第五章线性系统的频域分析法

1.频率特性的基本概 urA1

RC

GsuCs

Tur RCs Tsu(s)ru(s)rs22u(s)G(s)u(s)1crTs s22uu(s)G(s)u(s)1crTs s22输出uu(t)c1Tet/T1T22Asin(wttg1t=无穷大时，输出uc(t)的稳态部u(u(t)1TAsin(wtc1输出

u(t)

u(t)c1Tu(t)c1Tet/T1TAsin(wttg1输出uc(t)的稳态部分：

1T 0--

Output

u

-

率的正弦信号，只是振幅与相角不一定相同。A=1ω=0.5 ω=1 ω=2 ω=2.5 ω=4

A1sin(t1)

A2sin(t2ctA2sin(t2ctA2sin(t2即A2A121，并且

均为频 的函数即A2,2

A()|G(j)或

()2()G(j)A()ejGj

(在系统的传递(在系统的传递函数G(s)中，用代替s即得系统频率特性j)，。系统模型间的关A2A() 2()1 rt3sin8t20

rt作用下的稳态输出6s6s

csstA2cos2t2

(s)C(s)

s (j2)

22j222

A

A2A2

30

1.77cos2t1878282

2038.7A2

即c

1.41cos8t18.7物理意义: G(jω)只与系统或环节本身的结构参数有关,是系统或环节2.频率特性的几何表示方

G(j)为复数 在坐标图中，它是一个矢量 既可用模和幅角表示,也可在直角坐标中用实部和虚部表示。即:GjAejReGj Gjm

复平面上描绘出一条轨迹,这条轨迹就是G(jw)的极坐标图,通常又称为幅相频率特性曲线，也称Nyquist曲线。用箭头表示ω增加的方向,角度以实轴正方向作为相角的零度线如网络的传递函数:

幅相频率特性:

Gj

jRC幅频特性:

Gj T2T22

(w)arctgRCω的偶函数，相频特性是ω的偶函数，相频特性是的奇函数.故ω从0到-∞的极坐标图于实轴.

典型环节与开环系统的频率特1.G(G(s)K(s1)(2s22s1)s(Ts1)(T2s22Ts1)12 (s12 (Tsij幅频特性

GsK,KGjKej0KK

sGj1

1e幅频特性

GjjA

TsT22T22

T22T22

Tj1

ej1T Aj1T1/T A0.707, 12 212

GjTj1 T22

T221ejj1G ,1传递函 G ,1

2

频率特性

sn1

2s1n

n

j n1

1 1 222 n2n n A当时,A

, 当时,A j 1极坐标图与虚轴交点与有关，越小，A越大rr Amr11谐振频 谐振峰值谐振频率

Gs

2

nj

nj

Gj

2

11222

2 2 2 L20lg 1 n

w

2/11 n1j

Gs Ts

GjT22T22

T22T221

ej

180【关键】根据相角把握【关键】根据相角把握 复一个积分环节,滞后一个一阶微分环节,超前0－90度2用频率法分析和设计控制系统,主要是根据系统的开环频率特性进行的,而开环频率特性常用极坐标图(Nyquist曲线)。G(s)G1(s)G2(s GnGG(j)G1(j)G2(jGn(Aj1A2j21nAnAinji开

()G(j)i性n性nnn

(开环幅相曲线的起点(0)和终 (ImG(jx)

或Gjxkk0ReReG(jx)G(jxx称为穿越频率[例1]已知一个零型单位反馈控制系统的开环传递函数如下,试绘制

1sGjTT1 2T212

KarctgT1arctgT2起

终

K()开环极坐标K()90 1T211T1T211T1221 T

KTK

0,

KTKTT1T G(s)

如果nG(s)

(Tns则n分别为1 整数时，极坐标图的大致形状

单调变负j

[例2]G(s) GjT12T12T 22

K90arctgTarctgT 1.起点：A, 单调变负，270(w0 900arctgTarctgT180 arctgTarctgT90 T1T1 T1 12T T1

1s3Ts1 K(1s1)(2s1)G(s)

s(Ts1)(Ts1)(T2s22Ts1)

