的中线的长度与斜边的关系。

A⑶学生猜想：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。D'3、共同探究：

例已知：在Rt△ABC中，?ACB=90°，CD是斜边AB上的中线。1

求证：CD=AB。

2

[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]

CDB1

（分析：要证CD=AB，先证CD=AD、CD=AD，在同一个三角形中证明CD=AD，

2必需找?ACD=?A，但是题目中没有我们要怎样做呢？作?1=?A。学生注意在作辅助线时只能作一个量。因此，我们要证明?1与AB的交点就是中点。）

三、应用迁移稳定提高

练习：假使三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证，这个三角形是1

直角三角形。已知CD是?ABC的AB边上的中线，且CD=AB。求证?ABC是直角

2三角形。

提醒：倒推法，要证明?ABC是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提醒，请同学们自己写出证明过程。

四、课堂小结

1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。五、作业布置P7练习题

教学反思：

直角三角形的性质的推论

重难点

重点：直角三角形的性质推论：

（1）在直角三角形中，假使一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;

（2）在直角三角形中，假使一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：

1.性质定理的证明方法.

2.性质定理及其推论在解题中的应用.讲一讲

例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长

分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.

在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.解：在Rt△ABC中∵∠ACB=90∠A=30°∴

BC?1AB2

∵AB=8∴BC=4

∵D为AB中点，CD为中线∴

CD?1AB?42

∵DE⊥AC，∴∠AED=90°在Rt△ADE中，

DE?11ADAD?AB22，

∴

DE?1AB?24

例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC（△ABC为等边三角形）D为BC边上的中

点，

DE⊥AC于E.求证：

CE?1AC4.

分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的

一半，因此可证.

证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC∠C=60°

∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°

∴

EC?1CD2

∵D为BC中点，∴

DC?11BCDC?AC22∴1AC4.

∴

CE?例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.

求证：AB=BO.

分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA由已知中等腰直角三角形的性质，可知

DF?1BC2。由此，建立起AE与AC

之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.

证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD∴

DF?1BC2DF?1AC21AC2

∵BC=AC∴

∵DF=AE∴

AE?∴∠ACB=30°

∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°∴∠OBA=30°∴∠AOB=75°

∴∠BAO=∠BOA∴AB=BO练一练

1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求证：AE=2CE。

2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。

求证：DE=DC。

3.如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。

4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。

求证：AE=DF。

5.已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。

教学反思：

直角三角形的性质的练习

A1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=，三角形ABC的面积=

2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有个等腰三角形.

3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。

AE

BCD4．已知：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90度，E、F分别

是AC、BD的中点。

求证：EF⊥BD5．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，点D在BC边上，且AD⊥AC.求证：CD=2AB

ACBD6．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，

BC=10，则AB=

顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高，三角形面积是等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=

7．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AC于D,AB于E,求证AD=2BC.AED8．已知：△ABC中,AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，求证：2DC=BD

CB

A

9.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，EF是AB的垂直平分BC线，判断CE与BE之间的关系DDFBECEBFCA

10．已知：∠ABC=∠ADC=90度，E是AC中点。求证：（1）ED=EB（2）图中有哪些等腰三角形？

DCEA

11、如图，AB、CD交与点O,且BD=BO，CA=CO，E、F、M分别是OD、OA、BC的中

B点。求证：ME=MF.

DB

E

M12、在等边三角形ABC中，点D、EF分别在AB、AC边上，AD=CE，

FCD与BE交与F,DG⊥BE。

求证：（1）BE=CD;CA(2)DF=2GF

教学反思：

DAGFEBC勾股定理的推导及应用

教学目标

知识与技能：1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的摸索过程。

2、在勾股定理的摸索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。

过程与方法：1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2、在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。

情感、态度与价值观：

1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热心。2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和摸索精神。

教学重点：经历摸索及验证勾股定理的过程。教学难点：用拼图的方法证明勾股定理。教学过程：

1、课前探究知识储存

请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻觅和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告。

