全等三角形-第10讲竞赛班教师版

第十讲全等三角形（一）一、基础知识概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够相互重合的顶点，边，角分别叫做对应的顶点，对应边，对应角。全等符号“≌”。两个三角形只有在形状相同时才能全等。此时两个三角形可以经过平移，旋转，翻折等使之重合。性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角分线相等。全等三角形的判定方法：（Ⅰ）边角边定理（Ⅱ）角边角定理（Ⅲ）边边边定理（Ⅳ）直角三角形中斜边，直角边定理全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等，角相等，两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。奥数赛点：能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。二、例题第一部分基础题例1．（★）下列命题正确的是（）有两条边和一角对应相等的两个三角形全等。有一边对应相等的两个等腰直角三角形全等。有一边对应相等的两个等边三角形全等。有一角对应相等的两个等腰三角形全等。例2．（★★）如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有（）A．5对B.6对C.7对D.8对

第二部分求角度例3.(★★）如图，AB=AE，BD=EC，∠BCA=81°，那么∠BDE的度数是___________.【分析与解答】：简单的证明全等，对应角度相等；例4．（★★★）如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F。求证：∠E=∠F【分析与解答】：（提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，过而△EOD≌△FOB，故∠E=∠F）例5．（★★★希望杯试题）如图所示，中，，D，E分别在AB，AC上，且满足条件BD=CE，，若BE，CD相交于O，则求的大小。【分析与解答】：希望杯教程初二，P119例6．（★★★）如图所示是等边△ABC，D，F分别是BC，AB上的点，且BD=AF，AD，CF交于点E，则∠CED等于（）（A）30°（B）60°（C）45°（D）75°【分析与解答】：旋转；例7．（★★★★）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC。证明：方法（一）提示作CF⊥AC交AD延长线于F，有Rt△ABM=Rt△CAF∴∠F=∠AMB,AM=FC进而∠F=∠DMC。∴∠AMB=∠DMC方法（二）提示作∠BAC的角平分线AG，交BM于G。由于△AGB≌△CDA得AG=CD，进而△AMG≌△CMD从而∠AMB=∠DMC第三部分证明边的问题例8．（★★）如图，AB=AD，BC=DE，∠1=∠2。求证：AC=AE。【分析与解答】：证明三角形ABC全等于ADE即可；例9．（★★1998年，河北省）如图所示，已知BD，CE是的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）【分析与解答】：（同步初二，P147）例10．（★★★）已知△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D使BD=AB。求证：CE=CD。【分析与解答】：（提示，延长CE到F，使EF=CE，连接BF）由于△EFB≌ECA得∠EBF=∠A，BF=AC=BD∠FBC=∠FBE+∠EBC=∠A+∠ACB∠DBC=∠A+∠ACB有△BCF≌△BCD，从而FC=DC=2EC即CE=CD。例11．（★★★★）在等腰三角形ABC中，顶角∠A=100°，作∠B的平分线交AC边于E，求证：AE+BE=BC。【分析与解答】：（提示）延长BE到F，使EF=AE，作∠BEC的平分线EQ交BC于G，连接FC，可得∠AEB=60°而∠BEG=∠BEC=60°，进而△AEB≌△GEB。故EG=AE=EF，进而△GEC≌△FEC，有∠EFC=∠EGC=180°-100°=80°。∠BCF=80°，故BC=BF=BE+EF=BE+AE例12．（★★★★）如图所示，在中，，，BD是的平分线，延长BD至E，使DE=AD。求证：BC=AB+CE【分析与解答】：奥数教程初二，P104三、练习题（每题20分）1．（★★）△ABC中，已知∠B=∠C=50°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF=______________.2．（★★）已知△ABF≌△CDE，已知∠B=30°，∠BAE=∠DCF=20°，则∠EFC=______________3.（★★）已知BE⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB=FC，AB=CD求证：AF=DE4．（★★）已知DC⊥AB，BE⊥AC，垂足为D，E，BE和CD相交于点O，且∠DAO=∠OAE，求证BD=CE.5．（★★★★）已知正形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上的一点，且∠BAE=2∠MAD，求证：AE=BC+C