初三数学总复习总结

复习总结一、命题设计思想力求体现如下设计思想：1.立足基础性.明确不深挖洞，不会出现偏题，怪题.不过分强调广积粮，考试内容上不追求面面俱到，重点内容重点考.除立足基础知识、基本技能的考查外，注重数学思想和方法的考查，突出体现学科的主干知识（后面要讲）.2.注重能力性.强调对知识本质的把握和理解，重视对运用所学的基础知识和基本技能分析问题、解决问题能力的考查，重点考查运算能力、阅读理解能力、思维能力及空间想象能力.3.体验过程性.考试过程也是学习过程，关注对获取数学信息能力、数学交流能力和运用新知识的能力的考查，实践新课标.4.强调应用性.注重数学与现实联系的考查，学以致用，注重在具体情境中运用所学知识建模能力、分析和解决问题的能力以及“用数学”，“做数学”的意识.5.渗透探究性.通过开放性、探究性试题，拓宽考生的思维空间，有助于创造性的发挥.6.关注创新性.通过一些全新试题考查学生的创新意识、创新能力.7.重视综合性.注意学科的内在联系和知识的综合性，引导考学生关注对所学知识适当的重组与整合；突出对所学知识综合运用能力的考查.8.感受时代性.关注社会热点问题，具有时代气息.9.体现人文性.关注学生的感受，试题卷面设计上尽量减轻学生的心理压力，答题卡设计尽量便于学生作答.有关考试方式、考试时间、知识内容分布、难易程度分布、题型分布等详见考试说明.二、主干知识梳理去年翟老师给初三老师做了主干知识梳理，今年请翟老师把这部分内容重新做了整理，四个区的教研员都有.对主干知识的认识所谓的主干知识是指：初中数学中的结构性、框架性知识；初中数学中对后续知识的学习，起到建构知识体系起支撑作用的基础性知识；初中数学中必须落实与主要考查的知识；主干知识中还应包括重要的数学方法以及知识所能蕴涵的思想方法．主干知识如下：代数一、数（有理、无理数、实数）１．概念：分类、相反数、倒数、绝对值、非负数、数轴；２．比大小：整数、分数、结合数轴；３．计算：精确、近似（精确度与有效数字）、估值及算法；科学记数法：整数与纯小数；数轴：表示数与字母，以及化简；找规律：数列、数组、计算、图形.定义新运算.二、代数式１．整式表示与读法；找规律中用整式表示计算与化简、纯计算、化简（恒等变形）求值；乘法公式：配方、整体代入、完全平方式系数的确定；因式分解：提取公因式、公式法（代数式的变形）；最值问题.２．分式：成立的条件与值为零；分式计算：四则混合运算与化简求值（算法）；３．根式：成立的条件与取值范围；根式计算：四则运算与估算（求近似值与精确值）；幂的运算：基本运算性质与零指数及负指数；非负数的应用．三、方程与不等式１．方程：代数式的关系方程成立的条件：首项系数不为零；方程的根：根的意义与作用；方程的解法：优化过程；用图象法解：近似解；应用题：淡化模式；根的判别式.２．不等式：代数式的关系不等式的解集的意义与表示；不等式（组）的解法以及解集的表示法；不等式（组）的应用．四、函数：取值范围：整式、分式、根式、复合(中考不要求)；直角坐标系：概念与作用；求函数解析式：各种函数的求法；画函数图象：明确规范画图还是示意图．几何１．一般概念：线段、角等概念（画法、计算、最短）；两条线的关系：平行（移角）：性质与判定；相交（特殊垂直）：性质．２．三角形一般概念与分类；两个三角形的关系：全等、相似（位似）、等积；特殊三角形：一般概念与关系（相互转化）；角平分线与中垂线：性质与识别．３．四边形一般概念与面积；特殊四边形：概念与作用；两个特殊四边形的关系：全等与相似、等积；４．解直角三角形三角函数的意义与作用；解直角三角形的方法与应用．５．圆位置关系；垂径定理；切线知识(性质与判定)与应用；有关计算：弧长、扇形、圆柱与圆锥．6．几何变换与对称性几何变换的作用与意义；几何变换：全等变换：平移、轴对称、旋转；位似变换：缩小与扩大；等积变换：函数关系与变换；对称性（对称图形）：中心对称、轴对称、旋转对称．统计与概率1．统计的意义与方法以及统计数据表示方法.2．统计量与各自的作用.3．事件与概率的求法与表示．能力要求问题１．运算能力准确运用计算法则与算律计算；正确运用估算方法计算．在计算过程中，移动题目(从试题到答题卡)后要检查是否正确（注意指令语言）、２．表述能力正确表达解题过程，注意解题语言运用的规范．在计算过程中不要跳步、３．简单推理能力因果关系清楚，逻辑关系正确，表达准确．在证明的过程中，从添加辅助线开始，就要严格按区里给出的要求表述，不要求写根据，但是关系必须清楚、明确、４．解读题意的能力理解指令语言；分解题目条件；寻求相应知识；理解与沟通知识之间关系；确定相应方法．５．恒等变形能力根据题目条件与要求选择相应方法进行代数式的变形．不要跳步，要写明变形过程.６．图形变换能力图形的分解与组合；根据图形需要确定相应的移动方法，并确定结果．移动图形必须写明移形的过程、７．知识应用能力确定相应知识，运用知识，合理解决问题．区里进入初三年级以来的三次统练、区里编的《中考试复习指导》中四套综合题、毕业考试复习题、每个专题所配的练习题以及其它三个区上学期的期末考题、模拟题基本含盖了主干知识的基础部分，不出基础片子，请各校根据再对这些基础题重新.