《勾股定理证明方法探究报告》方法种类及历史背景验证定理的具体过程知识运用及思想方法2、设置悬念引出课题提问：为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？

为什么把这个图案作为2023年在北京召开第24届国际数学家大会会徽？引出课题《勾股定理》3、画图实践大胆猜想

沿着先人的踪迹，开始勾股定理的摸索之旅。

活动一：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。

（1）同学们，请你也来观测下图中的地面，看看能发现些什么？

地面图18.1-1

（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特别关系?由等腰直角三角形中的发现，进一步提问：是否其余的直角三角形也有这特性质呢？学生们展开

活动二：在方格纸上，画一个顶点都在格点上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，（四人小组每组成员所画图形一致，派小组代表前台投影展示）

（1）以斜边为边的正方形面积可以怎样求？（2）三个正方形面积有何关系？（3）直角三角形三边长有何关系？（4）请大胆提出你的猜想。

学生在网格纸上按要求画图，然后回复给出的问题。进一步追问：是否任意直角三角形三边都满足此关系？由学生归纳，得出命题：假使直角

222三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a?b?c。设问：这是

个真命题吗？

活动三：现有四个全等的直角三角形，两直角边为a、b，斜边为c，请同学们动手拼一拼。

（1）请用完可能多的方法拼成一个正方形；

222（2）请从你拼的图形中验证a?b?c；

4、动手拼图定理证明

继续追问：你还有别的方法来验证这个结论吗？（请把你探究报告中了解的方法与大家一起共享）被证明为正确的命题称为定理

勾股定理：假使直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那

222么a?b?c。

5、学以致用体会美境课件展示练习：

（1）求下图中字母所代表的正方形的面积。（2）求以下图中表示边的未知数x、y的值。

（3）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___cm2。（4）几何画板演示运动的勾股树。6、总结升华总结收获：通过本节课的学习，大家有什么收获？有什么疑问？你还有什么想要继续摸索的问题？

终止寄语：

牛顿——从苹果落地最终确立了万有引力定律我们——从朝夕相处的三角板发现了勾股定理虽然两者尚不可同日而语

但摸索和发现——终有价值可能就在身边可能就在眼前

还隐蔽着无穷的“万有引力定律〞和“勾股定理〞……祝愿同学们——

修得一个用数学思维思考世界的头脑练就一双用数学视角观测世界的眼睛开启新的摸索——

发现平凡中的不平凡之谜……

教学反思：

勾股定理的逆定理

教学目标

知识与技能：1、体会勾股定理的逆定理得出过程，把握勾股定理的逆定理。

2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

过程与方法：（1）通过对勾股定理的逆定理的摸索，经历知识的发生、发展和形

成的过程；（2）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用。

情感、态度与价值观：

（1）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；（2）通过对勾股定理的逆定理的摸索，培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度。同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

教学重点：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。教学难点：理解勾股定理的逆定理的推导。教学过程

（1）复习1、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是。。2．一个直角三角形，量得其中两边的长分别为5㎝、3㎝则第三边的长是。

3．要登上8高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6问至少需要多长的梯子？

（2）情境导入

1、在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？

用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最终将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形。（这是古埃及人画直角的方法）

2、用圆规、刻度尺作△ABC，使AB=5㎝，AC=4㎝，BC=3㎝，量一量∠C。再画一个三角形，使它的三边长分别是5㎝、12㎝、13㎝，这个三角形有什么特征？

3、为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组探讨，教师适当指导）

学生猜想：假使一个三角形的三边长a,b,c满足下面的关系a?b?c，那么这个三角形是直角三角形。

4、指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题。（3）探究新知

2221、探究：在下图中，△ABC的三边长a，b，c满足a?b?c。假使△ABC

222b的直角三角形全等。是直角三角形，它应当与直角边是a，实际状况是这样吗？我们画一个直角三角形A‘B’C‘，使∠C’=90°，A‘C’=b，B‘C’=a。