沪科版八年级下勾股定理测试卷

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一、选择题

1．以下四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A．4，5，6B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，3

2．给出以下命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②

222三角形的三边a、b、c满足ac

b，则∠C=90；③△ABC中，若∠A：∠B：∠

C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c=1：2，则这个三角形是直角三角形．其中，假命题的个数为（）

A．1个B．2个C．3个

D．4个

3．如图，假使把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是（）

A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直

4．下面说法正确的是个数有（）

①假使三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；

②假使三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④假使∠A=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；

⑥在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。

A3个B4

个C5个D6个

5．如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6，

M为BC的中点，MN⊥

AC于N点，则MN=（）

A6．以下各组数中，是勾股数的是()

A．14，36，39

B．8，24，25

C．8，15，17

D．10，20，26

7．（2023贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）

A．8米

B．10米

C．12米

D．14米

8．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60，∠BCD=30，BC=6，那么△ACD的面积是（）

A

．

第II卷（非选择题）

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二、新添加的题型

三、解答题

9．在Rt△ABC中，∠CAB=90，AB=AC．

（1）如图①，过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N．①判断线段MN、BM、CN之间有何数量关系，并证明；

②若AM=a，BM=b，AB=c，试利用图①验证勾股定理a2b2=

c2；

（2）如图②，过点A在△ABC内作直线MN，BM⊥MN于M，CN⊥MN于N，判断线段MN

、BM、CN之间有何数量关系？（直接写出答案）

10．（6分）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：

操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．

（1）假使AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；

（2）假使∠CAD:∠BAD=4:7，可求得∠B的度数为；

操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．

11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝12cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

12．如图，学校B前面有一条笔直的马路，学生放学后走AB，BC两条路可到达马路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条路使学校到马路距离最短，请你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长．

13

．如图，△ABC中，∠ACB＝90，AC＝9，BC

＝12，求Rt△ABC中斜边AB上的高

CD．

14．阅读理解题：如图，在△

ABC中，AD是BC边上的中线，且求证：∠BAC=90．．证明：∵，，

∴AD=BD=DC，

∴ADB

∴∠，∠C=∠CAD，

∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180，

∴∠BAD+∠CAD=90，即∠BAC=90．

（1）此题实际上是直角三角形的另一个判定方法，请你用文字语言表达出来．

（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为

15．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)

和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．

(1)画出拼成的这个图形的示意图；

(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．

16．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不防备掉到两墙之间，如图．

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）从三角板的刻度可知AC=25cm

，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12．

CB（

1）AD平分∠BAC吗？请说明理由．

（2）求：△ABC的面积．

四、填空题

18．直角三角形两边长分别为3厘米、4厘米，则第三边的长为。

19．一个直角三角形的两边长分别为9和40，则第三边长的平方是．

20．若一个直角三角形的两边的长分别为m、n边的长为___________．

21．则由此x,y,z为三边的三角形是三角形

22．△ABC的三边长分别为m2－1，2m，m2＋1，则最大角为________．

23．在长方形纸片ABCD中，AD＝3cm，AB＝9cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，

若能在

AC边上找到一点Q，使∠BQP=90，则x的取值范围是．

25．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2023＝________．

五、计算题

参考答案

1．B．

222试题分析：A．4+5≠6，不能构成直角三角形，故不符合题意；

222B．3+4=5，能构成直角三角形，故符合题意；

222C．2+3≠4，不能构成直角三角形，故不符合题意；

222D．1+2≠3，不能构成直角三角形，故不符合题意．

应选B．

考点：勾股数．

2．B

试题分析：命题①中若4是直角边，则第三边长为5，若4

错误；命题②中应当是∠B=90，故错误；命题③、④均正确；故假命题有2个；应选B.

考点：真命题与假命题.

3．D

试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系：

如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．

∴线段A′B与线段AC相互平分，

又∵∠AOA′=45+45=90，

∴A′B⊥AC，

∴线段A′B与线段AC相互垂直平分．

应选D．

考点：1.网格问题；2.平移的性质；3.勾股定理.

4．D.

试题分析：①∵三角形三个内角的比是1：2：3，

∴设三角形的三个内角分别为x，2x，3x，

∴x+2x+3x=180，解得x=30，

∴3x=330=90，

∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；

②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180，

∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，

∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；

④∵∠A=∠

C，∴设∠A=∠B=x，则∠C=2x，

∴x+x+2x=180，解得x=45，

∴2x=245=90，

∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；

⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，

∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和，

∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；

⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，∴有一个内角一定是90，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确．

应选D．

考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．

5．C．

试题分析：连接AM，

∵AB=AC，点M为BC中点，

∴AM⊥CM，BM=CM，

∵AB=AC=5，BC=6，

∴BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，

∴根据勾股定理得：

又S△

∴应选C．

考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质．

6．C

满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c是勾股数，由于82＋152＝289，172＝289，所以82＋152＝172，即8、15、17为勾股数．同理可判断其余三组数均不是勾股数．

7．B

如图，设大树高为AB＝10米，小树高为CD＝4米，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形．连接AC，则EB＝CD＝4米，EC＝8米，AE＝AB－EB＝10－4＝6（米）．在Rt△AEC

8．A．

试题分析：如图，过点

A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．

设AB=AD=x．

又∵AD∥BC

，

∴四边形AEFD是矩形形，

∴AD=EF=x．

在Rt△ABE中，∠ABC=60，则∠BAE=30，

∴

，∴

，．在Rt

△CDF中，∠FCD=30，则

又BC=6，

∴BE+EF+CF=6

解得x=2

∴△ACD，

2

应选A．

考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形．

9．（1）证明见解析；（2）MN=BM-CN.

