湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高三下学期4月教学质量检测数学试题及参考答案

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数，则（）A. B.2 C.3 D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.若，则“”是“，，成等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若正数，，满足，则（）A. B. C. D.5.春节期间，小胡、小张、小陈、小常四个人计划到北京、重庆、成都三地旅游，每个人只去一个地方，每个地方至少有一个人去，且小胡不去北京，则不同的旅游方案共有（）A.18种 B.12种 C.36种 D.24种6.已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（）A. B. C.2 D.37.在正方体中，，为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（）A. B. C.4 D.8.设，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.在区间上单调递减C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点成中心对称10.已知，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.11.在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离的积等于，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）A.曲线关于坐标轴对称 B.周长的最小值为C.面积的最大值为 D.点到原点距离的最小值为12.如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，.在四棱锥中，为棱上一点（不含端点），则下列说法正确的有（）A.的最小值为B.存在点，使得C.四棱锥外接球的体积为D.三棱锥的体积等于三棱锥的体积三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的取值范围为______.14.已知，且.则______.15.已知菱形的边长为2，，点是线段上的一点，且，则______.16.2021年国庆长假期间，电影《长津湖》正式上映.某单位5位同事小郭、小张、小陈、小李和小常相约一起去电影院观看，他们各自手上持有的电影票的座位号恰好为8排的5个相邻的座位编号，若进入影院后，每人随机地选择这5个座位中的其中一个就座，设各人所坐的座位号与他持有的电影票座位号不同的人数为，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）在中，角，，的对边分别为，，，且的周长为6，.（1）求角的大小；（2）若是边的中点，且，求的面积.18.（本小题满分12分）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，400名学生物理成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：，，，，，已知成绩在，，之间的人数依次构成等差数列.（1）求图中，的值；（2）根据频率分布直方图，估计这400名学生物理成绩的中位数（结果保留整数）；（3）若这400名学生物理成绩各分数段的人数（）与化学成绩相应分数段的人数（）之间的关系如下表所示，求化学成绩低于50分的人数.分数段，之间的关系19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，且.（1）求的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，，求证：20.（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，，平面平面，，，，点在线段上（不包含端点）.（1）求证：；（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，，且过点.（1）求的方程；（2）若直线：与交于，两点，直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：.高三数学参考答案、提示及评分细则1.C，则.故选C.2.C，，则.故选C.3.A因为，则，且，所以，，成等比数列；若，，成等比数列，则.所以“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件.故选A.4.B设，则，，在同一坐标系中作出，，的图象，如图所示，易得，即.故选B.5.D由题意，可分为两种情况：（1）小胡单独一个人旅游，在重庆，成都中任选1个，有2种选法，再将其他3人分成两组，对应剩下的2个地方，有种情况，所以此时共有种；（2）小胡和小张、小陈、小常中的1人一起旅游，先在小张、小陈、小常中任选1人，与小胡一起在重庆，成都中任选1个，有种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个地方，有种情况，所以此时共有种，综上，不同的旅游方案共有种.故选D.6.A设点，、，对函数求导得，所以直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为.由于点为直线、的公共点，则所以点，的坐标满足方程，所以直线的方程为，所以直线恒过定点，点到直线的距离的最大值.故选A.7.D取的中点为，连接，，则，且，则.又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为.故选D.8.B令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，即，令，，易得在上单调递增，所以，即，即，所以，所以.故选B.9.BC由图象可得，，，所以，，所以，由，即，得，将的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度得到函数的图象，即，所以的最小正周期为，当时，取最大值，所以的图象关于对称，当时，，所以单调递减.故选BC.10.ABD由不等式的基本性质，可得A和B都正确；取，，则，从而，则C错误；考查幂函数，在上是增函数，则由，即得，则D正确.故选ABD.11.ABD设，则，即，以替换，替换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，故A正确；的周长，当且仅当时等号成立，故B正确；，当且仅当时，等号成立.所以当时，取得最大值，所以的最大面积为，故C错误；由，即，即，当且仅当时等号成立，故D正确.故选ABD.12.AD把平面图形还原得到原四棱锥，如图，由，，可知，，，所以平面.在中，，，故，在中，，在矩形中，，，，连接，在中，.对于A，将平面与平面展开成一个平面，当，，三点共线时，最小，此时，，，，四点共圆，且直径为，而，所以，故A正确；对于B，假设，易证平面，则有，与已知条件矛盾，故B错误；对于C，将此四棱锥可以补形成一个长方体，为长方体的条对角线，同时也是四棱锥外接球的直径，所以半径，其体积，故C错误；对于D，因为，，而，所以，故D正确.故选AD.13.设切点为，直线的斜率为，又，则，所以切线方程为.将代入化简得，所以方程有两个不同的实数解，所以，且，所以或，即实数的取值范围为.14.因为，且，所以，所以，所以.15.由题意知，，所以16.4由题意知的可能取值是0，2，3，4，5，，，，，，所以17.解：（1）因为，由正弦定理可得又由，可得，整理得，所以又因为，所以（2）因为是边的中点，所以.即又，，解得.所以的面积.18.解：（1）因为成绩在，，之间的人数依次构成等差数列，所以，，0.02依次构成等差数列，所以.又，所以联立解得（2）设这400名学生物理成绩的中位数为，则.由，解得.即这400名学生物理成绩的中位数为72.（3）先求这400名学生物理成绩在，，，，的人数依次为，，，，，则这400名学生化学成绩在，，，，的人数依次为15.162，80，100，20，所以化学成绩低于50分的人数为.19.（1）解：因为，所以，整理得等式两边同除以，得，即因为，所以所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.所以，所以所以当时，，所以数列的通项公式为（2）证明：因为，所以当时，.当时，所以当时，，所以又时，，且，所以当时，所以故，当且仅当时等号成立.20.（1）证明：如图，连接，因为四边形为菱形，所以.因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.又，，平面，所以平面.又平面，所以.（2）解：连接，交于点，取的中点，连接.在中，，分别是，的中点，所以.由（1）知平面，又，平面，所以，又，所以，.以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，所以平面的一个法向量是.设，则解得，，即.所以.设，所以设平面的一个法向量为，则令，解得，.所以.所以解得或（舍）.所以存在点，使得二面角的余弦值为，此时21.（1）解：因为，所以，解得.因为过点，所以解得.所以的方程为.（2）证明：设，，所以：，：由整理得，则，解得且，，由得所以在定直线上.22.（1）解：由题意知，，