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PAGEPAGE4《双曲线》知识点及配套练习【知识点1】双曲线定义:平面内一动点到两个定点、的距离的差的绝对值等于定长,即若,则点的轨迹叫做双曲线,、为此双曲线的焦点;若,则点的轨迹是以、为端点的两条射线;若,则点的轨迹不存在.双曲线的标准方程:(1)两焦点在轴上时,方程为(),焦点坐标为,,其中(2)两焦点在轴上时,方程为()焦点坐标为,,其中双曲线方程的一般形式:()【题型1】直接双曲线利用定义:1、动点到定点的距离比它到定点的距离小,则点的轨迹是()(A)双曲线(B)双曲线一支(C)一条射线(D)两条射线2、已知、,动点满足,则点的轨迹是()(A)双曲线(B)与对应的双曲线下支(C)与对应的双曲线上支(D)两条射线3、双曲线上一点到一个焦点距离为,则它到另一个焦点距离为4、是双曲线上一点,、是双曲线的两个焦点,且,则.5、已知两圆:,:,动圆与两圆、都相切,则动圆圆心的轨迹方程是()(A)(B)()(C)(D)或【题型2】强化双曲线标准方程:1、已知方程中,则方程表示的曲线是()(A)焦点在轴上的双曲线(B)焦点在轴上的椭圆(C)焦点在轴上的椭圆(D)焦点在轴上的双曲线2、若方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围是3、已知双曲线的实半轴,半焦距,且焦点在轴上,则它的标准方程是4、已知双曲线的一个焦点为,则实数的值是5、双曲线()的焦点坐标是6、已知椭圆与双曲线的焦点相同,则实数7、判断方程()所表示的曲线.【题型3】利用待定系数法求双曲线方程:1、焦点在轴上,焦距为,且过点的双曲线的标准方程是2、设双曲线与椭圆有共同焦点,且有一个交点的纵坐标为,求双曲线方程.4、已知双曲线,为上的任意一点,(1)求证:点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点的坐标为,求的最小值.【知识点3】直线与双曲线的位置关系:与双曲线有两个公共点、与双曲线只有一个公共点、与双曲线没有公共点直线与双曲线的位置关系的判断:设直线,双曲线,把直线方程代入双曲线方程中,整理得:(1)直线与双曲线相交:.若且,方程有两个不等实根,则直线与双曲线有两个公共点;.若,则方程为一次方程,直线与双曲线只有一个公共点,这时直线与渐近线平行;(2)直线与双曲线相切若且,方程有两个相等的实根,这时直线与双曲线只有一个公共点;(3)直线与双曲线相离若且,方程没有实数根,则直线与双曲线没有公共点.直线与双曲线有两个不同的公共点,这时所得的弦长计算公式:直线与双曲线交于,两点,则【题型7】研究直线与双曲线的交点个数:1、过点可以作___条直线与双曲线有且只有一个公共点2、过点且与双曲线只有一个交点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条3、已知直线与双曲线,试讨论实数的取值范围,使得直线与双曲线:(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点;(5)交左支两点【题型8】直线与双曲线相交所得的弦长问题:1、过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若,则这样的直线存在()A0条B1条C2条D3条2、过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于、两点,求.3、斜率为2的直线被双曲线截得的弦长为2,求直线的方程.4、双曲线的中心在原点,焦点在轴上,过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于、两点,若,且,求双曲线的方程.【题型9】直线与双曲线位置关系的综合应用:1、已知双曲线,过点能否作一条直线,使得它与双曲线交于、两点且以为线段的中点?若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由2、已知直线与双曲线相交于、,(1)若以、
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