试题分析：（1）①利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系；

②利用S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA

2

，S

梯形MBCN

2BM+CN）

a+b），进而得出答案；

（2）利用已知得出∠MAB=∠ACN，进而得出△MAB≌△NCA，进而得出BM=AN，AM=CN，即可得出线段MN、BM、CN之间的数量关系．

试题解析：（1）①MN=BM+CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90，∠ACN+∠NAC=90，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

BMAANCMABNCA，

ABAC

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AM+AN=BM+CN；

②由①知△MAB≌△NCA，

∴CN=AM=a，AN=BM=b，AC=BC=c，

∴MN=a+b，

∵S梯形MBCN=S△MAB+S△ABC+S△NCA

2

2，S梯形MBCN

BM+CN）

a+b），

2

2a+b），

∴a+b2=c2；

（2）MN=BM-CN；

理由：∵∠MAB+∠NAC=90，∠ACN+∠NAC=90，

∴∠MAB=∠ACN，

在△MAB和△NCA中

BMAANCMABNCA，

ABAC

∴△MAB≌△NCA（AAS），

∴BM=AN，AM=CN，

∴MN=AN-AM=BM-CN．

考点：全等三角形的判定与性质．

10．操作一（1）14cm（2）35操作二CD=4．5

试题分析：操作一利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；

操作二利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt

△BDE中，利用勾股定理可得答案

试题解析：操作一（1）14cm（2）35

操作二由折叠知：AE=AC=9，DE⊥AB，设CD=DE=X，

则BD=12-X，

∵AB2AC2BC2=81+144=225，

∴AB=15

∴BE=15-9=6，

又BD2DE2BE2，

∴(12x)=x2+36，2

即CD=4．5cm

考点：轴对称，线段的垂直平分线

11．CD．

试题分析：利用翻折变换的性质得出DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90，进而利用勾股定理得出x的值．

试题解析：∵有一块直角三角形纸片两直角边AC=5cm，BC=12cm，

∴AB=13cm，

∵将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，

∴DE=CD，AC=AE=5cm，∠DEB=90，

设CD=xcm，则BD=（12﹣x）cm，

222故DE+BE=BD，

222即x+（13﹣5）=（12﹣x）

，

则CD．解得：考点：勾股定理

12．4.8km．

解：过B作AC的垂线，垂足为D，线段BD就是要修的路．

在△ABC中，∵AB2＋BC2＝82＋62＝100，而AC2＝102＝100，

∴AB2

＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠ABC＝

90

km），即所修路长为4.8km．

13．

解：在Rt△ABC

14．（1）假使一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形.

（2

试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可．

试题解析：（1）假使一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（2）由于这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角形。

设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b

，则根据勾股定理，得

222a+b=2

22a+b=4

222由于（a+b）=a+b+2ab

2即（

=4+2ab

考点：直角三角形斜边上的中线．

15．(1)(答案不唯一)如图．

(2)

2，

即a＋b＋2ab＝c＋2ab．

∴a2＋b2＝c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

(1)(答案不唯一)如图．

(2)

2，

即a＋b＋2ab＝c＋2ab．

∴a2＋b2＝c2．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

16．（1）证明见解析；

（2）砌墙砖块的厚度a为5cm．

试题分析：（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；

2（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）+（3a）

22=25，再解即可．

试题解析：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90，

∴∠ACD+∠BCE=90，∠ACD+∠DAC=90，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

ADCCEBDACBCE，

ACBC

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，

由（1）得：△ADC≌△CEB，

∴DC=BE=3a，

222在Rt△ACD中：AD+CD=AC，

222∴（4a）+（3a）=25，

∵a＞0，

解得a=5，

答：砌墙砖块的厚度a为5cm．

考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．

17．（1）平分，理由详见解析；（2）60

试题分析：（1）AD平分∠BAC，

理由为：

∵BC边上的中线AD

∴BD=5

∵在△ABC中，AB=13，AD=12，BD=5，

222222∴25=24+7，即：AB=AD+BD

∴∠ADB=90，即AD⊥BC，

∴AD垂直平分BC

∴AB=AC

∴AD平分∠BAC

⑵由（1）得AB=AC，AD垂直平分BC

∴S△ABC

．

考点:1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法

18．5cm

．

试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应当分状况进行分析．

试题解析：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm；

（2）当4

；

故直角三角形的第三边应当为5cm

．

考点：勾股定理．

19．1681或1519．

设第三边为x

2222（1）若40是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：9+40=x，所以x=1681．

2222（2）若40是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：9+x=40，所以x=1519．

所以第三边的长为1681或1519．

20．5

m﹣