(KV0(零型系统1(1型系统2(2型系统0（0）

nnn00的表达形式后，根据以下环节的特点判一个积分环节,滞后90一个一阶惯性环节,滞后0－90度一个一阶微分环节,超前0－90度Gjx ImGjx

KT1KTKT1KTT

A 起点：

AK

终点： AKT1

T1T2 AT1KT1T1KT1T1T2 AG(s)H(s)K(s1);K,,TG(j)H(j)

j(jT1

起点：A(,()终点：A(0,()K()2K()21

j0j0 G(j)H(j)

G(s)

G(s)

ss22s

G(s)

G(s)

G(s)Ks

G(s)

Ks1(T

G(s)Ks2 2

(T 5]某系统开环传递函数为

b=conv([51],[2b=conv([51],[21]);%分母的两个因子相乘n=[b0];%-- - - - - - - 3.3. 开环对数频率特性曲线（Bode图G(s)G(s) K(s1)(2s22s1)(ss(Ts1)(T2s22Ts1)12 (TsjG(jG(j)Kj1 2s(Tj22jj2212212j1)22T2j1)(ij(TjjGjAGjAejReGjjIGjm

相频特G(s)G1(s)G2(sGnG(s)G1(s)G2(sGnG(j)G1(j)G2(jGn(Aj1)A2j2)1nAnAinji()G()G(j)inn

L()L()20lg 横坐标：ω，对数刻度，单位为弧度/秒(()G(j)in纵坐标：

横坐标：ω324 324

11

34 34

12 12

- -

2113241 2 3 41234 1

加,极大地简化了运算及作图。对数幅频特性以为单位,减小了L(w)曲线的斜率,便于在 由于轴采用对数分度刻度,可大范围地扩展横轴上的频率范围,又不降低低频段特性的准确性。频率特性幅频特性相频特性伯德图

GsK,KGjKej0

L

sGj1

1e

lg1lglg1lg2

L20lg

L(L(10-L，每增加十倍时L()减少20dB 贝线相交于=1，

0

L(1)L(2)lg1lg20lg20lg

GjjAL lg1

L0

Gs Ts

T22T22

T22T221

e

T22L20lgAT22

L渐20lgT,当T <<1时，L()为与0当 >>1时，L()为斜率为－20dB/dec的线段L

T1T

处 T

称为 T22

(1T1 1

1/1/ 0.15.7arctg 84.3

GjTj1 T22

T221e对数幅频特 L1T

w-20

w对数幅频特性对数幅频特性对数幅频特性

G ,1传递函 G ,1

s22s

2

频率特性

sn1

2sn

n

j n1

1 1 222 n2n n 2

2

2

n 当 1L ＝40

n

1 LL－L12n2n1212n2n

L20lgr20r 1 120lg2122nnL20lgA20lg120lg2【【注】ξ≤0.5，则向上修正

21

n nnw0--[例1绘制以下传递函数的

s2

s

n2n

L20lgA20

120lg

Gs

2

nj

nj

Gj

2

11222

w

2/1122 2 n

L20

n180180

Gs Ts

GjT22T22

T22T221

e

180T22对数幅频特性L20lgAT22--w0 0？？不稳定环节G(s)=1/(－Ts＋1)的图如何

渐近线渐近

变 Ts

-

s

-

/

1o1(s(

)2

1

二阶(s)2

s

0~+18

G(s)G1(s)G2(s GnG(j)G1(j)G2G(j)G1(j)G2(jGn(Aj1)A2j2)1nAnAinji(ninL20lgA20lg s Kis1

2si

G(s)H(s)

si si sTs

2pi pi pi绘制低频段的特性，开环频率特性的低频部分在w趋向于limG(s)H(slimG(s)H(s)s

La()20lg

20lgK20lg低频渐近线或其延长线与轴的交点L

满足：La(a- v

-

-K

绘制对数相频曲线方法 率），算出几个()值，然后用逐点描绘的方法绘出系统的开环对数幅频曲线L(w)穿过0c叫做开环系数。在c处有（求解方法） G(s) 100(ss(s1)(s10)(s22s 10s 4Gs

s

s1ss110122 系统型别是I，低频渐近线的斜率为-20dB/dec,延长线与0分贝线交点为a10 过点过点斜率s交接频率交接频率1斜率s交接频率交接频率2斜率[40(s s 交接频率4斜率交接频率4斜率[204交接频率交接频率10斜率[20s

(w)arctgw900arctgwarctgwarctgw/ 1(0) (1)(2)(4)(10)()提坐标起点0.01,0.1,1,(合理布局，充分利用绘图空 10(s10(sG(s)s(s2)(s2s的渐近对数幅频曲线

