《电动力学》课件 电磁波的辐射

电动力学授课老师：赵圣之Shengzhi_zhao@第五章电磁波的辐射第一节电磁场的矢势和标势第二节推迟势第三节电偶极子辐射第四节磁偶极子辐射和电四极子辐射第五节电磁波的衍射第六节电磁场的动量第一节电磁场的矢势和标势一、用势描述电磁场

麦氏方程组：静场：一般情况下：但E是有旋场。令：因此标势和矢势与电磁场的关系：二、规范变换及规范不变性

对一定的E、B，A、Φ不是唯一的。做变换：E、B不变，此变换称为规范变换。当电磁势作规范变换时，所有的物理量和物理规律保持不变的性质称为规范不变性。对一定的E、B，有许多组（A，Φ），每一组（A，Φ）都是一种规范，可加一定的条件：①库仑规范：取规范条件。这种规范特点E=(E1+E2)较明显,E1是静电场（纵场），E2是感应场（横场）。

②洛仑兹规范：取规范条件

这种规范特点是A、Φ满足方程的形式相同。三、达朗贝尔方程

由麦氏方程组可导出电磁势所满足的方程。因此：①库仑规范：②洛仑兹规范：（1）和（2）称为达朗贝尔方程。例：求平面电磁波的势，并进而由势求场。解：①洛仑兹规范由达朗贝尔方程并考虑空间Jf=0、ρf=0，则：

平面波的解：由规范条件可得出A、Φ的依赖关系。由势求场。虽然有洛仑兹规范，A、Φ还不能唯一确定。作变换：②库仑规范考虑空间Jf=0、ρf=0，则：因此有：平面波的解：由势求场：第二节推迟势一、达朗贝尔方程的解电磁场与势：洛仑兹规范：静场的势方程：达朗贝尔方程的解应与静场势的解类似。现以一点电荷Q(t)置于坐标系原点为例求解。因为ρf=Q(t)δ(x)，所以方程为：电荷分布球对称：Φ=Φ(r,t)，球坐标系：考虑r≠0的空间：令Φ=U/r，可得：这是波动方程，解：势Φ的解第一项为向外辐射的球面波，第二项为向内汇聚的球面波。因考虑辐射问题，可将第二项舍去。与静场对比：令解：现在证明上面的解确为真解。①r≠0时：显然Φ(r,t)满足方程。②r=0时，Φ(r,t)为奇点。以Q(t)为心做一个半径为r→0的小球体：将Φ(r,t)带入方程左边并对小球体积分：计算上式右边第二项：计算上式右边第一项：因此有：将方程右边对小球体积分：所以,方程左和右边对小球体积分后相等。Φ(r,t)为真解。对于一般的电荷分布：同理可求：二、推迟势及意义

对于x点t时刻的势，取决于电荷密度和电流密度[t-(r/c)]时的值，推迟了(r/c)，这正是电磁波以速度c传播r所需的时间。因此称Φ(r,t)和A(r,t)为推迟势。例：证明：推迟势Φ(r,t)和A(r,t)满足洛仑兹规范。证明：令：利用公式：因此有：所以：因为：所以：因此：而：利用t´时刻电荷守恒定律：所以：第三节电偶极子辐射一、计算辐射场的一般公式电荷、电流分布于小区域，线度用L表示，L<<r,L<<λ。已知：由A求B和E。二、A的展开

场按照波长λ与r的关系分成三个区：①近区：

λ>>r，因(r/c)很小，推迟时间小，与静场近似；②感应区：λ~r,这是过渡区；③辐射区（远区)：λ<<r。由于辐射区r>>λ，取近似：上式积分号中的分母：

上式积分号中的分子：因此：其中：三、电偶极子辐射1、展开式中表示电偶极子辐射

电荷运动产生J(x´),应等于区域中所有的带电粒子ev求和：即：因此：表示电偶极子辐射。2、电偶极子辐射场①辐射场②非辐射场

只求辐射场：因此：若：则：当θ=0时，E=B=0;当θ=90˚时，E和B最大。四、平均辐射能流密度和平均辐射功率平均辐射能流密度：平均辐射功率：若：则：因为：例：一电偶极系统的电荷分布为：2q(0,0,a),-2q(0,0,-a)，设a<<λ,求此电偶极系统以频率ω振荡时的远区辐射场、平均辐射能流密度和平均辐射功率。解：第四节磁偶极子和电四极子辐射一、磁偶极子和电四极子辐射

考虑A展开式的第二项：改变积分号内的形式：改变x´J的形式，使之成为对称张量和反对称张量之和：因此有：先考虑上式右边的第二项：利用公式：将其代入积分号：其中，系统的磁矩：再考虑将第一项代入积分号：其中，系统的电四极矩：所以：表示磁偶极子和电四极子辐射。二、磁偶极子辐射若：则：当θ=0时，E=B=0;当θ=90˚时，E和B最大。与同样情况下电偶极子辐射场对比：将场中的量互换：p→(m/c)；E→cB；cB

