上海市静安区2023届高三下学期4月教学质量检测数学试题及参考答案

静安区2022学年第二学期教学质量检测高三数学试卷2023.4考生注意：本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1.若集合A＝{2，log2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{0}，则A∪B＝2．已知{an}是公比为q的等比数列，且a2、a4、a6成等差数列，则q3若复数(i为虚数单位)，则___________.4.已知两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为___________.5.已知，且，则cosα=___________.6.已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，则△ABC面积的最大值为___________.7.已知函数fx=ax8.已知向量a=(1,3)，且a，b的夹角为π3，a+b∙AA1BDB1C1D1CEF9.某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，AA1BDB1C1D1CEF个体编号体重x（kg）脂肪含量y（%）1892828827366244592359329673257822987725910030106723建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________.（结果中回归系数保留三位小数）10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为正方形BCC1B1的中心，则直线EF与侧面BB1C1C所成角的正切值是___________.11.今年是农历癸卯兔年,一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为500g的这种袋装奶糖的质量指标是服从正态分布N（500，2.52）的随机变量．若质量指标介于495g（含）至505g（含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为________%．(结果保留一位小数)（已知1≈0.8413,212.若10x−10y=10，其中x,y∈R，二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】13.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使l//的是()A. B.

C. D.14．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野．游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，ℎ=−28cos⁡πt6+78.若在时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为A．6B．12C．18D．2415.设直线l1：与l2关于直线l：对称，则直线l2的方程是()A．11x+2y−22=0 C． D．16.函数y＝xlnx()A.严格增函数B.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是严格增函数，在1e，+∞上是严格减函数C.严格减函数D.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上是严格减函数，在1e，+∞上是严格增函数三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）已知各项均为正数的数列an满足a1=1（1）求证：数列an（2）求数列an的前n项和S18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，若AD=2，AF=AB=BC=FE=1.（1）求五面体ABCDEF的体积；(2)若M为EC的中点，求证：平面CDE平面AMD.19．（本题满分16分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分）已知双曲线：x2a2−y2b（1）若双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为y=22x；直线l的倾斜角为π4，在y轴上的截距为−2．直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段A（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P．过P作圆的切线，若切线的斜率为−3，求双曲线20．（本题满分16分，本题共有2个问题，问题(1)满分8分，问题(2)满分8分）概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛．请解决下列两个问题．（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天．某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处．设第一次训练时取到的新球个数为，求随机变量的分布和期望．（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率?研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话?如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话．其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人;脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张2×2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验．（显著性水平=0.05）习惯固定在左侧接听电话习惯固定在右侧接听电话总计脑瘤部位在左侧的病人ab42脑瘤部位在右侧的病人cd46总计a+cb+d88参考公式及数据：2=n(ad−bc)221．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知函数.（其中a为常数）（1）若a=−2，求曲线在点(2,f（2）当a<0时，求函数y=的最小值；（3）当0≤a<1时，试讨论函数y=的零点个数，并说明理由.静安区2022学年第二学期教学质量检测高三数学试卷2023.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1.{0，1，2}2．134.x2113+y2112=17.（0，12]8.(14,310.22.11.95.4或95.5都对．12.1+2l二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13.C14．B15.A16.D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）解：（1）证明：已知递推公式ananan>0，an（直接将已知递推公式代入等比数列定义计算也可：an又a1+3=4，所以数列an（2）数列an+3通项公式为an=18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）解：证明（1）因为AD=2，AF=AB=BC=FE=1，取AD中点N，连接EN，因为，所以EN//AF，EN=AF=1,又平面ABCD，，所以EN平面ABCD，ABF-NCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱锥E-CDN是高等于1底面是等腰直角三角形．五面体ABCDEF的体积=棱柱ABF-NCE的体积+棱锥E-CDN的体积．即：V=12×1×1×1+13（2）以A为坐标原点，以AB,AD,xyz点C（1，1，0），D（0，2，0），E（0，1，1），M（12，1，xyz得到：CE∙AD=0所以CEAD，CEMD所以CE平面AMD又CE平面CDE，平面CDE平面AMD.证法2：因为AC=AE=2，所以△ACE为等腰三角形，M为EC的中点，所以AMCE；同理在△NCE中，MNCE,(N为AD中点)又AM、MN平面AMD，所以CE平面AMD又CE平面CDE，平面CDE平面AMD.(说明：推导CE平面AMD的路径不唯一)19．（本题满分16分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分）解：（1）双曲线：x2a2−y双曲线经过点（2，1），所以4a解得a2=2，所以，双曲线：直线l的倾斜角为π4，则斜率为1，方程为：yx2−8x+10=0，设两点A、B坐标分别为（x1,yx1+x2=8F1F2=23，(2)圆方程：x2方法1：设过P作圆的切线与x轴交于点Q，由PQ斜率为−3，可知直角三角形POQ中，OP=c，PQO=π3，PQ=33c，OQ=2因为点P在圆x2+y2=c2上，所以代入计算得点P的横坐标等于32c,点P又在双曲线离心率e=ca>1，b2=c2−a2，所以方法2：将圆方程与椭圆方程联立，求得P（ab2+c2c，b2c），过点P的切线方程为ab2+c2cx+b20．（本题满分16分，本题共有2个问题，问题(1)满分8分，问题(2)满分8分）（1）解：第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可判断出服从超几何分布，可取的值为.的分布为：012（2）a=14,b=28,c=19,d=27,a+c=33,b+d=55.提出原假设H0：患脑瘤在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关.计算2的值，2≈统计决断：由P(2≥3.841)≈0.05因此，脑瘤病患在左右侧的部位与习惯在该侧接听手机电话无关，或者说，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）解：（1）当a=−2时，f2，f2切线方程为：y−f2=2(x−2)，即所以曲线在点(2,f2)处的切线方程为：2（2）y=