7.5(s/3s(s/21)(s2/2s/2GG(s) 7.5(s/3 7.5 (s/3s(s/21)(s2/2s/2 (s/21)(s2/2s/2Step2各典型环节的交接频率 1τ)。 GG(s) 7.5(s/3 7.5 (s/3s(s/21)(s2/2s/2 (s/21)(s2/2s/2Step3

17.5dB/dec这一点，根据积分环节数ν=1画斜率20dB/dec的最左端直线，或在贝线上找到频率GG(s) 7.5(s/3 7.5 (s/3s(s/21)(s2/2s/2 (s/21)(s2/2s/2:3.用Ts分别绘两种情况系下G(s)TTs2

的BodeT1T2

T1 T

G(s)10s1

2sBode([101],[2

8640FrequencyBodeBode864200 Frequency4. 4. 比较G(s)=1/(Ts+1) 1TsG(s)1TsG(s)Ts1Tjw1T2w1Tjw1T2w2G(jw)A(w)TjwA(w)

T2w2(w(w)(w)w

w以下系统的对数幅频特性有何特点G(s)H(s)

10(ss2(s2)(s2sG(s)H(s)G(s)H(s)

10(ss2(s2)(s2s10(ss2(s2)(s2sG(s)H(s)

10(ss2(s2)(s2s[例G(s)H(s) 2000ss2(s1)(s210s11 s2G(s)H(s) 2s2(s1)( s 确定各交接频率，惯性环节1＝1，微分环节22 10，v=2，斜率为－40，s（1,20）绘制min20lgk=15，∴k=5.6

G(s)

5.6(s/7s(s/2练习1[-[--[例] 0.解：[+40] [+40]→[0 G(s)

(Ts1)2过点（0.01,0），20lg(K2

0.01

K在

处，20lg(K2

1 T G(G(s)(25s10424

40w1lgw1lg lgw11-20lg(2)622[-1--[-解 低频段[-40db],11?1[-(s)2 s1 [-

(s)2 s2?22?22G(s)G(s)K221ss22s2s11s11 KA()

低频段延长线过点[5.623,0],所以有KL()20logA()20

5.623KK

K31求低频段又过点[1,20dbL()20logA()20logK20log31.622 11 ()20log120log10 1 2,2

[220 lg2

80,

lg1 2121220log

0

1

2

(12) 2的2个解为20.87,22ss22G(s)31.65.7ss2s22s5.45.4频域稳定判据系统稳定的充要条件—全部闭环极点均具有负的实部代数稳定判据— 频域稳定判据

Nyquist判据F(s)K(sz1)(sz2)...(szm(sp1)(sp2)...(spn

F(s)p F(s)mKsm

nj (n

zi

(

pjF(s)

Fm

ejF(s) ei1nspjj1nn

F(s)(szi)(spj js顺s顺时F顺时ABCH012D301GABCH012D301GEDF(s)ssH3GFEs顺时F顺时1.围线 F(s)(s2)(s

FssF(s)ssABCHD10DEGGFE0 CsF

映射围线F顺时针变化一圈2.围线 2.围线 F(s)(s2)(s

FF(s)ssABCGFF(s)ssABCGEHDHD001GFECsF顺时3围线sF(s)(s

4.围线4.围线 F(s)ss一周时， 不需要知道围线s的确切形状和位置，只要知映射F是否包围原点以及包围原点的次数；反过来，根据给定的围线F -C(s)-

1G(s)H(s)1G(s)H(s)设G(s)H(s

F(s)F(s)1G(s)H(s)A(s)F(s)1G(s)H(s)A(s)

RRFF(s)1G(s)H(s)A(s)

R

Fs针移动一周，映射到F(s)Fs 右半平面极点数FF(s)1G(s)H(s)A(s)系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：N=-G开(s)平面中，N为围线顺时针

F平

011220112233440FF(s)1G(s)H(s)A(s)系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：N=-充要条件为：N=0即，对开环稳定的系统，G开(s)平面的围线G 经证明，G开经证明，G开(s)平面的围线P:例 (s)

(T,T

wwwwww0+2×1=2，则系统不稳定，有2个10K（1）绘制开环系统的奈奎斯特曲线

G开(s

(sNyquist

2sw A(w)w A(w)