三、使用答题卡要求区中招办专门对答题卡使用问题召开了全区会议，明确今年考生答题凡是答错位置或超出答题范围或模糊不清，不再为考生查分，以往尽管答题卡上说明上述情况不给分，但软件的设计允许对这些情况进行标注，最后查找试卷有命题组再评分，今年中招办明确软件不再有标注功能，因此要用好区里编的《中考试复习指导》几套综合题的答题卡，是用去年的答题卡扫描后缩版的,按要求严格训练.有关阅卷工作，区中招办给了90个阅卷名额，由于是计算机阅卷，主要请青年教师参加阅卷，请老师们给予支持.四、解题方法与策略1．选择题（单选题）：主要用直接法、验证法、排除法、特殊值法、图示法、操作法、工具法.（工具法、操作法对于好一点的同学可用来检验，对于差同学提供了一个方法）例1据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示正确的是（）(A)?109元 (B)?108元 (C)?107元 (D)68?106元（直接法）例2如图，在△ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于（）(A)6cm(B)8cm(C)10cm(D)12cm（直接法）选C.例3下列各组数中两个数互为相反数的是()(A) (B) (C) |-2|与2 (D)（验证法）例4在△ABC中，BC=14,AC=9,AB=13,其内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长为（）(A)AF=4，BD=9，CE=5(B)AF=4，BD=5，CE=9(C)AF=5，BD=4，CE=9(D)AF=9，BD=4，CE=5（验证法）画草图，因为AF=AE,BD=BF、CE=CD,将四个选项代入只有A项满足，即AF+BF=AF+BD=13,BD+CD=BD+CE=14.所以选A.例5下列说法正确的是（）(A)有理数都是实数(B)实数都是有理数(C)带根号的数都是无理数(D)无理数都是开方开不尽的数（排除法）由有理数和无理数统称为实数，可知A正确，其它可排除掉.昌平、大兴一模都考了一道在数轴上估值问题，一般学生都能估计出在3和4之间，而选择答案C,但这道题估值要求较高，要判断出更靠近3还是4，像这样设置的选择支就不能看到有一个在符合条件的范围之内，就排出其它选项.例6实数a,b满足ab=1,记,则M,N的大小关系是（）(A)M>N(B)M=N(C)M<N(D)M=2N（特殊值法）取a=b=1,则，所以M=N.选B例7不论x为何值，二次函数的值恒小于0的条件是（）(A)a>0,Δ>0(B)a>0,Δ<0(C)a<0,Δ>0(D)a<0,Δ<0（图示法）根据题意，抛物线在x轴下方，即开口向下，与x轴无交点.选D.例8若a>0,b<0,a+b>0,则下列各式中成立的是（）(A)a>-b>-a>b(B)a>-b>b>-a(C)–b>a>b>-a(D)–b>a>-a>b（图示法）根据题意，在数轴上先标出a与b的位置，再标出它们的相反数，可知选B.例9如图，有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为30°的角有（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个（工具法）一般中考作图都很精确，可用量角器对锐角进行测量.选D.例10在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，3为半径的圆与坐标轴的交点个数为（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个（工具法）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，用圆规画圆，即可知圆与坐标轴的交点个数为3.选C.例11一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）(A)75°(B)60°(C)65°(D)55°（操作法与工具度量结合）可先用一副三角板摆放好，再用量角器度量.选A.例12如图，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）（操作法）可动手折一折，可折出菱形，展开后看折痕.选D.例13把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（）．???（操作法）可动手折一折，观察折痕，如果能允许撕开更直观清楚.例14下列矩形中,按虚线剪开后,既能拼出平行四边形和梯形,又能拼出三角形的是图形（）①②③④⑤(A)①②③⑤(B)①②③(C)②⑤(D)②此题是组合选，有多选的功能，难度比较大，要认真审题，常用直接法和分析验证法.这类形式的填空题常用直接法.