上海市重点中学2022-2023学年高三下学期数学周测4及答案

上海市重点中学2022学年第二学期高三年级数学周练4一、填空题1．若，则______．2．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X表示摸出白球的个数，则______．3．点到直线的距离的最大值是______．4．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______．5．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别为，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则______．6．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的半径是______cm．7．一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个的方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红黄蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的，这样的染色方式种数为______（答案用数值表示）．8．已知函数满足，若函数与图像的交点为，则______．9．在数列中，，，记为数列的前n项和，则______．10．定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，，则不等式的解集为______．11．已知平面向量，，，满足，，，．若，则的取值范围是______．12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点．下列说法中正确的有______．①双纽线C关于原点O中心对称；②；③双纽线C上满足的点P有两个；④的最大值为．二、选择题13．如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，对空间任意两点M、N，若线段MN与线段、都不相交，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（）A．点P B．点Q C．点R D．点B14．如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点15．函数的图像大致为（）16．设集合①存在直线l，使得集合中不存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数点在l上（）A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME．（1）当时，证明：直线ME平行于平面PAD；（2）当时，求三棱锥的体积．18．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求角C的大小；（2）若，且AB边上的中线，求的面积．19．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．（1）求和；（2）已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．参考数据：若，则：，，，．20．设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为，．（1），AM的中点在x轴上，求点M的坐标；（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；（3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值．21．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间A为和的“区间”．（1）写出和在上的一个“区间”（无需证明）；（2）若，是和的“区间”，证明：不是偶函数；（3）若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.3；7.5184；8.2022；9.；10.；11.；12.①②④；11.11．已知平面向量，，，满足，，，．若，则的取值范围是______．【答案】2【解析】设,则

因为||,所以||,因为又因为,所以,,故,得.

故答案为:12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点．下列说法中正确的有______．①双纽线C关于原点O中心对称；②；③双纽线C上满足的点P有两个；④的最大值为．【答案】①②④【解析】对于,因为定义在平面直角坐标系中,把到

定点,距离之积等于的点的轨迹称为双纽线,

所以,用替换方程中的,原方程不变,

所以双纽线关于原点中心对称,所以正确;

对于,根据三角形的等面积法可知

即,所以,所以正确;

对于,若双纽线上的点满足,则点在轴上,即,所以,得,所以这样的点只有一个,所以错误;对于④,因为,

所以

由余弦定理得

所以的最大值为,所以④正确.二、选择题13.B；14.C；15.A；16.B15．函数的图像大致为（）【答案】A【解析】根据题意,函数fx=xln21−x−1,

则f(三、解答题17.【解析】(1)证明:取中点,联结是的中位线,故,且,

又,且,四边形为平行四边形,18.（1）（2）19.（1）略（2）略20.设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为，．（1），AM的中点在x轴上，求点M的坐标；（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；（3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值．【解析】(1)由题意可得,,的中点在轴上,的纵坐标为,代入得.

(2)由直线方程可知,

①若,则,

即,,.

②若,则,,很明显椭圆在直线的左下方,则

据此可得,

整理可得,即

从而.即的最小值为.21．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间A为和的“区间”．（1）写出和在上的一个“区间”（无需证明）；（2）若，是和的“区间”，证明：不是偶函数；（3）若，且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．【解析】（1）由题意得:得的定义域是,

当时,,满足“区间”的定义,

故