(w) Imaginary(w)Imaginary 1ImaginaryImaginary0

wx

RE[A(wx)]0Real

（2）判断稳定性K>0时，当（2）判断稳定性K>0时，当 ,N=0,Z=0,稳K<0K ,N=0,Z=0,∞,-1)段称为如果Z=0则闭环系统稳定否Z=P-2(N+-N-例ww(-∞1)段，正穿越次数N+=1,负穿越次数N-=1，则例w w(-∞(-∞1)段，正穿越次数N+=1,负穿越次数N-=2，则例wwww(-1∞)段穿越为无(-∞(-∞1)段，正穿越次数N+=2,负穿越次数N-=2，则例起于(-1,∞)段实轴起于(-1,∞)段实轴w(-∞(-∞1)段，正穿越次数N+=1/2,负穿越次数N-=0，mmKis (s) RRr

w G（jw)j开开开开RealReal为无穷大的v×90度圆弧，并用虚线表示，v代表积分环节的节补v×90度。G(s)

s2(Ts

(TwII型系统，补

s右wwwww

w

GsGsK2(w)arctg() [180003600arctg()

P=1,N+=0,N-=1/2,N=N+-N-P=1,N+=0,N-=1/2,N=N+-N-=-∞,-1)段称为注：N-为负穿越次数，N+起于(-1,∞)段实轴起于(-1,∞)段实轴w(-∞(-∞1)段，正穿越次数N+=1/2,负穿越次数N-=0，mKism (s)

sTjsj

节补v×90度。练习－1.5－1.5- -0 j单位(w)-映映射

0分贝线，轴

1

映映射关A-A- LA--ABC Z=P-2N=P-2(N+-N-定性.

如最小相角系统的开环图为以下曲线,判断系统的稳『解』N+＝1，N-＝1，N＝N+-N-＝0，Z＝P-12]GG(s)K(T1s1)(T2s1)(T3s

[- (w)

[----G(s)

s2(Ts绘出伯德图，因为v

(wk1s(w ssN+=1，N-=1/2，N=N+-N-=-练习LL----已知开环系统型次v=3，P=0所示，图中ω<ωc时，L(ω)>L(ωc)『解N-=1.5，N+＝0，P＝0，Z＝P-『练习』利用对数稳定判据判断系统的稳定1.Gs 2.Gs s

Gs 5.

K

(w(w稳

(w(w—G(s)

Ts180arctgT180(w(w 0 1/2 G(s) sTs90180arctgT270(w(w—=1/201/2 G(s)

(w(w—=1/201/2 3.频域稳定裕 越接近(-1，j0)点，系统的稳定程度越差。『示例最小相角系统为三阶系统，在四个不同的值下，开环----衡量稳定裕度的两个指180G(jc)H(jc ：在开环截止频180G(jc)H(jc以最小相角γ的物理意义：一般要求 γ>0，表明Nyquist曲线未包围1,j0，表明Nyquist曲线包围了(-1,j0γ=0，表示Nyquist曲线正通过(-1,j0衡量稳定裕度的两个指：使h h GjxHjx20lgh20lgGjxHjx的物理意义：表示系统在幅值方面的稳定储

h 设计控制系统时的目标设计控制系统时的目标:为了使系统具有足够的稳定裕度和获得良好的动态性能，一般要求相角裕度γ=30~70Note1:仅仅用相角裕度或仅仅用幅值裕度，都不足以说Note2一阶系统和二阶系统的相角裕度，幅值裕度？总k-ss11s1

Gs ss11s1 要求相角裕度γ，先求截止频率GjcHjc2

c1.2247jcjc15jc1

c c180-154.53

90arctgarctgx

arctg5

900

1 51 0, x5

520lgh2052c2ccc25

G(jx)H(jx20

c3.990

5

180-203.6-20lgh20lgGjxHjx10.5dB用做图法：(dB)

[-

0---

1

[-[-

[- [-w G(jwc)H(jwc

G开(s)G开(s)ks(s1)(1s5 (s) (s) 2bodeka20lgkwsw 1.41 (s) 20ka20lgkwsw 4.4'系统的相角裕度和

K 20lgK

K w显然，转折频率

180 A

c[1

902arctg

cc

cx902arctg(0.01)x

h20lgA(x)20

Gss2

180 aac2A c2 c2c180arctgac 21 a1 cc系统开环传函为

s0.1s

180 A

c1c290