例15商店出售下列形状的瓷砖：正三角形、梯形、矩形、正五边形、正六边形.若只选购其中一种瓷砖密铺地面，可供选择的瓷砖共有（）种(A)1(B)2(C)3(D)4这道题也有组合选的味道.任意一种同一规格的三角形、四边形都可以密铺地面.2．填空题：主要用直接法、验证法、操作法、工具法、特殊值法.例1如图,在△ABC中，AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点,若AB=12,则四边形BDEF的周长为=.（直接法）例2已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则该圆柱的侧面展开图的面cm2.（直接法）例3函数中，自变量x的取值范围是.（直接法）例4不等式组的解集是.（直接法）例5已知点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，点P的坐标是（写出符合条件的一个即可）根据横坐标与纵坐标的和为1，可先给出横坐标一个数值，再凑出（或解出）相应的纵坐标的值.比如：横坐标取1，列式1+0=1，P(1,0).对于此类比较复杂的问题，可通过解方程求解.（验证法）例6以x=1为根的一元一次方程是（只需填写满足条件的一个方程即可）.利用方程的定义构造方程.先列一个含“1”的等式，比如：2×1+3=5，用x替换1得2x+3=5.（验证法）例7写出一个以为解的二元一次方程组.利用方程组的定义构造方程组先利用0，7列一组算式，比如：然后用代换，得（验证法）例8用两个全等的三角形，最多可以拼成个不同的平行四边形.（操作法）可用两个全等的含30°角的三角板（允许的情况下可撕出两个全等三角形）拼图.这里边涉及到拼图思维的序.答案为3.例9如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA于C,PD⊥OD于D,写出图中一组相等的线段（只需写出一组即可）.（工具法）可用刻度尺度量法.PD=PC.例10（1）将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积:之比等于________（2）将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积:之比等于________（赋特殊值法）“同底”三角形面积比等于其高的比，可赋特殊值，设含30°角的直角三角形的短直角边的长为1，则45°角的直角三角形的高为.3．解答题：可借助于操作法、工具法、特殊值法等帮助分析、猜想、探究.（1）操作法（折纸、翻动等）例1印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码．如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．89161512134（操作法）答案（2）工具法（探索线段之间、角之间的数量关系）例2如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论;图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,请说出旋转过程;若不存在,请说明理由.（工具法）可用刻度尺度量BE与DG的大小.例3已知y=-x2+5x+n过点A(1,0),与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式；（2）若点P在坐标轴上，且△ABP是等腰三角形，求P点的坐标.（工具法）第（2）问可用圆规度量，观察到满足要求的P点有5个.例4如图，△ABO中，OA=OB，C是AB中点，⊙O分别交OA、OB于点E、F.（1）若OF=FB,∠B=30°,求证AB是⊙O的切线；（2）若⊙O经过点C，在△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=，求的长.第（2）问，如果知道求弧长需知圆心角的度数，即便不会推理，亦可通过度量得到圆心角的度数，计算出弧长，也能得一步分.（3）特殊法：有些几何猜想问题可借助于特殊值或特殊位置猜想.例5已知，△ABC是等边三角形．将一块含30°角的直角三角板DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线L上向右平移．当点E与点B重合时，点A恰好落在三角板的斜边DF上．问：在三角板平移过程中，图中是否存在与线段EB始终相等的线段(假定AB、AC与三角板斜边的交点为G、H)?如果存在，请指出这条线段，并证明；如果不存在，请说明理由．(说明：结论中不得含有图中未标识的字母)几何猜想问题:测量法：由于图形规范，可测量检验；操作法：可画一个边长等于三角板斜边上的高的等边三角形，让三角板移动，观察；特殊法：可从特殊位置入手分析，当点E与点B重合时，此时EB=GH=0;可画几个不同位置的图形分析.