→(-E)；即换为磁偶极子辐射场。

实际上，在麦氏方程组中：

将(1):E→cB；cB

→(-E)；即换为(2)。这体现了电磁对称性。

平均辐射能流密度：

平均辐射功率：

若三、电四极子辐射令：重新定义：求辐射场时：，因此求出的辐射场不变。

平均辐射能流密度：

辐射角分布因子由确定，一般比较复杂。平均辐射功率：例：一半径为a的圆电流线圈，激发的电流振幅为I0，角频率为ω，设a<<λ，求此电流的辐射场、平均辐射能流密度、平均辐射功率。解：取m在z轴，则：

比电偶极子辐射小数量级。例：求图示的电四极子以频率ω振荡时的辐射场、平均辐射能流密度、平均辐射功率（设a<<λ)。解：与磁偶极子辐射同级。第五节电磁波的衍射一、衍射问题1、衍射理论的一般问题是计算通过障碍物或小孔后的电磁场的角分布，讨论问题的基本公式是基尔霍夫公式；2、基尔霍夫方程是标量场的衍射问题，而电磁场是矢量，因而把场的每一个分量当作标量；3、方程是近似的。二、基尔霍夫方程真空中的电磁波，用Ψ(x,t)表示场的任一分量，令：则：取S面上任意一点x´，令：则：称G(x,x´)为亥姆霍兹方程的格林函数。证明：①r≠0时，δ(x-x´)=0；②r=0时，奇点，以r=0为中心做一个半径为r(r→0)的小球体ΔV，方程两边对小球体积分，并考虑：左边：右边：

方程左右两边相等，得证。

将Ψ(x´)和G(x,x´)代入格林公式，并认为x´为变量：式中，dS´是dS´面的外法线方向。因此将Ψ和G满足的方程代入：因此：n表示dS´的内法线方向。将上两式代入:上式称为基尔霍夫方程。方程的意义：①把区域内每一点的值用S面的场Ψ和Ψ的梯度表示出来，与光学的惠更斯——菲涅尔原理同；②

因子表示由x´发出的波向x点传播，（r/c)是推迟的时间。③Ψ(x,t)仅是一个函数，而不是边值问题的解。三、小孔衍射

小孔衍射问题可由基尔霍夫方程讨论。如图所示，求P点的Ψ(x)。S´=S1+S2+S0，S1是屏的面，S2是以O为心半径为无穷大的半球面，S0是小孔的面积。假定：①在S0面上，当面的线度远远大于波长时，忽略S0的边缘效应，如Ψi为入射波，则：②在S1面上，忽略小孔的边缘效应：③在S2面上，当半径→∞时：因此：设入射波为平面波：观察k2方向的场:忽略(1/R)的高次项：θ1表示k1与n的夹角，θ2表示k2与n的夹角。因此：称为倾斜因子。用表示光强，与θ2的关系与实验值相符。第六节电磁场的动量

能量守恒：

洛仑兹力密度：能流密度：能量密度：一、电磁场的动量密度和动量流密度

取体积V，界面为S，V中有ρ、J。1、用E和B表示f因此：将方程改写为E、B的对称形式，并考虑:利用公式：由公式：由公式：因此：同理：所以：2、动量密度和动量流密度令：则：对此式取体积分，并假设V不变：

：V内机械动量的变化率，f为力密度（动量的变化率)；：V内动量的变化率，为场的动量密度；

：从S面外流入S面内的动量流，T为动量流密度;因此，整个公式表示了动量守恒。①场动量的减小等于机械动量增加。②稳恒场

流进去的全部动量变为机械动量的增加；对平面电磁波:

量子光学，光子：为光子的动量。例：说明动量流密度T的意义解：做体元OABC,面元ABC的三个分量OAB、OBC、OAC。考察流入OAB、OBC、OAC的动量。因为：同理：当体元→0时，从ABC流出的动量应等于流入的动量：若任取一闭合曲面S，从S中流出的动量：Tij的意义是通过垂直于i轴单位面积流过的动量j分量。例：讨论平面电磁波的T解：同理：而：T中的第二个k表示电磁波的动量沿波矢方向，第一个k表示只有垂直波矢的面才有动量通过。电磁波的动量密度为g，传播速度为c，单位时间流过垂直单位面积的动量为cg。二、辐射压力

由于电磁波有动量，射入物体上必有压力——辐射压力。：表示流出dS内的动量——单位时间由dS后方流

向前方的电磁动量；

：表示流入dS内的动量——单位时间由dS前方流

向后方的电磁动量；-T称为麦克斯韦应力张量，因此物体表面受到电磁辐射的作用力：例：平面电磁波斜入射到理想导体表面，求发生完全反射时导