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文档简介
第十讲全等三角形(一)一、基础知识概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够相互重合的顶点,边,角分别叫做对应的顶点,对应边,对应角。全等符号“≌”。两个三角形只有在形状相同时才能全等。此时两个三角形可以经过平移,旋转,翻折等使之重合。性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角分线相等。全等三角形的判定方法:(Ⅰ)边角边定理(Ⅱ)角边角定理(Ⅲ)边边边定理(Ⅳ)直角三角形中斜边,直角边定理全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等,角相等,两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线。奥数赛点:能通过判定两个三角形全等,进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系,而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础,进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。二、例题第一部分基础题例1.(★)下列命题正确的是()有两条边和一角对应相等的两个三角形全等。有一边对应相等的两个等腰直角三角形全等。有一边对应相等的两个等边三角形全等。有一角对应相等的两个等腰三角形全等。例2.(★★)如图,AB∥CD,AC∥DB,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有()A.5对B.6对C.7对D.8对
第二部分求角度例3.(★★)如图,AB=AE,BD=EC,∠BCA=81°,那么∠BDE的度数是___________.【分析与解答】:简单的证明全等,对应角度相等;例4.(★★★)如图,已知AB=DC,AD=BC,O是BD中点,过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E,F。求证:∠E=∠F【分析与解答】:(提示:由△ABD≌△CDB,得∠1=∠2,过而△EOD≌△FOB,故∠E=∠F)例5.(★★★希望杯试题)如图所示,中,,D,E分别在AB,AC上,且满足条件BD=CE,,若BE,CD相交于O,则求的大小。【分析与解答】:希望杯教程初二,P119例6.(★★★)如图所示是等边△ABC,D,F分别是BC,AB上的点,且BD=AF,AD,CF交于点E,则∠CED等于()(A)30°(B)60°(C)45°(D)75°【分析与解答】:旋转;例7.(★★★★)如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,M是AC边的中点,AD⊥BM交BC于D,交BM于E,求证:∠AMB=∠DMC。证明:方法(一)提示作CF⊥AC交AD延长线于F,有Rt△ABM=Rt△CAF∴∠F=∠AMB,AM=FC进而∠F=∠DMC。∴∠AMB=∠DMC方法(二)提示作∠BAC的角平分线AG,交BM于G。由于△AGB≌△CDA得AG=CD,进而△AMG≌△CMD从而∠AMB=∠DMC第三部分证明边的问题例8.(★★)如图,AB=AD,BC=DE,∠1=∠2。求证:AC=AE。【分析与解答】:证明三角形ABC全等于ADE即可;例9.(★★1998年,河北省)如图所示,已知BD,CE是的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB。求证:(1)AP=AQ;(2)【分析与解答】:(同步初二,P147)例10.(★★★)已知△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D使BD=AB。求证:CE=CD。【分析与解答】:(提示,延长CE到F,使EF=CE,连接BF)由于△EFB≌ECA得∠EBF=∠A,BF=AC=BD∠FBC=∠FBE+∠EBC=∠A+∠ACB∠DBC=∠A+∠ACB有△BCF≌△BCD,从而FC=DC=2EC即CE=CD。例11.(★★★★)在等腰三角形ABC中,顶角∠A=100°,作∠B的平分线交AC边于E,求证:AE+BE=BC。【分析与解答】:(提示)延长BE到F,使EF=AE,作∠BEC的平分线EQ交BC于G,连接FC,可得∠AEB=60°而∠BEG=∠BEC=60°,进而△AEB≌△GEB。故EG=AE=EF,进而△GEC≌△FEC,有∠EFC=∠EGC=180°-100°=80°。∠BCF=80°,故BC=BF=BE+EF=BE+AE例12.(★★★★)如图所示,在中,,,BD是的平分线,延长BD至E,使DE=AD。求证:BC=AB+CE【分析与解答】:奥数教程初二,P104三、练习题(每题20分)1.(★★)△ABC中,已知∠B=∠C=50°,BD=CF,BE=CD,则∠EDF=______________.2.(★★)已知△ABF≌△CDE,已知∠B=30°,∠BAE=∠DCF=20°,则∠EFC=______________3.(★★)已知BE⊥AD于B,FC⊥AD于C,且EB=FC,AB=CD求证:AF=DE4.(★★)已知DC⊥AB,BE⊥AC,垂足为D,E,BE和CD相交于点O,且∠DAO=∠OAE,求证BD=CE.5.(★★★★)已知正形ABCD中,M为CD的中点,E为MC上的一点,且∠BAE=2∠MAD,求证:AE=BC+C
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