立意：在先观察的基础上，提出一个可能性的猜想，再尝试能够证明它．观察易发现，与线段EB相等的线段只可能是AH，或GH．在此基础上，进行探究性的推理．我们先把有关能直接得到的角的度数直接在图形上标出来，例如，∠CFH＝30°，∠BCH＝60°，便可发现：∠CHF＝30°，于是，CF＝CH;其次，我们再根据题目中的其它条件作探究性推理．由条件“点A且恰好落在三角板的斜边DF上”、条件“三角形是含30°角的直角三角性”和条件“△ABC是等边三角形”出发，设DE＝a，则DF＝2a，EF＝，AB＝AC＝BC＝;在这两个结论的基础上，便可发现：EB＋CF＝CH＋AH＝，于是就有EB＝AH了.此题没有给边长，通过特殊角发现边的关系，从而通过计算推得边等.五、关注变化----中考新题型1．以网格为背景的中考题此类问题关键抓住网格中边、特殊角、各类对角线这些基本量以及对称关系.此类题经常出现在区统练中，多以研究基本量关系出现，对于学生不陌生，现举一有关对称的例子.例1如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点落在小正方形的顶点上.在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共（）(A)5个(B)4个(C)3个(D)2个答案：选A.从对称轴思考或从可画出的三角形思考，这里面运到分类讨论思想.符合要求的三角形如下：例2如图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1和△ABC的相似比是2，△A2B2C2和△ABC的相似（2）在图（2）中用与△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说图（1）图（2）关键是利用好网格中特殊的边角关系.因为所画出的图形的位置没有特殊要求，所以可在网格中自由地选取一点作为△ABC中的一点（如点C）的对应点，当相似比为整数时，可在保持平行（如BC∥B1C1）的意义下先确定第二点（如点B），再以相同的方法确定第三点；此问若选B点为位似中心，利用位似变换亦可.当相似比为无理数时，先画出长度易于确定的一条边（如A1C1，因为A1C1＝AC＝BC），再根据等腰直角三角形的特性确定第三点就可以2．生活中的数学问题注意发现生活中蕴涵数学知识、数学规律的问题.例1上学期期末考题第12题（地砖阴影面积）.例2综合复习（二）有关菠萝两种卖法问题.例3两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答问题：(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数关系式(不要求写出自变量I的取值范围)；(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度．此类题给学生有益的启示：数学就在我们身边，只要我们去观察、去思考，便能找到数学的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活中的不少问题．经常性选用这样情景自然、又有价值的试题给学生练习，其潜移默化的影响是不可忽视的，教学中应当注意编制这类问题．3．图表信息类例1小明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修理，车子修好后，因怕耽误上学时间，于是加快了车速，图中哪个符合上述情况（）（A）（B）（C）（D）例2某市甲、乙两个汽车销售公司，去年一至十月份每月销售同种品牌汽车的情况如图所示：一三二四六五八九七271114一三二四六五八九七27111416（辆）（月份）甲：乙：十148101336912155销售公司平均数方差中位数众数甲9乙98（2）请你从以下两个不同的方面对甲、乙两个汽车销售公司去年一至十月份的销售情况进行分析：①从平均数和方差结合看；②从折线图上甲、乙两个汽车销售公司销售数量的趋势看（分析哪个汽车销售公司较有潜力）.此类试题可避免试卷的整体表达方式有利于一种认知风格的学生、而不利于另一种认知风格的学生．实际上，对于一道试题，也可以力求这一点，如果一道试题，能让不同认知风格的学生都能较好地理解题意、切入解题，这无疑是对每一个学生更公平．例3毕业考试8题，22题.4．探究数式规律与定义新运算探究数式规律见综合问题（二）相关内容.定义新运算见总复习《数与式》部分，特别要注意有序性.5.操作设计题图形割拼、图形折叠与变换、图案与设计、作图题.例1右图是用12个全等的等腰梯形镶嵌（密铺）成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是.1:2例2图（1）中的梯形符合条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）.（1）（2）底角为60°，且上底与两腰相等的等腰梯形.例3将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°,则∠AED的大小是（）(A)60°(B)50°(C)75°(D)55°选A.例4(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；（2）借助图中⑤的网格，设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写的两个共同特征.①②③④⑤两个特征：四个图形面积相等，都是轴对称图形.设计略.例5蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120cm,宽30cm的长条形桌面.现只有长80cm，宽45cm的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求.（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸）根据桌面的尺寸，横向分割比较好实现.比如：例6如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.可利用角平分线或中垂线性质作图.如：6.开放探究题例1如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形?并任选其中一对给予证明.此题是结论开放性试题.例2如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D.(1)若∠BAC=30°,则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;(2)若AP平分∠BAC，交BD于P,求∠BPA的度数.例3如图，已知正方形ABCD的面积为S.（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称，（只要求画出图形，不要求写作法）(2)用S表示（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S,并按（1）的要求作出一个新的四边形，面积为S2,试探究S1与S2之间有什么关系？本题把倍长线段改编成了用关于点对称来叙述.（1）如图：(2)S1=5S.提示：设正方形ABCD的边长为a,计算直角三角形的面积，再求面积和.(3)S1=S2.提示：连接BD1，BD.由AB是△BDD1的中线，可得S△ABD1=S△ABD.BD1是△AA1D1的中线，可得S△ABD1=S△A1BD1.所以S△AA1D1=2S△ABD.同理可求得，S△CC1B1=2S△ABD;，S△BA1B1+S△DD1C1=2S△ABD从而易得S1=5S.所以S1=S2.7．阅读理解问题基本上每次区统练都有这类题，关键是提取知识信息并加以运用，重点考查学习过程.例1已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0,②x2+x-2=0,③x2+2x-3=0,……x2+(n-1)x-n=0.（1）请你用因式分解法解上述一元二次方程①、②、③、;，并指出这n个方程的根具有什么共同特点,请你写出一条即可；（2）请你也类似地构造出n个一元二次方程，使每一个方程都有一个根为-1，另一个根为分母依次为连续正整数的真分数(要求写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式).最初设计的毕业考题，实际也有阅读理解的味道。第（1）问的解法暗示了第（2）问构造方程的方法.例2下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,请回答下面的问题:学习等腰三角形有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角.”同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手说:“其余两角是30°和120°”;王华同学说:“其余两角是75°和75°.”还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中,你的意见如何?为什么?(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?(用一句话表示)以课堂学习的真实情境为背景所编的题目.例3阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形，并加以证明.解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2)此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAD、矩形ABEF.矩形BCAD、矩形ABE